matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitStetigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit
Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit: Epsilon-Delta Kriterium
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:43 So 23.01.2005
Autor: dancingestrella

Hallo zusammen!

Ich habe immense schwierigkeiten mit der Stetigkeit, dabei ist mein Hauptproblem, dass ich nie weiß wie ich bei dem  [mm] \varepsilon [/mm] -  [mm] \delta [/mm] Kriterium ansetzen muss...

In den Vorlesungen, Übungen usw. haben wir noch so unanschauliche, komplexe Aufgaben dazu angesprochen, deswegen habe ich mir mal zwei ganz elementare Funktionen herausgesucht:

1) f : [mm] \IR \to \IR, [/mm]  f(x) := x
2) g: [mm] \IR \to \IR, [/mm]  g(x) :=  [mm] \wurzel{x} [/mm]
3) h: [mm] \IR \to \IR, [/mm]   h(x) := [mm] x^2 [/mm]

Ich habe inzwischen mitbekommen, dass man mit  |a - b  | <   [mm] \delta [/mm]
für a, b [mm] \in \IR [/mm] anfangen muss und durch Implikationen zu  
| f(a) - f(b) | < [mm] \varepsilon [/mm] kommen muss.
So ganz lese ich das aber auch nicht aus der Definition heraus, aber ich versuche mal:

1) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt:  | a - b  | < delta.
Jetzt setze ich [mm] \varepsilon:= \delta [/mm] und es ist - zum Glück: f(a) = a und f(b) = b, dann bekommt man:
|f(a) - f(b) |< [mm] \varepsilon. [/mm]

2) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt:  | a - b  | < delta.
Nun ist aber g(a) =  [mm] \wurzel{a} [/mm] und g(b) =  [mm] \wurzel{b} [/mm] und ich scheitere...

3) Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt. Sei [mm] \delta [/mm] beliebig vorgegeben. Es gilt:  | a - b  | < delta.
Es ist h(a) = [mm] a^2 [/mm] und h(b) = [mm] b^2.... [/mm]

Ich weiß einfach nicht wie ich da weiterrechnen soll. Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

Gruß, dancingestrella


        
Bezug
Stetigkeit: falscher Stetigkeitsbegriff
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:00 Mo 24.01.2005
Autor: leduart

Hallo
Ich hoffe, du kannst die Stetigkeitsdefinition im Schlaf noch aufsagen:
ZU   jedem   [mm] \varepsilon [/mm] gehört ein  [mm] \delta [/mm] so dass gilt.......
D.h. wenn ich dir irgendein  [mm] \varepsilon [/mm] sage mußt du mir ein  [mm] \delta [/mm] angeben können!
deshalb kannst du nicht irgendein  [mm] \delta [/mm] vorgeben! Stell dir das wie eine Diskussion vor: Ich geb dir ein beliebiges  [mm] \varepsilon [/mm] dann sagst du klar dazu reicht   [mm] \delta [/mm] =. Kaum bist du fertig sag ich dir ein klineres  [mm] \varepsilon [/mm] und du mußt wieder ein  [mm] \delta [/mm] finden usw.usw. denn es gibt ja zu   jedem   [mm] \varepsilon [/mm] ein  [mm] \delta [/mm]  laut deiner Behaüptung. Dabei hab ich noch weggelassen, dass das  [mm] \delta [/mm]  meist noch von der Stelle  [mm] x_{0} [/mm] abhängt, an der man die Stetigkeit beweisen will. [mm] \delta [/mm] hängt also im allgemeinen von [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] ab. Wenn man [mm] \delta [/mm] kleiner macht schadet das aber nie!

