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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 19.01.2005 | | Autor: | KingMob |
Hi!
Wie kann man zeigen, dass die Dirichlet-Funktion f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{für } x \in {\IR \backslash \IQ} \end{cases} [/mm] unstetig für alle x [mm] \in \IR [/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 19.01.2005 | | Autor: | taura |
Also, du macht einen [mm]\epsilon-\delta-Beweis[/mm]und zwar ist ja zu zeigen:
[mm]\forall x_0\in \IR: \exists\epsilon>0: \forall\delta>0:\exists x\in \IR:|x-x_0|<\delta \wedge |f(x)-f(x_0)|\ge\epsilon[/mm]
Also sei [mm] x_0 [/mm] bel., wähle [mm]\epsilon =\bruch{1}{2}[/mm]. Dann findet sich wegen der Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] bzw. [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] in jeder [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] x_0 [/mm] jeweils ein x [mm] \in \IQ [/mm] bzw. ein x [mm] \in \IR\setminus\IQ [/mm] (je nach dem, ob [mm] x_0 [/mm] rational oder irrational ist) so dass gilt: [mm]|x-x_0|<\delta \wedge |f(x)-f(x_0)|=|1-0| (bzw. |0-1|) = 1\ge\bruch{1}{2}=\epsilon[/mm]
[mm]\Box[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 19.01.2005 | | Autor: | KingMob |
Danke für die schnelle Antwort!!!
Mfg
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| Aufgabe | | f ist periodisch bezüglich jeder Periode T > 0, T [mm] \in \IQ [/mm] (es gibt keine kleinste Periode T [mm] \not= [/mm] 0). |
Hallo,
den Beweis, dass f unstetig habe ich geschafft, aber wie mache ich das mit Periodizität.
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
Nathenatiker
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Moin zusammen,
das geht einfach so: Sei [mm] T\in \IQ, [/mm] T>0, dann gilt für jedes [mm] r\in \IR:
[/mm]
[mm] r\in \IR\setminus \IQ\:\: \Leftrightarrow\:\: \forall z\in\IZ r+z\in\IR\setminus\IQ,
[/mm]
somit gilt also für alle [mm] r\in \IR, z\in\IZ,\: T>0,T\in\IQ:
[/mm]
[mm] f(r)=f(r+z\cdot [/mm] T)= [mm] \begin{cases} 1, & r\in\IR\setminus \IQ\\ 0 & sonset\end{cases}
[/mm]
(oder mit 1 und 0 vertauscht - das könnt Ihr ggf. korrigieren, gell ?
Gruss,
Mathias
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