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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mi 25.04.2018
Autor: Schmetterling99

Hallo, wir sollen für die Schule schauen, ob
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}-3x}{x} [/mm] auf [-2;2]
stetig ist oder nicht. Ich hätte gesagt, dass die Funktion nicht stetig ist, da ich zu x=0 keinen y Wert bekomme, da man ja nicht durch 0 teilen darf.
Wenn ich die Funktion aber plotte, bekomme ich eine Gerade „ohne Lücke“
Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob sie stetig ist oder nicht

Lg

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Mi 25.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo, wir sollen für die Schule schauen, ob
> [mm]f(x)=\bruch{x^{2}-3x}{x}[/mm] auf [-2;2]
> stetig ist oder nicht.

Das ist gelinde gesagt eine lausige Aufgabenstellung. Sie legt weiter die Vermutung nahe, dass der Begriff Stetigkeit bei euch entweder falsch oder unvollständig eingeführt wurde. Das aber nur am Rande, denn ich denke, die Aufgabenstellung lautet anders.

> Ich hätte gesagt, dass die Funktion
> nicht stetig ist, da ich zu x=0 keinen y Wert bekomme, da
> man ja nicht durch 0 teilen darf.

Das ist insofern richtig, als es für x=0 keinen Funktionswert gibt. Das hat aber mit der Frage nach der Stetigkeit nichts zu tun. Man braucht sich über irgendwelche Eigenschaften dieser Funktion an der Stelle 0 überhaupt keine Gedanken zu machen, denn sie ist dort nicht definiert. So einfach ist das.

> Wenn ich die Funktion aber plotte, bekomme ich eine Gerade
> „ohne Lücke“

Die Lücke siehst du bloß nicht, da sie unendlich klein ist. Es ist aber schon ein Hinweis auf das, was hier vorliegt.

> Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob sie stetig ist oder
> nicht

Ich gehe jetzt davon aus, dass die eigentliche Aufgabenstellung sinngemäß die ist, die Funktion auf hebbare Definitionslücken zu untersuchen oder darauf, ob sie an der Stelle x=0 stetig fortsetzbar ist. Beides ist in diesem Fall gleichbedeutend.

Wenn du den Funktionsterm durch x kürzst, dann bekommst du eine neue Funktion [mm] \overline{f}: [/mm]

[mm] \overline{f}(x)=x-3 [/mm]

Deren Schaubild ist eine Gerade (oder auf dem Intervall [-2;2] eine Strecke), somit maximal auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und dort insbesondere überall stetig.

Die ursprüngliche Funktion f wie gesagt, die besitzt ja nur den (maximalen) Definitionsbereich

[mm] D_f=(-\infty;0)\cup (0;\infty) [/mm]

Und auf diesem Definitionsbereich ist sie ebenfalls überall stetig.

Halten wir fest: die Funktion f lässt sich an der Stelle x=0 durch den Funktionswert -3 stetig fortsetzen bzw. sie besitzt bei x=0 eine hebbare Definitionslücke.

Die so entstehende Funktion ist die oben erwähnte Funktion [mm] \overline{f}, [/mm] deren Funktionsterm man durch Kürzen des ursprünglichen Funktionsterms erhält.


Gruß, Diophant

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Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Mi 25.04.2018
Autor: Schmetterling99

Hallo,
Danke erstmal. Also wir sollen wirklich sagen, ob die Funktion auf dem vorgegeben Intervall stetig ist und nicht ob sie hebbare Lücken hat.
Darf man denn einfach mit x kürzen. Weil in meinem Intervall ist doch die 0 auch drin.



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Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mi 25.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,
> Danke erstmal. Also wir sollen wirklich sagen, ob die
> Funktion auf dem vorgegeben Intervall stetig ist und nicht
> ob sie hebbare Lücken hat.

das glaube ich ja gerne, aber es wird dadurch nicht besser. Mache deine Lehrerin/deinen Lehrer darauf aufmerksam!

> Darf man denn einfach mit x kürzen. Weil in meinem
> Intervall ist doch die 0 auch drin.

Was passiert denn beim Kürzen? Die ursprüngliche Funktion f und die durch das Kürzen erhaltene Funktion [mm] \overline{f} [/mm] stimmen ja bis auf die Lücke an der Stelle x=0 überein.

