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| Aufgabe | f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] für x [mm] \le [/mm] 2
[mm]\bruch{1}{4}x^2+1[/mm] für x>2
Gesucht ist die Ableitung an der Stelle [mm] x_0=2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\(2^-}[/mm] [mm]\bruch{\bruch{1}{2}x^2-2}{x-2}[/mm] =2
[mm] \limes_{x\rightarrow\(2^+}[/mm] [mm]\bruch{\bruch{1}{4}x^2+1-2}{x-2}[/mm] =1
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Hallo!
Als wir heute in der Schule das Thema Stetigkeit besprochen haben, habe ich bemerkt, dass es auf diesem Gebiet noch einige Unklarheiten gibt.
Vielleicht kann mir jemand helfen?
Warum kann man z.B. bei der obigen Aufgabe nicht die Ableitung an der Stelle [mm] x_0=2 [/mm] machen(sondern 2^-)? Es steht doch: Für x [mm] \le [/mm] 2 und nicht für x <2.
Warum kann man sagen(ohne die Funktion [mm] x_0=2 [/mm] differenziert zu haben) das sie bei [mm] x_0=2 [/mm] auch stetig ist?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] für x [mm]\le[/mm] 2
> [mm]\bruch{1}{4}x^2+1[/mm] für x>2
>
> Gesucht ist die Ableitung an der Stelle [mm]x_0=2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(2^-}[/mm] [mm]\bruch{\bruch{1}{2}x^2-2}{x-2}[/mm]
> =2
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\(2^+}[/mm]
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}x^2+1-2}{x-2}[/mm] =1
>
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> Hallo!
>
> Als wir heute in der Schule das Thema Stetigkeit besprochen
> haben, habe ich bemerkt, dass es auf diesem Gebiet noch
> einige Unklarheiten gibt.
> Vielleicht kann mir jemand helfen?
>
> Warum kann man z.B. bei der obigen Aufgabe nicht die
> Ableitung an der Stelle [mm]x_0=2[/mm] machen(sondern 2^-)?
Dass die Ableitung an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] existiert, bedeutet, dass sowohl die linksseitige Ableitung als auch die rechtsseitige Ableitung an dieser Stelle existieren und dass sie übereinstimmen!!
> Es steht doch: Für x [mm]\le[/mm] 2 und nicht für x <2.
>
> Warum kann man sagen(ohne die Funktion [mm]x_0=2[/mm] differenziert
> zu haben) das sie bei [mm]x_0=2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auch stetig ist?
Das kann man so nicht, rechne es nach, linksseitigen und rechttseitigen Limes für $x\to x_0$ von f(x)
(Ich hab's unten aufgeschrieben)
> Vielen Dank im Voraus
>
> Gruß
>
> Angelika
>
diese Aufgabe soll zeigen, dass eine Funktion durchaus an einer Stelle $x_0$ stetig sein kann ohne an dieser Stelle auch differenzierbar zu sein.
Deine Funktion ist in $x_0=2$ stetig, wenn du dir mal den rechtsseitigen und linksseitigen Limes für $x\to 2$ von $f(x)$ anschaust, kommt beide Male 2 heraus:
rechtsseitiger Limes:
$\lim\limits_{x\downarrow 2}f(x)=\lim\limits_{x\downarrow 2}\left(\frac{1}{4}x^2+1}\right)$ denn so ist ja die Funktion f für x>2 definiert
$=\frac{1}{4}\cdot{}2^2+1=2$
und linksseitiger Limes:
$\lim\limits_{x\uparrow 2}f(x)=\lim\limits_{x\uparrow 2}\frac{1}{2}x^2$ denn so ist die Funktion für x\le 2 definiert
$=\frac{1}{2}\cdot{}2^2=2$
Linksseitiger und rechtsseitiger Limes stimmen also überein und sind auch = $f(x_0)=f(2)=2$
Das Ding ist also stetig in $x_0=2$
Aber deine weitere Rechnung zeigt, dass die Funktion in $x_0=2$ nicht diffbar ist, denn linksseitiger und rechtsseitiger Limes des Differenzenquotienten, also $\lim\limits_{x\uparrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ und $\lim\limits_{x\downarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ sind verschieden
Also zeigt diese Aufgabe, dass aus Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle $x_0$ noch längst nicht Diffbarkeit an dieser Stelle folgt!
ABER: es gilt die umgekehrte Richtung: Wenn eine Funktion an einer Stelle $x_0$ diffbar ist, so ist sie dort auch stetig
LG
schachuzipus
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