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| Aufgabe | Bestimmen sie alle stetigen Funktionen, die folgende Bedingung erfüllen:
a) f: IR -> IR, f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y element IR
b) g: IR -> IR, g(x*y)=g(x)+g(y) für alle x,y element IR>0
c) h: IR -> IR, h(x*y)=h(x)*h(y) für alle x,y element IR>0.
(Hinweis: b) und c) können auf a) zurückgeführt werden.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht so richtig wie ich da überhaupt rangehen soll. der prf hat den tipp gegeben mit f(n*x)=n*f(x) für alle n element IN beweisen zu beginnen, aber wie soll mir das denn helfen? hat da jemand einen anderen Ansatz? die aufgabe ist ziemlich schwer, dass hat er zugegeben, aber sie muss doch lösbar sein.
Dank euch schon mal jetzt für eure überlegung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Di 19.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Also du zeigst zuerst, dass [mm]f(nx)=nf(x) [/mm] ist (mittels induktion)
Dann hast du für ganzzahlige n: [mm] f(n)=n*f(1)[/mm]
daher weiters für ganzzahlige m
[mm]m*f(1) = f(m)=f(n*\bruch{m}{n})=n*f(\bruch{m}{n})[/mm]
und daher
[mm] f(\bruch{m}{n})=\bruch{m}{n}*f(1)
[/mm]
daher f(x)=a.x mit konst. reellem a
Durch die Stetigkeitsvoraussetzung folgt die Eindeutigkeit der Funktion, denn
für y [mm] \in \IR \backslash \IQ
[/mm]
gibt es eine folge Rationaler Zahlen [mm] y_n [/mm] die gegen y konvergiert
und daher
[mm] f(y)=f(\lim y_n.1)=\lim y_n*f(1)=yf(1)
[/mm]
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also gilt die aussage nur für lineare funktionen durch den korrdinatenursprung, richtig?
und die zweite (b)) dann für die logarithmusfunktion, aber wie beweise ich das. irgendwas verknüpft mit irgendwas, aber wie?
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Bei b) könntest du f(x):= [mm] g(e^x) [/mm] betrachten, f(x) erfüllt dann die Bedingung aus a), also f(x) = mx, daraus folgt, dass g irgendein Logarithmus sein muss!
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Also bei a) würd ich das Ziel f(x) = ax anstreben, mit a:= f(1), dann mit dem Satz deines Profs erst für ganzzahlige, dann für rationale x beweisen und wenn du das hast, folgts für die anderen wegen der Stetigkeit!
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