Wie gesagt und wie du selbst festgestellt hast ist f an der Stelle x=0 nicht definiert. Nach dem Kürzen hast du die Funktion [mm] \overline{f}, [/mm] und die ist an x=0 definiert.

Das Kürzen bewirkt also, dass eine neue Funktion entsteht. Und die ist auf ganz [mm] \IR [/mm] und somit auch auf [-2;2] stetig. Also hast du durch das Kürzen die Definitionslücke 'behoben', daher der Name 'hebbare Definitionslücke'.

Wenn man die obige Frage wörtlich genommen und mathematisch korrekt beantworten wollte, dann müsste man sinngemäß sagen:

Die Funktion f ist auf [-2;2] genau dort stetig, wo sie definiert ist. Also für alle x mit [mm] 0<|x|\le{2}. [/mm]

Das ist aber meiner Erfahrung nach nicht gerade eine Antwort, wie sie in der Schule erwartet wird...


Gruß, Diophant

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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Mi 25.04.2018
Autor: chrisno

Ich schaue in das Tafelwerk, das bei uns für Klassenarbeiten und das Abitur zugelassen ist:

Die Funktion heißt stetig ....
Geometrische Interpretation:
Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen in jedem zusammenhängenden Teil ihres Definitionsbereiches in einem Zug zeichnen kann.

> Hallo, wir sollen für die Schule schauen, ob
>  [mm]f(x)=\bruch{x^{2}-3x}{x}[/mm] auf [-2;2]
> stetig ist oder nicht. Ich hätte gesagt, dass die Funktion
> nicht stetig ist, da ich zu x=0 keinen y Wert bekomme, da
> man ja nicht durch 0 teilen darf.

Das ist nicht relevant, da 0 nicht zum Definitionsbereich gehört.
Also muss zuerst der Definitionsbereich innerhalb des vorgegebenen Intervalls bestimmt werden. Nur in diesem Definitionsbereich wird auf Stetigkeit untersucht.

> Wenn ich die Funktion aber plotte, bekomme ich eine Gerade
> „ohne Lücke“

Ist schon erklärt.

>  Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob sie stetig ist oder
> nicht

Beachte das "in jedem zusammenhängenden Bereich", also ist sie stetig.

>  
> Lg


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Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Mi 25.04.2018
Autor: fred97


> Ich schaue in das Tafelwerk, das bei uns für
> Klassenarbeiten und das Abitur zugelassen ist:
>  
> Die Funktion heißt stetig ....
>  Geometrische Interpretation:
>  Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen in jedem
> zusammenhängenden Teil ihres Definitionsbereiches in einem
> Zug zeichnen kann.

Holla ! Dann zeichnen wir mal den Graphen von

f (x)= x sin (1/x) für x [mm] \ne [/mm] 0  und f (0)=0

aber bitte in einem Zug !

>  
> > Hallo, wir sollen für die Schule schauen, ob
>  >  [mm]f(x)=\bruch{x^{2}-3x}{x}[/mm] auf [-2;2]
> > stetig ist oder nicht. Ich hätte gesagt, dass die Funktion
> > nicht stetig ist, da ich zu x=0 keinen y Wert bekomme, da
> > man ja nicht durch 0 teilen darf.
> Das ist nicht relevant, da 0 nicht zum Definitionsbereich
> gehört.
> Also muss zuerst der Definitionsbereich innerhalb des
> vorgegebenen Intervalls bestimmt werden. Nur in diesem
> Definitionsbereich wird auf Stetigkeit untersucht.
>  
> > Wenn ich die Funktion aber plotte, bekomme ich eine Gerade
> > „ohne Lücke“
>  Ist schon erklärt.
>  
> >  Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob sie stetig ist oder

> > nicht
>  Beachte das "in jedem zusammenhängenden Bereich", also
> ist sie stetig.
>  >  
> > Lg
>  


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Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Mi 25.04.2018
Autor: chrisno

Hi Fred,
ich habe nicht vor bis in die Unendlichkeit einen Stift zu führen.
Es handelt sich um eine Veranschaulichung für Schüler, nach der eigentlichen Definition.
Dabei kommt es zu Verlusten. Stichwort: didaktische Reduktion.

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 Do 26.04.2018
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  ich habe nicht vor bis in die Unendlichkeit einen Stift zu
> führen.

