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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Fr 05.01.2018 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Zeigen Sie, mit EINEM [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \partial [/mm] Argument , dass die folgenden Funktionen stetig sind.
f:(0, [mm] \infty [/mm] )-->(0, [mm] \infty [/mm] ), x--> [mm] \wurzel{x} [/mm] |
Hallo
Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:
[mm] x_{0}=9 [/mm]
Dann habe ich ein d für delta angenommen, das zugleich die Distanz zu [mm] x_{0}=9 [/mm] ist und beliebig, also d.
dann habe ich aus f(9-d) als x gewählt und die Distanz für das Epsilon Delta Kriterium sieht dann so aus |f(9-d)-f(9)|= | [mm] \wurzel{9-d } [/mm] - [mm] \wurzel{9} [/mm] |
Da ich die Wurzel nicht haben will, erweitere ich mit| [mm] \wurzel{9-d} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] |
um am Ende die dritte Binomische-Formel anwenden zu können und die Wurzel damit zu eliminieren.
Das sieht dann so aus:
[mm] \bruch{| \wurzel{9-d} + \wurzel{9} |* | \wurzel{9-d} - \wurzel{9} |}{ \wurzel{9-d} - \wurzel{9} }
[/mm]
d im Zähler, da a hoch 2 und b hoch 2 x0-d und x0 ergeben also (x0-d-x0)
= d: [mm] \wurzel{9-d} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] bleibt übrig.
Dann schätze ich ab und sage d : [mm] \wurzel{9-d} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] < d/ [mm] \wurzel{9} [/mm] = d/3 < [mm] \varepsilon [/mm] und -delta < epsilon*3
Kann das Stimmen ?
Vielen Dank
Benni
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> Zeigen Sie, mit EINEM [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\partial[/mm] Argument ,
> dass die folgenden Funktionen stetig sind.
>
> f:(0, [mm]\infty[/mm] )-->(0, [mm]\infty[/mm] ), x--> [mm]\wurzel{x}[/mm]
> Hallo
>
> Meine Rechnung sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]x_{0}=9[/mm]
Im Prinzip sind deine Überlegungen richtig, aber nur im Ansatz. Du sollst ja die Stetigkeit nicht nur für [mm] x_0 [/mm] = 9, sondern für jedes [mm] x_0 [/mm] aus dem Definitionsbereich beweisen.
Außerdem sollst du nicht unbedingt deinen (im Prinzip richtigen) Gedankengang darstellen, bei dem am Ende dann "irgendwie" [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] angepasst werden, sondern die Argumentation gegenüber dem Leser wird sozusagen "rückwärts" abgespult:
Zu gegebenem [mm] x_0 [/mm] aus (0, [mm] \infty [/mm] ) und [mm] \epsilon>0 [/mm] wähle ich [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] * [mm] \wurzel{x_0} [/mm] > 0.
Dann gilt für jedes x aus (0, [mm] \infty [/mm] ):
Wenn [mm] |x-x_0|< \delta [/mm] ist, so ist
[mm] |f(x)-f(x_0)|= |\wurzel{x}-\wurzel{x_0}|, [/mm]
[mm] =|\bruch{( \wurzel{x} - \wurzel{x_0})( \wurzel{x} + \wurzel{x_0})}{ \wurzel{x} + \wurzel{x_0}}| [/mm]
= | [mm] \bruch{x-x_0}{ \wurzel{x} + \wurzel{x_0}}|
[/mm]
< [mm] \bruch{|x-x_0|}{ \wurzel{x_0}}
[/mm]
< [mm] \bruch{ \delta}{ \wurzel{x_0}} [/mm] = [mm] \epsilon [/mm]
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