Stetigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben ist [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases}\bruch{x^2+y^3}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{falls } (x,y)\not= 0,0), \\ 0 & \mbox{falls } (x,y) = (0, 0) \end{cases}.
[/mm]
Untersuchen Sie ob f stetif ist und partiell differenzierbar im pkt (0,0) |
Hallo .
weiss jemand wie man das lösen soll?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 02.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Zur Stetigkeit in (0,0):
Nimm (x,y) ( ungleich Null) mit |y|<1.
Versuche ob Du auf die folgende Abschätzung kommst:
|f(x,y)| <_wurzel(x²+y²)
Wenn Du das hast, dürfte klar sein, dass f in (0,0) stetig ist.
Part. Diff.-barkeit:
für die part. Ableitung nach x in (0,0) betrachte
1/h(f(h,0) - f(0,0)) und schaue was passiert, wenn h gegen Null geht
für die part. Ableitung nach y in (0,0) betrachte
1/h(f(0,h) - f(0,0)) und schaue was passiert, wenn h gegen Null geht
FRED
|
|
|
| |
|
ich weiss jetzt nicht ganz wie ich dasmachen soll..leider
|
|
|
| |
|
Hallo [mm] $\le$,
[/mm]
> ich weiss jetzt nicht ganz wie ich dasmachen soll..leider
Na, Fred hat dir doch schon hingeschrieben, was du tun sollst.
Berechne mal die beiden Limites, einfach in die Funktionsvorschrift einsetzen und los geht's. Das kriegste schon hin...
Noch eine Alternative zum Stetigkeitsnachweis:
Die Rechnung wird kinderleicht, wenn du statt kartesischer Koordinaten Polarkoordinaten nimmst.
[mm] $x=r\cdot{}\cos(\phi)$, $y=r\cdot{}\sin(\phi)$, [/mm] $r$ die Länge des Vektors $(x,y)$, [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der x-Achse einschließt.
Schreib's dir mal hin und lasse [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ gehen.
Was passiert?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
@Fred
Woher kommt diese Gleichung für die part. Stetigkeit? Ist das die gleiche die man auch im [mm] \IR [/mm] benutzt um Stetigkeit zu zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 03.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht um partielle Differenzierbarkeit, und da man ja dabei eine Variable fest lsst ist es wieder 1 dimensional, ja.
gruss leduart
|
|
|
|