Hi chrisno,

so war das nicht gemeint. Führe mal den Stift nur über das Intervall [0,1].


> Es handelt sich um eine Veranschaulichung für Schüler,
> nach der eigentlichen Definition.
>  Dabei kommt es zu Verlusten. Stichwort: didaktische
> Reduktion.


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:21 Mi 25.04.2018
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Vorweg: Der folgende Beitrag ist NICHT für das Studium durch Schülerinnen und Schüler gedacht.


Mir erscheint es schwierig, eine Erklärung zu finden, so dass die "Geometrische Interpretation" der Stetigkeit zu der üblichen Definition der Stetigkeit passt... :-(

Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen... :-)


>  Eine Funktion ist stetig, wenn man ihren Graphen in jedem
> zusammenhängenden Teil ihres Definitionsbereiches in einem
> Zug zeichnen kann.

1. Es geht anscheinend um Funktionen [mm] $D\to\IR$ [/mm] für Teilmengen [mm] $D\subseteq\IR$? [/mm]

2. Nun stellt sich mir u.a. die Frage, was ein "zusammenhängender Teil" des Definitionsbereiches ist?
Ist z.B. [mm] $\IR$ [/mm] ein zusammenhängender Teil von [mm] $\IR$? [/mm]
Offenbar ist [mm] $D:=[-2,2]\setminus\{0\}$ [/mm] nicht als "zusammenhängender Teil" von D anzusehen?
Ist [mm] $D:=\IQ$ [/mm] als zusammenhängender Teil von [mm] $\IQ$ [/mm] anzusehen?
Sollen möglicherweise nur Intervalle (die Teilmenge des Definitionsbereiches der Funktion sind) als zusammenhängende Teile gelten?

3. Vorausgesetzt [mm] $\IR$ [/mm] ist ein zusammenhängender Teil von [mm] $\IR$: [/mm]
Wie zeichne ich den Graphen von [mm] $f\colon\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ in einem Zug?
Selbst, wenn ich unendlich viel Zeit und Platz zum Zeichnen hätte, müsste ich nicht irgendwo anfangen zu zeichnen und dann in eine der beiden Richtungen loszeichnen? Müsste ich nicht irgendwann mal den Stift absetzen (!), um in die andere Richtung zu zeichnen?
(Oder darf/muss ich Abschnitte mehrfach zeichnen? Wenn ja: Wird diese Technik in der Schule behandelt?)

4. Wenn schon ich als Diplom-Mathematiker Schwierigkeiten habe, die Geometrische Interpretation auf die so einfache Funktion wie [mm] $f\colon\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ anzuwenden: Wie schaffen Schüler(innen) das?
Tut man ihnen wirklich einen Gefallen, wenn man Stetigkeit auf diese Weise behandelt?


Ich freue mich auch über Antworten zu Teilfragen. :-)


Viele Grüße
Tobias

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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Mi 25.04.2018
Autor: Fulla

Hallo Tobias,

in der Schule (ich kann nur für das bayerische Gymnasium sprechen) wird Stetigkeit durchaus "anständig" definiert.
Ich zitiere aus "Fokus Mathematik 11" vom Cornelsen Verlag:
"Die Funktion [mm]f[/mm] heißt stetig an der Stelle [mm]a[/mm] ihrer Definitionsmenge, wenn der Grenzwert der Funktion an der Stelle [mm]a[/mm] existiert und gleich dem Funktionswert [mm]f(a)[/mm] ist, kurz, wenn [mm]\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)[/mm] ist."

Die Geschichte mit dem "in einem Zug zeichnen" ist tatsächlich für die "lokale" Anschauung. Die Schüler verstehen schon, dass man meist eh nur gewisse, diskrete Stellen betrachten muss und begreifen auch, dass sie sich dann überlegen müssen, ob sie beim Zeichnen über diese Stelle(n) hinwegkommen, ohne den Stift abzusetzen.
Ich kann mir nur schwer vorstellen, dass der Otto-Normal-Schüler bei der Funktion $f(x)=0$ z.B. fragen würde, wo er mit dem Zeichnen anfangen soll oder dass er bemängeln würde, dass er mit dem Zeichnen ja niemals fertig werden würde. Es geht darum, zu erkennen, dass die Funktion "immer so weiter" geht und dass, wenn ich den Graph auf dem Intervall $[0,1]$ ohne Absetzen zeichnen kann, ich auch den Rest ohne Absetzen zeichnen kann.

