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Forum "Funktionalanalysis" - Stetigkeit
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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Sa 14.03.2009
Autor: Riley

Aufgabe
a) Es sei T: [mm] C^1[0,1] \rightarrow [/mm] K gegeben durch
Tu = u(0) + u'(1),
wobei [mm] \|u\|_{C^1} [/mm] = [mm] \|u\|_{\infty} [/mm] + [mm] \|u'\|_{\infty} [/mm] ist. Zeige, dass T stetig ist mit [mm] \|T\| [/mm] =1.

b) Wir betrachten die gleiche Abbildung, allerdings [mm] C^1 [/mm] mit der äuivalenten Norm [mm] \| [/mm] u [mm] \|_{C^1, \infty} [/mm] := [mm] \max\{ \|u\|_{\infty} , \|u'\|_{\infty} \}. [/mm]
Zeige, dass T wieder stetig ist mit [mm] \|T\| [/mm] = 2.

Hallo,
bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was dieses u(0) und u'(1) ist?? Ist das einfach eine Funktion aus [mm] C^1 [/mm] ?
Arbeitet T also auf Funktionen?
Ich weiß nicht, kann man das wieder über die "Beschränktheit" zeigen?
Und wie kann ich die Norm [mm] \|T\| [/mm] von dem Teil ausrechnen??
Freue mich über alle Hinweise :-).
Viele Grüße,
Riley

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Sa 14.03.2009
Autor: Merle23


> a) Es sei T: [mm]C^1[0,1] \rightarrow[/mm] K gegeben durch
>  Tu = u(0) + u'(1),
>  wobei [mm]\|u\|_{C^1}[/mm] = [mm]\|u\|_{\infty}[/mm] + [mm]\|u'\|_{\infty}[/mm] ist.
> Zeige, dass T stetig ist mit [mm]\|T\|[/mm] =1.
>  
> b) Wir betrachten die gleiche Abbildung, allerdings [mm]C^1[/mm] mit
> der äuivalenten Norm [mm]\|[/mm] u [mm]\|_{C^1, \infty}[/mm] := [mm]\max\{ \|u\|_{\infty} , \|u'\|_{\infty} \}.[/mm]
>  
> Zeige, dass T wieder stetig ist mit [mm]\|T\|[/mm] = 2.

>  Hallo,
>  bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht, was dieses u(0) und
> u'(1) ist?? Ist das einfach eine Funktion aus [mm]C^1[/mm] ?
>  Arbeitet T also auf Funktionen?

Ja steht doch da: [mm]T: C^1[0,1] \rightarrow K[/mm].

Aber was ist bei euch K? Irgendein bel. Körper?

>  Ich weiß nicht, kann man das wieder über die
> "Beschränktheit" zeigen?

Bei linearen Operatoren ist Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit.

>  Und wie kann ich die Norm [mm]\|T\|[/mm] von dem Teil ausrechnen??

Nach oben abschätzen gegen 1 (bzw. 2 im Teil b) und dann ein Element angeben, welches diese obere Abschätzung realisiert (es reicht auch schon "nur" eine Folge anzugeben, welche im Grenzwert es realisiert).

>  Freue mich über alle Hinweise :-).
>  Viele Grüße,
>  Riley

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 Mo 16.03.2009
Autor: Riley

Hallo,

> Aber was ist bei euch K? Irgendein bel. Körper?

Ja, das ist irgendein Körper, nichts genauer festgelegt.
  

> Nach oben abschätzen gegen 1 (bzw. 2 im Teil b) und dann
> ein Element angeben, welches diese obere Abschätzung
> realisiert (es reicht auch schon "nur" eine Folge
> anzugeben, welche im Grenzwert es realisiert).

Kannst du mir hierbei helfen? Ich muss also wieder ein c finden, so dass
[mm] \|Tu\| \leq [/mm] c [mm] \| [/mm] u [mm] \| [/mm] für alle u [mm] \in C^1[0,1] [/mm] gilt.

