Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mi 14.01.2004 | | Autor: | Tina |
Hallo zusammen.
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Also logisch ist es ja, dass das stetig ist und ich hab mir auch schon mal ein paar solche Funktionen aufgemalt. Es ist ja klar, dass da keine Sprungstellen drin sein dürfen, aber wie zeige ich das jetzt formell???
Sei f:[mm]\IR [/mm]-->[mm]\IR [/mm] stetig in O mit f(0)=0. Ferner gelte
f(x+y) "kleiner gleich" f(x)+f(y) für alle x,y [mm]\in\IR [/mm]. Zeigen sie, dass f stetig ist auf ganz [mm]\IR [/mm].
Schon mal vielen Dank im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mi 14.01.2004 | | Autor: | puq |
Sei [mm]x\in\mathbb{R}[/mm]
Es ist zu zeigen, dass f in x stetig ist, d.h. dass [mm]\lim_{h \to 0}f(x+h)=f(x)[/mm].
Es gilt [mm]\lim_{h \to 0}f(x+h) \le \lim_{h \to 0}f(x)+f(h)[/mm].
Da f in 0 stetig ist, gilt [mm]\lim_{h \to 0}f(h)=0[/mm], also folgt
[mm]\lim_{h \to 0}f(x+h) \le \lim_{h \to 0}f(x)[/mm].
Weiter gilt [mm]\lim_{h \to 0}f(x) = \lim_{h \to 0}f(x+h-h) \le \lim_{h \to 0}f(x+h) + \lim_{h \to 0}f(-h)[/mm], also wegen der Stetigkeit von f in 0 wie oben [mm]\lim_{h \to 0}f(x) \le \lim_{h \to 0}f(x+h)[/mm], also folgt [mm]\lim_{h \to 0}f(x+h) = \lim_{h \to 0}f(x)[/mm].
Nun gilt auch, dass [mm]\lim_{h \to 0}f(x) = f(x)[/mm], da h nicht in f(x) vorkommt, also folgt
[mm]\lim_{h \to 0}f(x+h) = f(x)[/mm], also die Stetigkeit von f in x.
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