So Sachen wie [mm]f(x)=x\cdot \sin\left(\frac 1x\right)[/mm], was Fred oben erwähnte, werden in der Schule, wenn überhaupt, nur als "Bonus-Material" behandelt. Dadurch wird halt aufgezeigt, dass es auch noch was anderes gibt, als simple abschnittsweise definierte Funktionen, wo man die Stetigkeit prüfen kann... Denn meistens wird in diesem Abschnitt hauptsächlich dieser Funktionstyp besprochen.

Vielleicht mag noch jemand anderes was dazu sagen, darum lasse ich die Frage auf halb beantwortet.

Lieben Gruß,
Fulla
 

Bezug
                                
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Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:28 Do 26.04.2018
Autor: tobit09

Hallo Fulla,


vielen Dank für deine ausführliche Antwort! :-)


> in der Schule (ich kann nur für das bayerische Gymnasium
> sprechen) wird Stetigkeit durchaus "anständig" definiert.

Ah, gut.


> Die Geschichte mit dem "in einem Zug zeichnen" ist
> tatsächlich für die "lokale" Anschauung.

(Ob dies den Schüler(inne)n klar ist, obwohl es nirgendwo steht?)


> Die Schüler
> verstehen schon, dass man meist eh nur gewisse, diskrete
> Stellen betrachten muss und begreifen auch, dass sie sich
> dann überlegen müssen, ob sie beim Zeichnen über diese
> Stelle(n) hinwegkommen, ohne den Stift abzusetzen.

(Das klingt für mich eher nach Nachahmung des von dem/der Lehrer(in) Vorexerzierten anstatt nach Verstehen...)


>  Ich kann mir nur schwer vorstellen, dass der
> Otto-Normal-Schüler bei der Funktion [mm]f(x)=0[/mm] z.B. fragen
> würde, wo er mit dem Zeichnen anfangen soll oder dass er
> bemängeln würde, dass er mit dem Zeichnen ja niemals
> fertig werden würde.

(Im Wesentlichen ging es mir um etwas Anderes: Muss ich nicht den Stift absetzen (oder Abschnitte mehrfach zeichnen), um in beide Richtungen zu kommen?)


> So Sachen wie [mm]f(x)=x\cdot \sin\left(\frac 1x\right)[/mm], was
> Fred oben erwähnte, werden in der Schule, wenn überhaupt,
> nur als "Bonus-Material" behandelt. Dadurch wird halt
> aufgezeigt, dass es auch noch was anderes gibt, als simple
> abschnittsweise definierte Funktionen, wo man die
> Stetigkeit prüfen kann...

(Ist Freds Funktion nicht eine simple abschnittsweise definierte Funktion?)


Noch offen ist für mich 2. aus meinem Fragebeitrag, also die Frage nach der Bedeutung eines "zusammenhängenden Teils".


Viele Grüße
Tobias

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Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Do 26.04.2018
Autor: fred97


> Hallo Tobias,
>  
> in der Schule (ich kann nur für das bayerische Gymnasium
> sprechen) wird Stetigkeit durchaus "anständig" definiert.
>  Ich zitiere aus "Fokus Mathematik 11" vom Cornelsen
> Verlag:
>  "Die Funktion [mm]f[/mm] heißt stetig an der Stelle [mm]a[/mm] ihrer
> Definitionsmenge, wenn der Grenzwert der Funktion an der
> Stelle [mm]a[/mm] existiert und gleich dem Funktionswert [mm]f(a)[/mm] ist,
> kurz, wenn [mm]\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)[/mm] ist."


Mich würde interessieren, wie und ob dann [mm] \lim_{h\to 0} [/mm] f(a+h) "anständig" definiert wird.

Mit [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] oder über Folgen ....  ?