Dann haben wir also
[mm] \|Tu \|_{C^1} [/mm] = [mm] \| [/mm] u(0) + u'(1) [mm] \|_{C^1} [/mm]

[mm] \leq \|u(0)\|_{C^1} [/mm] + [mm] \|u'(1) \|_{C^1} [/mm]

= [mm] \| [/mm] u(0) [mm] \|_{\infty} [/mm] + [mm] \|u'(0)\|_{\infty} [/mm] + [mm] \| [/mm] u'(1) [mm] \|_{C^1} [/mm]

= [mm] \sup |u_j(0)| [/mm] + [mm] \sup|u_j'(1)| [/mm] + [mm] sup|u_j'(1)| [/mm]

wegen [mm] \|f\|_{C^1} [/mm] = [mm] \sum_{|\alpha| \leq 1} \sup_{x \in \R} |D^{\alpha}f(x)| [/mm]

und [mm] \|x\|_{\infty} [/mm]  = [mm] sup|x_j|. [/mm]

Wie kann ich aber nun die sups weiter abschätzen?

Viele Grüße,
Riley


Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mo 16.03.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Aber was ist bei euch K? Irgendein bel. Körper?
>  
> Ja, das ist irgendein Körper, nichts genauer festgelegt.


ERs wird K = [mm] \IR [/mm] oder = [mm] \IC [/mm] sein !!!



>    
> > Nach oben abschätzen gegen 1 (bzw. 2 im Teil b) und dann
> > ein Element angeben, welches diese obere Abschätzung
> > realisiert (es reicht auch schon "nur" eine Folge
> > anzugeben, welche im Grenzwert es realisiert).
>  
> Kannst du mir hierbei helfen? Ich muss also wieder ein c
> finden, so dass
>  [mm]\|Tu\| \leq[/mm] c [mm]\|[/mm] u [mm]\|[/mm] für alle u [mm]\in C^1[0,1][/mm] gilt.
>  
> Dann haben wir also
>  [mm]\|Tu \|_{C^1}[/mm] = [mm]\|[/mm] u(0) + u'(1) [mm]\|_{C^1}[/mm]
>  
> [mm]\leq \|u(0)\|_{C^1}[/mm] + [mm]\|u'(1) \|_{C^1}[/mm]
>  
> = [mm]\|[/mm] u(0) [mm]\|_{\infty}[/mm] + [mm]\|u'(0)\|_{\infty}[/mm] + [mm]\|[/mm] u'(1)
> [mm]\|_{C^1}[/mm]
>  
> = [mm]\sup |u_j(0)|[/mm] + [mm]\sup|u_j'(1)|[/mm] + [mm]sup|u_j'(1)|[/mm]
>  
> wegen [mm]\|f\|_{C^1}[/mm] = [mm]\sum_{|\alpha| \leq 1} \sup_{x \in \R} |D^{\alpha}f(x)|[/mm]
>  
> und [mm]\|x\|_{\infty}[/mm]  = [mm]sup|x_j|.[/mm]
>  
> Wie kann ich aber nun die sups weiter abschätzen?


Du stellst Dich umständlich an.

$|Tu| = |u(0)+u'(1)| [mm] \le [/mm] |u(0)|+|u'(1)| [mm] \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} [/mm] = [mm] ||u||_{C^1}$, [/mm]

also ist T stetig und $||T|| [mm] \le [/mm] 1$

Für u(t) := 1 ist $|Tu| =1 = [mm] ||u||_{C^1}$, [/mm]

somit ist $||T||= 1$

FRED





>  
> Viele Grüße,
>  Riley
>  


Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Mo 16.03.2009
Autor: Riley

Hallo,

> [mm]||Tu||_{C^1} = |u(0)+u'(1)| \le |u(0)|+|u'(1)| \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} = ||u||_{C^1}[/mm],
>
> also ist T stetig und [mm]||T|| \le 1[/mm]
>  
> Für u(t) := 1 ist [mm]||Tu||_{C^1} =1 = ||u||_{C^1}[/mm],
>  
> somit ist [mm]||T||= 1[/mm]

Kann ich das für die (ii) dann analog so machen :

[mm]||Tu||_{C^1} = |u(0)+u'(1)| \le |u(0)|+|u'(1)| \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq 2 \max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 ||u||_{C^1}[/mm] ??

