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wie beweise ich das die funktion stetig ist.
[mm] f(x)=[x]+\wurzel{x-[x]}
[/mm]
ich weiß nicht genau wie man des beschreibt und warum zwei fälle, wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Alessandro1523!
> wie beweise ich das die funktion stetig ist.
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> [mm]f(x)=[x]+\wurzel{x-[x]}[/mm]
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> ich weiß nicht genau wie man des beschreibt und warum zwei
> fälle, wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte
Überlege Dir zunächst, dass nur die Stellen [mm] $x_0\in\IZ$ [/mm] interessant sind.
In diesen Stellen wiederum kann die Stetigkeit nur scheitern, wenn der linksseitige Grenzwert der Funktion nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt.
Also berechnen wir diese doch mal für [mm] $x_0\in\IZ$
[/mm]
linksseitig: [mm] $\lim_{h\to 0\atop h<0} f(x_0+h)=\lim_{h\to 0\atop h<0} [x_0+h]+\wurzel{x_0+h-[x_0+h]}=x_0-1+\wurzel{x_0-(x_0-1)}=x_0$, [/mm] da [mm] $[x_0+h]=x_0-1$ [/mm] für $-1<h<0$
rechtsseitig: [mm] $\lim_{h\to 0\atop h>0} f(x_0+h)=\lim_{h\to 0\atop h>0} [x_0+h]+\wurzel{x_0+h-[x_0+h]}=x_0+\wurzel{x_0-(x_0)}=x_0$, [/mm] da [mm] $[x_0+h]=x_0$ [/mm] für $0<h<1$
Es stimmen also an den Stellen [mm] $x_0\in\IZ$ [/mm] linksseitiger und rechtsseitger Grenzwert der Funktion überein, woraus die Stetigkeit der Funktion folgt.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Di 09.01.2007 | | Autor: | s222 |
Hallo,
hab zum Thema Stetugkeit hier mal alle möglichen Aufgaben durchgeschaut... Bei dieser Aufgabe verstehe ich grad nicht warum nur die Stellen Xo relevant sind?
> Überlege Dir zunächst, dass nur die Stellen [mm]x_0\in\IZ[/mm]
> interessant sind.
Vielleicht kann das ja jemand kurz erklären.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 10.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo s222
Nach den "einschlägigen" Sätzen über stetige Funktionen, sind Addition, Multiplikation, Verknüpfung von stetigen Funktionen stetig.
Jetzt ist [mm] $f(x)=\lfloor x\rfloor$ [/mm] nur unstetig für [mm] $x\in\IZ$. [/mm] Daher sind nur die Argumente [mm] $x\in\IZ$ [/mm] kritisch für die zu untersuchende Stetigkeit.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mi 10.01.2007 | | Autor: | s222 |
Alles klar! Danke!
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