>  
> Die Geschichte mit dem "in einem Zug zeichnen" ist
> tatsächlich für die "lokale" Anschauung. Die Schüler
> verstehen schon, dass man meist eh nur gewisse, diskrete
> Stellen betrachten muss und begreifen auch, dass sie sich
> dann überlegen müssen, ob sie beim Zeichnen über diese
> Stelle(n) hinwegkommen, ohne den Stift abzusetzen.
>  Ich kann mir nur schwer vorstellen, dass der
> Otto-Normal-Schüler bei der Funktion [mm]f(x)=0[/mm] z.B. fragen
> würde, wo er mit dem Zeichnen anfangen soll oder dass er
> bemängeln würde, dass er mit dem Zeichnen ja niemals
> fertig werden würde. Es geht darum, zu erkennen, dass die
> Funktion "immer so weiter" geht und dass, wenn ich den
> Graph auf dem Intervall [mm][0,1][/mm] ohne Absetzen zeichnen kann,
> ich auch den Rest ohne Absetzen zeichnen kann.
>  
> So Sachen wie [mm]f(x)=x\cdot \sin\left(\frac 1x\right)[/mm], was
> Fred oben erwähnte, werden in der Schule, wenn überhaupt,
> nur als "Bonus-Material" behandelt. Dadurch wird halt
> aufgezeigt, dass es auch noch was anderes gibt, als simple
> abschnittsweise definierte Funktionen, wo man die
> Stetigkeit prüfen kann... Denn meistens wird in diesem
> Abschnitt hauptsächlich dieser Funktionstyp besprochen.
>  
> Vielleicht mag noch jemand anderes was dazu sagen, darum
> lasse ich die Frage auf halb beantwortet.
>  
> Lieben Gruß,
>  Fulla
>   


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Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:46 Do 26.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> 4. Wenn schon ich als Diplom-Mathematiker Schwierigkeiten
> habe, die Geometrische Interpretation auf die so einfache
> Funktion wie [mm]f\colon\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] anzuwenden: Wie
> schaffen Schüler(innen) das?
> Tut man ihnen wirklich einen Gefallen, wenn man Stetigkeit
> auf diese Weise behandelt?

Nein, im Gegenteil. Ich kann aus solchen Gründen so langsam das Wort Didaktik nicht mehr hören, erst recht nicht so einen Quark wie Didaktische Reduktion.

Würde man - zumindest an den Gymnasien - vor der Arbeit mit Funktionen eine ausführliche Auseinandersetzung mit Ungleichungen setzen, dann wären gerade in der Analysis einige Dinge in der Schule möglich, von denen man in Deutschland zumindest bisher nur (noch) träumen kann, u.a. eben auch eine vernünftige Einführung der Stetigkeit.


Gruß, Diophant
 

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Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Do 26.04.2018
Autor: tobit09

Hallo Diophant,

danke auch für deine Meinung.

Übrigens sehe ich nicht den prinzipiellen Zwang "Stetigkeit geometrisch" oder "Stetigkeit formal" zu behandeln. Es gäbe auch noch die Möglichkeit, Stetigkeit in der Schule gar nicht zu behandeln, wozu ich tendieren würde, um die Schüler(innen) nicht noch mehr zu überfordern. Schon jetzt versteht ja offenbar ein Großteil der Schüler(innen) den Stoff nicht richtig... :-(

Viele Grüße
Tobias

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Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Do 26.04.2018
Autor: Diophant

Hallo tobit09,

> Hallo Diophant,

>

> danke auch für deine Meinung.

>

> Übrigens sehe ich nicht den prinzipiellen Zwang
> "Stetigkeit geometrisch" oder "Stetigkeit formal" zu
> behandeln. Es gäbe auch noch die Möglichkeit, Stetigkeit
> in der Schule gar nicht zu behandeln, wozu ich tendieren
> würde, um die Schüler(innen) nicht noch mehr zu
> überfordern.

In Baden-Württemberg ist das de facto der Fall. In den Schulbüchern taucht der Begriff kurz auf, aber i.d.R. wird kurz darauf hingewiesen und die allermeisten Schüler haben keine Vorstellung, um was es geht oder sie bekommen es gar nicht mit.

> Schon jetzt versteht ja offenbar ein
> Großteil der Schüler(innen) den Stoff nicht richtig...
> :-(

Ja nun, das ist ein weites Feld. Das betrifft ja auch alles nicht nur das Fach Mathematik, auch nicht nur die Schule sondern letztendlich den gesamten Bildungsbereich.

Ich will jetzt versuchen, nicht allzuweit auszuholen (wer mich kennt, weiß jetzt schon, dass das misslingen wird ;-) ), aber in einem Umfeld, wo nur noch das zählt, was man später im Beruf und im Leben 'braucht'*, ist es ja eigentlich nur konsequent, dass solche Dinge auf der Strecke bleiben.