... und [mm] \|T\| \leq [/mm] 2, aber warum gilt Gleichheit?

Viele Grüße,
Riley


Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mo 16.03.2009
Autor: fred97

1. In meiner letzten Antwort mußte ich etwas verbessern:

                statt  [mm] ||Tu||_{C^1} [/mm]    schreibe $|Tu|$


2. Zu Deiner Frage:  " und $ [mm] \|T\| \leq [/mm] $ 2, aber warum gilt Gleichheit? "

Nimm mal u(t) = [mm] t^2+2 [/mm]

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Mo 16.03.2009
Autor: Riley

Hallo,
das verstehe ich nicht. Nimmst du nur den Betrag, weil u(0) und u'(1) ja Zahlen sind?
Aber warum

> statt  [mm]||Tu||_{C^1}[/mm]    schreibe [mm]|Tu|[/mm]

??
Ich muss doch zeigen, dass [mm] \| [/mm] Tu [mm] \| \leq [/mm] c [mm] \|u\| [/mm] ist, sonst hilft mir die Ungleichungskette aus obigem Beitrag doch nichts?

Hat das hier dann gestimmt:
[mm] ||Tu||_{C^1} [/mm] = |u(0)+u'(1)| [mm] \le [/mm] |u(0)|+|u'(1)| [mm] \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq [/mm] 2 [mm] \max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 ||u||_{C^1} [/mm] ?

Wie funktioniert das mit u(t) = [mm] 2t^2 [/mm] + 2 ?
Dann hab ich u(0) = 2 und u'(t) = 2t, also
Tu = 2 + 2 = 4 ??

Aber die Norm davon, wäre doch dann auch wieder 4 da es einfach nur noch eine Zahl ist?


Viele Grüße,
Riley

>
> 2. Zu Deiner Frage:  " und [mm]\|T\| \leq[/mm] 2, aber warum gilt
> Gleichheit? "
>  
> Nimm mal u(t) = [mm]t^2+2[/mm]
>  
> FRED


Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Di 17.03.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  das verstehe ich nicht. Nimmst du nur den Betrag, weil
> u(0) und u'(1) ja Zahlen sind?
> Aber warum
>  > statt  [mm]||Tu||_{C^1}[/mm]    schreibe [mm]|Tu|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  ??






T bildet doch nach K ab ( K = \IR oder = \IC) und die Norm auf K ist der Betrag !!
Damit hast Du:

$ |Tu| $ = |u(0)+u'(1)| $ \le $ |u(0)|+|u'(1)| $ \le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq $
2 $ \max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 $ \| $ u $ \|_{C^1, \infty} $ } $


Also: ||T|| \le 2







>  Ich muss doch zeigen, dass [mm]\|[/mm] Tu [mm]\| \leq[/mm] c [mm]\|u\|[/mm] ist,
> sonst hilft mir die Ungleichungskette aus obigem Beitrag
> doch nichts?
>
> Hat das hier dann gestimmt:
>   [mm]||Tu||_{C^1}[/mm] = |u(0)+u'(1)| [mm]\le[/mm] |u(0)|+|u'(1)| [mm]\le ||u||_{\infty} +||u'||_{\infty} \leq[/mm]
> 2 [mm]\max\{ \|u\|_{\infty}, \|u'\|_{\infty} \}=2 |$ \| $ u $ \|_{C^1, \infty} $ [/mm]
> ?
>  
> Wie funktioniert das mit u(t) = [mm]2t^2[/mm] + 2 ?




