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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei f: (0,1 \} \to \IR stetig. zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) \limes_{n\rightarrow\infty} f(n) existiert (in \IR )
b) f ist gleichmäßig stetig |
Hallo!
Ich hoffe sehr, dass mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen kann, mein Problem ist vor allem noch, dass ich den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig noch nicht begriffen habe und deshalb habe ich auch keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Viele Grüße, Sportsprinter
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Hallo,
also ein Problem ist bei Deiner Aufgabenformulierung, dass, wenn [mm] f\colon [0,1]\to\IR
[/mm]
oder aehnlich abbildet (moeglicherweise meintest Du ein rechtshalboffenes Intervall oder so), die Betrachtung des grenzwertes bei [mm] n\to\infty
[/mm]
keinen Sinn macht, oder ?
Allgemein heisst ja glm. Stetigkeit, dass Du -informell gesprochen- bei der
[mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta-Definition [/mm] von Stetigkeit fuer ein gegebenes [mm] \epsilon [/mm] fuer alle Stellen des
Definitionsbereiches dasselbe [mm] \delta [/mm] nehmen kannst, nicht wahr ?
Also nehmen wir mal an, Du meintest eine stetige Funktion
[mm] f\colon [0,\infty )\to\IR [/mm] (das Intervall sollte schon links-geschlossen sein, sonst
bräuchtest Du auch fuer die linke Intervallgrenze noch eine Anforderung fuer glm. Stetigkeit !), und Du moechtest zeigen:
f glm. stetig gdw [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] existiert in [mm] \IR.
[/mm]
Nun, wenn der Grenzwert existiert, ist doch somit f beschraenkt, d.h.
es gibt eine Zahl a>0 mit [mm] \forall x\in \IR_{\geq 0}\:\: -a\leq f(x)\leq [/mm] a.
Ich hab trotzdem gerade Zweifel daran bekommen, dass eine solche Aussage stimmt.
Wir koennen doch eine Ftk. konstruieren, die ''fast immer'' konstant 0 ist und nur an
einzelnen Stellen (zB den ganzzahligen Werten) immer spitzer werdende Zacken der Hoehe a hat - sowas sollte doch nicht glm. stetig sein, oder ?
Ueberpruefe jedenfalls bitte mal Deine Aufgabenstellung.
Gruss,
Mathias
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