Ich mache an der Stelle mal ein kleines 'Outing': ich bin ehemaliger Waldorfschüler (Schulzeit von 1972-1985). Wir hatten einen hervorragenden Mathematikunterricht, beispielhaft möchte ich hier zwei Punkte nennen:

- wir haben uns in verschiedenen Klassenstufen mit Ungleichungen beschäftigt
- ebenso wurde sehr stark auf die Mathematikgeschichte eingegangen, die Berechnungen von Archimedes rund um die Zahl [mm] \pi [/mm] bspw. wurden ausführlichst vorgestellt.

Als in Klasse 11 dann zunächst die Differenzialrechnung begonnen wurde, lag der Grenzwertbegriff sozusagen schon in der Luft. Das führte schoneinmal zu einem nachhaltigen Verständnis der Ableitung. Da unsere Lehrerin grundsätzlich Punkte abzog, wenn man bei einer Funktion nicht den maximalen oder auch den vorgegebenen Definitionsbereich von sich aus angab, war auch im Prinzip schon der moderne Funktionsbegriff ganz gut eingeführt.

So war es dann auch möglich, die Definition der Stetigkeit durchzunehmen, es wurde sogar auf das Epsilon-Delta-Kriterium informativ hingewiesen und es war von vornherein klar, dass sich diese Eigenschaft nur auf den Definitionsbereich bezieht. Zur besseren Anschauung wurden auch Funktionen mit Unstetigkeitsstellen behandelt, in der Regel diese früheren Standardaufgaben rund um zusammengesetzte Funktionsdefinitionen, wie sie damals auch im Abi üblich waren.

Natürlich hat man das auch ausführlich geometrisch interpretiert (Anschaulichkeit spielt ja in der Waldorfschule schon aus weltanschaulichen Gründen eine große Rolle), aber der Punkt war eben der: der Begriff ruhte nicht auf der geometrischen Deutung sondern diese war von Anfang an eine Folge der Definiton!

Und irgendwie geklappt hat das auch. Natürlich haben manche Mitschüler ganz schön geächzt, aber auf der anderen Seite gab es damals eben einen Satz heiße Ohren, wenn man nicht gespurt hat, und ich weiß gar nicht, ob das so schlecht war...

Um noch ein wenig anzugeben (ich tue das auch aus Dankbarkeit meiner ehemaligen Mathelehrerin gegenüber, der ich sehr viel zu verdanken habe): alle Waldorfschüler in BW, die damals Abi gemacht haben, mussten die Mathematik-Prüfung auf LK-Niveau schreiben. Und zwar ohne vorherige Kursstufe, nur die Prüfung zählte. Die Abigruppe unserer Klasse, knapp 20 Mann stark, erzielte dabei in Mathe einen Klassenschnitt von 1,9.

Was ich damit sagen will: wie schon seit Jahrtausenden (ich verweise auf einen gewissen Sokrates), sind wir schnell geneigt, alle Schwierigkeiten im schulischen Bereich auf die angebliche Unfähigkeit der Schüler abzuwälzen (man vergisst zum Beispiel leicht den ganzen unnötigen Kram, mit dem man Schüler heutzutage zumüllt). Aber ich finde, dass meine Schulzeit exemplarisch dafür steht, was man in der Schule an Niveau erreichen kann. Das soll jetzt auch gar keine Werbung für die Waldorfschule sein, denn letztendlich lag es schlicht und ergreifend an der Qualität des Unterrichts. Und wenn ich das damals mit Freunden vergliche habe, die aufs Gymnasium gingen, dann war dort das Niveau absolut vergleichbar.

Ich denke, die Ursache für diese ganze Misere ist ganz einfach unsere Gesellschaft, der mittlerweile jedwedes Bildungsideal verlorengegangen ist.

Wenn man also nur noch rein pragmatisch denkt, dann könnte man das noch weiterdenken: Mathematik wird einfach zum Wahlfach erklärt, sagen wir ab Klasse 9, in der Hoffnung, dass die Schule dann noch genügend 'Fachidioten' produziert...


Gruß, Diophant

* Was braucht man eigentlich wirklich im Leben? Ist das überhaupt eine Fragestellung, die bei der Zusammenstellung eines Fächerkanons berücksichtigt werden sollte?

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