Sei u(t) = [mm] t^2+2. [/mm] Dann ist $ [mm] \| [/mm] $ u $ [mm] \|_{C^1, \infty} [/mm] $ = 2

Somit: |Tu| = 4 = 2$ [mm] \| [/mm] $ u $ [mm] \|_{C^1, \infty} [/mm] $ , folglich: ||T|| = 2

FRED  








>  Dann hab ich u(0) = 2 und u'(t) = 2t, also
>  Tu = 2 + 2 = 4 ??
>  
> Aber die Norm davon, wäre doch dann auch wieder 4 da es
> einfach nur noch eine Zahl ist?
>  
>
> Viele Grüße,
>  Riley
>  
> >
> > 2. Zu Deiner Frage:  " und [mm]\|T\| \leq[/mm] 2, aber warum gilt
> > Gleichheit? "
>  >  
> > Nimm mal u(t) = [mm]t^2+2[/mm]
>  >  
> > FRED
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Di 17.03.2009
Autor: Riley

Hallo,
danke für deine Antwort! Noch zwei kleine Nachfragen.

Folgt aus |Tu| = [mm] \|u\|_{C^1} [/mm] , dass [mm] \|T\| [/mm] = 1, wegen |Tu| [mm] \leq \|T\| \|u\| [/mm] ?

Und warum ist bei (ii)  [mm] \|u\|_{C^1, \infty} [/mm] = 2 ?

Ich hatte gerechnet [mm] \|u\|_{\infty} [/mm] = [mm] sup_{t \in [0,1]} [/mm] u(t) = [mm] 1^2 [/mm] + 2 = 3?

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                                                                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mi 18.03.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  danke für deine Antwort! Noch zwei kleine Nachfragen.
>  
> Folgt aus |Tu| = [mm]\|u\|_{C^1}[/mm] , dass [mm]\|T\|[/mm] = 1, wegen |Tu|
> [mm]\leq \|T\| \|u\|[/mm] ?

bist Du beim ersten Aufgabenteil ? Wenn ja; wir hatten schon: ||T|| [mm] \le [/mm] 1.
Wenn Du nun ein u findest mit |Tu| =  $ [mm] \|u\|_{C^1} [/mm] $, so folgt : ||T|| = 1



>  
> Und warum ist bei (ii)  [mm]\|u\|_{C^1, \infty}[/mm] = 2 ?
>  
> Ich hatte gerechnet [mm]\|u\|_{\infty}[/mm] = [mm]sup_{t \in [0,1]}[/mm] u(t)
> = [mm]1^2[/mm] + 2 = 3?


Du hast recht. Ich habe mich verschrieben ! betrachte u(t) = [mm] -t^2+2 [/mm]


FRED



>  
> Viele Grüße,
>  Riley


Bezug
                                                                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:17 Mi 18.03.2009
Autor: Riley

Hallo,
okay, dankeschön. Nun hab ichs endlich verstanden :-)

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                                                                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Mi 18.03.2009
Autor: Riley

Hallo,
doch noch eine Anmerkung zu der Funktion u(t) = [mm] -t^2 [/mm] + 2
u(0) = 2 und u'(t) = -2t, also u'(1) = -2.
Dann passt das mit dem max gleich 2 zwar schon, aber

|Tu| = |u(0) + u'(1) | = 0 ...

... oder hab ich mich verrechnet?

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                                                                                        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Mi 18.03.2009
Autor: fred97


> Hallo,
>  doch noch eine Anmerkung zu der Funktion u(t) = [mm]-t^2[/mm] + 2
>  u(0) = 2 und u'(t) = -2t, also u'(1) = -2.
>  Dann passt das mit dem max gleich 2 zwar schon, aber
>  
> |Tu| = |u(0) + u'(1) | = 0 ...
>  
> ... oder hab ich mich verrechnet?



Nein, aber ich habe mich schon wieder geirrt

ich mach mich noch mal auf die Suche

FRED

>  
> Viele Grüße,
>  Riley


Bezug
                                                                                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Mi 18.03.2009
Autor: Riley

Hallo,
ich hab gerade im Werner etwas passendes gefunden:
u(t) = (t - [mm] \frac{1}{2})^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4}, [/mm]
damit müsste es klappen!

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Mi 18.03.2009
Autor: fred97

Prima ! das passt

FRED

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