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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:05 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
| Aufgabe | Überprüfen sie die Stetigkeit folgender Funktionen:
1) [mm] f(x)=e^{sinx}
[/mm]
2) f(x)=sin²(2x)
3) f(x)=ln(x²-4) |
Zeigt sich die Stetigkeit nur durch den Definitionsbereich? Oder kann ich auch noch anders Stetigkeit bzw. Unstetigkeit herausfinden?
zu 1) hier ist der Def.-bereich [mm] D={x\in\IR} [/mm] , das bedeutet die Funktion ist stetig
zu 2) genau wie bei 1)
zu 3) [mm] D=\{x\in\IR|x²-4>0\}
[/mm]
x²-4>0
x²>4
[mm] x_{1}=2
[/mm]
[mm] x_{2}=-2
[/mm]
[mm] D=(2;\infty)
[/mm]
ist das so ok?
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Hallo haZee!
Wie habt ihr denn Stetigkeit deiniert bzw. bis dato nachgweisen? Oder darfst Du verwenden, dass die Komposition stetiger Funktionen wiederum stetig ist?
> zu 3) [mm]D=\{x\in\IR|x²-4>0\}[/mm]
> x²-4>0
> x²>4
> [mm]x_{1}=2[/mm]
> [mm]x_{2}=-2[/mm]
> [mm]D=(2;\infty)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was ist denn z.B. mit $x \ =\ -3$ ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
Das ist ja eben mein Problem. Ich hab keinen Plan wie ich am besten an die Frage Stetigkeit heran gehe. Ich hab mir das so gedacht, dass ich wenn alle x-Werte definiert sind auch eine stetige Funktion habe. Und da 3) nicht überall definiert ist, habe ich gedacht muss bei x=2 und =-2 irgendwas sein, eine Lücke oder so. Wenn x=-3 ist ist es auch >0, das stimmt. Also ist [mm] D=\{x\in\IR| x\not= \pm2\}??
[/mm]
Und f(x) ist an der Stelle x=-2 und x=2 unstetig???
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Hallo haZee,
> Das ist ja eben mein Problem. Ich hab keinen Plan wie ich
> am besten an die Frage Stetigkeit heran gehe. Ich hab mir
> das so gedacht, dass ich wenn alle x-Werte definiert sind
> auch eine stetige Funktion habe. Und da 3) nicht überall
> definiert ist, habe ich gedacht muss bei x=2 und =-2
> irgendwas sein, eine Lücke oder so. Wenn x=-3 ist ist es
> auch >0, das stimmt. Also ist [mm]D=\{x\in\IR| x\not= \pm2\}??[/mm]
Na, du warst doch ganz oben mit deinen Umformungen schon bei [mm] $x^2>4$ [/mm] angelangt
Nun musst du aufpassen, wenn du die Wurzel ziehst, es ist [mm] $\sqrt{z^2}=|z|$ [/mm] !
Also [mm] $\Rightarrow [/mm] |x|>2$
Dh. für [mm] $x\ge [/mm] 0$ dann $x>2$ und für $x<0$ eben $-x>2$, also $x<-2$
Also [mm] $\mathbb{D}=\{x\in\IR\mid x<-2 \ \text{oder} \ x>2\}=(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$
[/mm]
>
> Und f(x) ist an der Stelle x=-2 und x=2 unstetig??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und dazwischen, weil dort nicht definiert.
Wie sieht's mit den anderen Punkten aus, bei denen f definiert ist? Ist f dort stetig?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
an den anderen Stellen ist f(x) stetig.
und wenn ich jetzt wissen will, welche unstetigkeit vorliegt?
ich habe [mm] \limes_{x\rightarrow2} [/mm] ln [mm] (x²-4)=-\infty
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow-2} [/mm] ln [mm] (x²-4)=-\infty
[/mm]
ausgerechnet. Was bedeutet das? Ist das eine Polstelle?
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Hallo nochmal,
> an den anderen Stellen ist f(x) stetig.
>
> und wenn ich jetzt wissen will, welche unstetigkeit
> vorliegt?
> ich habe [mm]\limes_{x\rightarrow2}[/mm] ln [mm](x²-4)=-\infty[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow-2}[/mm] ln [mm](x²-4)=-\infty[/mm]
> ausgerechnet. Was bedeutet das? Ist das eine Polstelle?
Jo, beides sind Polstellen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Mi 07.01.2009 | | Autor: | haZee |
supiiii :) ich dank dir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 08.01.2009 | | Autor: | gigi |
und woher weiß ich denn, dass f an den anderen stellen steig ist? reicht es denn, wenn man sagt, dass f dort defniniert ist??
gruß
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Hallo gigi,
Eine formale Definition für Stetigkeit ist z.B.:
[mm] \\f:\ \\D\ \to \IR [/mm] stetig in z [mm] \gdw \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] D mit [mm] |z-w|<\delta [/mm] gilt [mm] \\|f(z)-f(w)|\< \varepsilon.
[/mm]
Du musst also ein [mm] \delta \\(\varepsilon,w)\ [/mm] finden, sodass für alle w mit [mm] |f(x)-f(z)|<\varepsilon [/mm] der Abstand [mm] |z-w|<\delta.
[/mm]
[mm] \delta \\(\varepsilon,w)\ [/mm] bedeutet, dass das [mm] \delta [/mm] von w und [mm] \varepsilon [/mm] abhängen kann!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 08.01.2009 | | Autor: | gigi |
was heißt das nun bezogen auf obiges bsp??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo hazee
Ist die Aufgabe von Uni oder Schule?
Wie anspruchsvoll dann die Beweise sein müssen hängt davon ab.
Ganz sicher ist, dass eine Funktion überall definiert sein kann, aber fast nirgends oder nirgends stetig.
eine ganz einfache fkt, die überall definiert ist, aber ne Menge Sprungstellen hat ist etwa
f(x)=17 für x ganze Zahl, f(x)=1 sonst.
Du musst uns aufschreiben, wie ihr stetig definiert habt!
Dann habt ihr gehabt, dass wenn f(x) stetig und g(x) stetig ist auch f(g(x)) stetig? Also kurz, was habt ihr bisher mit Stetigkeit gemacht.
Richtig ist, an einer Stelle , wo ne fkt nicht definiert ist ist sie natürlich auch nicht stetig! also ist dein [mm] ln(x^2-4) [/mm] in [-2,2] sicher nicht stetig.
Gruss leduart
PS ergänze doch bitte dein Profil, dann kriegst du bessere Antworten!
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Ich nehm mal an, das hast du an der Uni gemacht.
Ich zeigt dir mal an einem Bsp. wie das mit meiner Def. aussieht.
Bsp.: [mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
Nun ist eine Vorschrift für ein [mm] \delta [/mm] gesucht mit dem [mm] \forall \varepsilon<0 [/mm] sd. für [mm] |x-y|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|x^{2}-y^{2}|<|x^{2}-xy|+|xy-y^{2}|=|x(x-y)|+|y(x-y)|<\varepsilon
[/mm]
Jetzt brauchen wir ein [mm] \delta, [/mm] was die Definition erfüllt:
[mm] \delta \\(x,\varepsilon)\ <\bruch{\varepsilon}{|x|+|y|}
[/mm]
Das dürfte stimmen, so viel Übung in Stetigkeit hab ich aber auch nicht...
lg Kai
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