Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Es seien S [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen, [mm] x_{0} [/mm] aus S und g: S [mm] \to \IR [/mm] eine Abbildung. Ferner existiere eine Umgebung von [mm] x_{0}, [/mm] auf der sämtliche partiellen Ableitungen von g existieren und beschränkt sind.
Zeige, dass g in [mm] x_{0} [/mm] stetig ist.
Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran?
Vielen Lieben Dank an euch alle!
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> Es seien S [mm]\subset \IR^{n}[/mm] offen, [mm]x_{0}[/mm] aus S und g: S [mm]\to \IR[/mm]
> eine Abbildung. Ferner existiere eine Umgebung von [mm]x_{0},[/mm]
> auf der sämtliche partiellen Ableitungen von g existieren
> und beschränkt sind.
> Zeige, dass g in [mm]x_{0}[/mm] stetig ist.
>
> Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran?
Hallo,
ich gehe an solche Aufgaben wie folgt heran:
- Begriffe klären.
zunächst: Stetigkeit, partielle Ableitungen, partiell diffbar.
- Wie kann ich den Bogen schlagen von partiell diffbar zu stetig?
Was gibt es da?
Anregungen sammeln durch Blättern in Gedächtnis oder Buch.
An sehr direkten Zusammenhängen gibt es folgenden: stetig partiell diffbare Funktionen auf offenen Intervallen sind stetig.
- Dies wäre ein Punkt, an welchem ich tätig werden würde.
Kann man aus den Voraussetzungen auf "stetig diffbar" schließen? (dann hätte man gewonnen!)
Fällt mir ein Hinderungsgrund ein, ein Gegenbeispiel?
Wenn nicht, würde ich in diese Richtung zu arbeiten anfangen.
- Wenn's in eine Sackgasse führt: neu überlegen...
Gruß v. Angela
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> Es seien S [mm]\subset \IR^{n}[/mm] offen, [mm]x_{0}[/mm] aus S und g: S [mm]\to \IR[/mm]
> eine Abbildung. Ferner existiere eine Umgebung von [mm]x_{0},[/mm]
> auf der sämtliche partiellen Ableitungen von g existieren
> und beschränkt sind.
> Zeige, dass g in [mm]x_{0}[/mm] stetig ist.
>
> Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran?
Möglicherweise hast Du den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auch für den mehrdimensionalen Fall zur Verfügung. Dann gilt ja für eine Funktion [mm]g:S\subseteq \IR^m\rightarrow \IR^n[/mm], sofern ihre Ableitung [mm]g_\star[/mm] in [mm]U_\varepsilon(x_0)\subseteq S[/mm] von [mm]x_0[/mm] durch die Konstante [mm]M[/mm] beschränkt ist,
[mm]|g(x)-g(x_0)| \leq M|x-x_0|[/mm]
für alle [mm]x\in U_\varepsilon(x_0)[/mm]. Aus dieser Beziehung folgt die Stetigkeit von [mm]g[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm] in null-komma-nichts...
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