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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mi 01.12.2004 | | Autor: | semmel |
Hallo Mathefreaks,
Ich hab hier eine UAfgabe zus Stetigkeit von Folgen, die ich nicht versteh, und die bitte jemand für mich erklären möchte, falls er mag.
Sei M [mm] \subseteq \IC [/mm] und f: M [mm] \to [/mm] M stetig. Wir wählen [mm] x_{0} \in [/mm] M und setztn rekursiv [mm] x_{n+1} [/mm] = f( [mm] x_{n}) [/mm] für ein n [mm] \in \IN. [/mm] Man soll nun zeigen, dass wenn die Folge ( [mm] x_{n}) [/mm] gegen einen Punkt x [mm] \in [/mm] M konvergiert, dann gilt f(x) = x.
Muss man das nicht irgendwie mit der epsilon-Umgebung zeigen?
Ich danke im Voraus für eine nette Hilfe.
semmel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Es gibt eine zum [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] äquivalente Formulierung der Stetigkeit:
Wenn eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ stetig ist und [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen $x [mm] \in [/mm] X$ konvergente Folge ist, dann gilt:
[mm] $\lim_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = f (x)$
Das gilt immer in metrischen Räumen (insbesondere in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IC$, [/mm] falls Dir der Begriff eines metrischen Raumes nichts sagt). Es bedeutet einfach, dass Stetigkeit am Punkt $a$ auch formuliert werden kann durch: für jede Folge, die gegen $a$ konvergiert, konvergiert die Folge der Bildpunkte gegen den Bildpunkt von $a$.
Mit dieser Information ist die Aufgabe ein Einzeiler. Viel Vergnügen!
Lars
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