Nun zu deinen Beispielen f(x) =x stetig bei [mm] x_{0} [/mm] da sag ich |x- [mm] x_{0}|< \varepsilon [/mm]
und du sagst sofort hihi hab ich schon mein  [mm] \delta [/mm] es ist einfach  [mm] \varepsilon. [/mm]
Bei f(x)=5x ist es schon schwieriger ich sag mein  [mm] \varepsilon [/mm] und du mußt dein  [mm] \delta [/mm] schon  [mm] \varepsilon/5 [/mm] machen!
jetzt [mm] f(x)=x^{2} [/mm]    Ich sag  [mm] |x^{2}-x0<^{2}|<\varepsilon [/mm] und jetzt kommst du ins Denken. Da du Binomi gut kennst schreibst du erst mal
[mm] |x^{2}-x0<^{2}| [/mm] =|(x-x0)(x+x0)| =|(x-x0)|*|(x+x0)|   Und dann denkst du x+x0 <2x0
oder <2x (x,x0>0) und wenn du jetzt  [mm] \delta [/mm] <  [mm] \varepsilon/2x0 [/mm] wählst  bist du fein raus.
Aber irgend eine Standardmethode um das richtige  [mm] \delta [/mm] zu finden gibt es nicht, da muß man immer denken und rumprobieren, manchmal hilft es mit einem  [mm] \delta [/mm] anzufangen und es am Ende noch zu verbessern,
Alles klar oder noch mehr Verwirrung?
Gute Nacht
leduart

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: jetzt: 1/x
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Di 25.01.2005
Autor: dancingestrella

Hallo leduart...

inzwischen habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium für so "einfache" Funktionen verstanden :-)
aber ich hänge nun an folgender (für mich nicht mehr so einfache) Funktion:

Behauptung:
f: (0,1]  [mm] \to \IR, [/mm] x  [mm] \mapsto \bruch{1}{x} [/mm]
ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.

Beweis:
Sei  [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für alle x mit  |a-x|< [mm] \delta: [/mm]

|f(x) - f(a)| =  | [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -  [mm] \bruch{1}{a}| [/mm] =  | [mm] \bruch{a-x}{xa} [/mm] | <  
| [mm] \bruch{ \delta}{xa} [/mm] | = [mm] \delta [/mm]  | [mm] \bruch{1}{ax} [/mm]  |

So, ich bekomme das x jetzt nicht raus! Wie komme ich denn da weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?

gruß, dancingestrella

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Di 25.01.2005
Autor: moudi


> Hallo leduart...
>  
> inzwischen habe ich das Epsilon-Delta-Kriterium für so
> "einfache" Funktionen verstanden :-)
>  aber ich hänge nun an folgender (für mich nicht mehr so
> einfache) Funktion:
>  
> Behauptung:
>  f: (0,1]  [mm]\to \IR,[/mm] x  [mm]\mapsto \bruch{1}{x} [/mm]
>  ist stetig,
> aber nicht gleichmäßig stetig.
>  
> Beweis:
>  Sei  [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für

> alle x mit  |a-x|< [mm]\delta: [/mm]
>  
> |f(x) - f(a)| =  | [mm]\bruch{1}{x}[/mm] -  [mm]\bruch{1}{a}|[/mm] =  |
> [mm]\bruch{a-x}{xa}[/mm] | <  
> | [mm]\bruch{ \delta}{xa}[/mm] | = [mm]\delta[/mm]  | [mm]\bruch{1}{ax}[/mm]  |
>  
> So, ich bekomme das x jetzt nicht raus! Wie komme ich denn
> da weiter? Kann mir jemand einen Tipp geben?

Genau, wie bekommt man das x heraus.

Du weisst ja, dass [mm] $x>a-\delta$, [/mm] denn [mm] $|a-x|<\delta$ [/mm] und daraus folgt, dass [mm] $x>\frac [/mm] a2$, wenn [mm] $\delta<\frac [/mm] a2$ und daraus [mm] $\frac 1x<\frac [/mm] 2a$ (falls [mm] $\delta<\frac [/mm] a2$).

Einsetzen ergibt:
$|f(x) - [mm] f(a)|<\frac{2\delta}{a^2}$. [/mm]
Wählt man jetzt delta kleiner als [mm] $\varepsilon\frac{a^2}{2}$, [/mm] so gilt
$|f(x) - [mm] f(a)|<\varepsilon$ [/mm]  (falls [mm] $\delta<\min\{\varepsilon\frac{a^2}{2},\frac a2\}$). [/mm]

Man sieht an diesem Beispiel, dass [mm] $\delta$ [/mm] schwer von a abhängt. Wenn $a$ immer näher nach 0 geht, muss man für dasselbe [mm] $\varepsilon$ [/mm] immer kleinere [mm] $\delta$ [/mm] wählen, das ist der Grund, wieso [mm] $f(x)=\frac1x$ [/mm] nicht gleichmässig stetig ist.

mfG Moudi

>  
> gruß, dancingestrella
>  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]