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| Aufgabe | Gegeben sei die Fuktion f: R -> R mit
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2 - a^2}{|x-a|}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich a} \\ 2a, & \mbox{für } x \mbox{ = a} \end{cases}
[/mm]
überprüfen sie f auf stetigkeit im definitionsbereich. für welche werte von a ist f stetig.
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ich hab hier eine fallunterscheidung gemacht.
Fall1: x-a > 0:
f(x) = x + a
Fall2: x-a < 0:
f(x) = -x-a
Fall3: x-a=0:
f(x) = 2a
anschließend habe ich die funktion für a = 4 plotten lassen.
und genau bei der stelle a springt die funktion. zumindest
interpretiere ich das mal so, wenn ich mir den graphen anschauen,
aber ich bin mir da nicht sicher, weil wenn maple mir den graphen
zeichnet dann sind alle punkte miteinander verbunden. nur weiß
ich grad nicht ob die verbindung bei x = 4 für a 4 zwischen
dem punkt (4/8) und (4/ca.-8) vom programm eingezeichnet wurde
weil es womöglich einfach alle punkte versucht zu verbinden oder
ob dies tatsächlich eine sprungstelle ist. denn wenns ne
sprungstelle ist würd ich sagen die funktion ist stückweise stetig
nämlich für alle x wert < a und dann noch für alle x werte >= a
bitte plotet mal die funktion selbst und sagt mir ob die
senkrechte gerade tatsächlich dahingehört oder ob sie da nicht hingehört
und es ein sprung darstellt. und geht bitte auf meine frage
mit der stetigkeit ein. danke schon mal im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 01.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
Eine senkrechte Gerade deutet hier schon einen Sprung im Funktionsgraphen an.
Bilde mal den Grenzwer [mm] $\limes_{x\rightarrow a\uparrow}f(x)$ [/mm] (also für $x \ < \ a$ ). Was erhältst Du?
Vergleiche nun mit $f(a)_$ .
Gruß
Loddar
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> Hallo BlubbBlubb!
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> Eine senkrechte Gerade deutet hier schon einen Sprung im
> Funktionsgraphen an.
>
> Bilde mal den Grenzwer [mm]\limes_{x\rightarrow a\uparrow}f(x)[/mm]
> (also für [mm]x \ < \ a[/mm] ). Was erhältst Du?
>
> Vergleiche nun mit [mm]f(a)_[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
>
für(x < a):
[mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] -x-a =-2a
für( x = a):
siehe Fall3: y = 2a
somit sind die beiden grenzwerte unterschiedlich, also ist das eine sprungstelle.
und was ist mit der frage ob der graph stetig ist.
ich würd ja sagen der graf ist stückweise stetig. nämlich einmal im bereich - undendlich bis kleiner a
und einmal im bereich von (einschließlich a) bis + unendlich.
und dann noch die frage ob der graph differenzierbar ist.
darauf würd ich entwerder sagen er ist stückweise differanzierbar, abgesehen bei der sprungstelle.
oder muss ich hier sagen der graf ist unstetig weils ne sprungstelle gibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mi 01.04.2009 | | Autor: | BlubbBlubb |
danke dir für die hilfe
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ich hab mir mal die aufgabenstellung nochmals angeschaut.
da steht ja: "Für welche Werte von a ist f stetig" .
Aber f ist für alle werte a unstetig, ist die frage einfach nur schlecht gestellt, oder hab ich da was übersehen und es gibt tatsächlich einen wert wo f in a stetig ist?
eine weitere frage:
wenn ich eine funktion auf stetigkeit überprüfen will und ich dieses epsilon-delta verfahren nicht verwenden will, dann kann ich das nur machen, indem ich mir die funktion anschaue, und die stellen mit einem rechtsseitigen und linkseitigen grenzwert überprüfe ob sie gleich sind. oder gibt es noch ne andere möglichkeit? es erfordert übung um zu erkennen in welchen stellen eine funktion unstetig sein könnte oder gibt es ein verfahren wo ich nach einem kochrezept vorgehen könnte um zu bestimmen ob eine funktion stetig ist. wichtig ist mir hierbei, dass man die komplette funktion mit einem kochrezept überprüfen kann ob sie stetig ist , nicht ob die funktion bloss in einzelnen punkten stetig ist.
noch eine frage zum verfahren mit dem grenzwert:
reicht es auch den linksseitigen und rechtsseitigen grenzwert zu bilden und zu schauen ob sie miteinander übereinstimmen um zu sagen, dass die funktion in diesem punkt stetig ist, oder ist es noch zwingend erforderlich dass ich noch [mm] f(x_0) [/mm] ausrechne?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
> da steht ja: "Für welche Werte von a ist f stetig" .
> Aber f ist für alle werte a unstetig, ist die frage
> einfach nur schlecht gestellt, oder hab ich da was
> übersehen und es gibt tatsächlich einen wert wo f in a
> stetig ist?
Ja, es gibt genau einen Wert!
> reicht es auch den linksseitigen und rechtsseitigen
> grenzwert zu bilden und zu schauen ob sie miteinander
> übereinstimmen um zu sagen, dass die funktion in diesem
> punkt stetig ist, oder ist es noch zwingend erforderlich
> dass ich noch [mm]f(x_0)[/mm] ausrechne?
Für Stetigkeit muss auch der entsprechende Funktionswert untersucht werden und mit den beiden Grenzwerten (rechtsseitig / linksseitig) übereinstimmen.
Gruß
Loddar
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ich muss also den linksseitigen und rechtsseitigen und den wert an der stelle [mm] f(x_0) [/mm] auf gleichheit überprüfen.
das heißt wenn der linksseitige und der rechtsseitige grenzwert gleich sind kanns immer noch einen punkt, also einen ausreißer geben der sich bei [mm] f(x_0) [/mm] befindet, richtig?
hmm es gibt ein a für das die funktion also stetig ist?
wie bekomm ich dieses a heraus?
ich hab die funktion bei maple geplotet und hab werte von -5 bis + 5 für a eingesetzt in ganzen schritten und hab nur unstetige funktionen gesehen.
eine idee zur berechnung fällt mir leider auch nicht ein.
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> ich muss also den linksseitigen und rechtsseitigen und den
> wert an der stelle [mm]f(x_0)[/mm] auf gleichheit überprüfen.
Hallo,
nein. Du mußt den links- und rechtsseitigen Grenzwert von f an der Stelle a überprüfen. Die Stelle x=a ist ja die einzige, an der die Stetigkeit nicht gesichert ist.
An der Stelle x=a müßten für Stetigkeit rechts- und Linksseitiger Grenzwert der Funktion mit dem Funktionswert an dieser Stelle, nämlich mit f(a)=2a übereinstimmen.
Dieses a ist u ermitteln.
> das heißt wenn der linksseitige und der rechtsseitige
> grenzwert gleich sind kanns immer noch einen punkt, also
> einen ausreißer geben der sich bei [mm]f(x_0)[/mm] befindet,
> richtig? achso.
???
Achso: ja, wenn der links- und rechtsseitige GW beidemale =5 wären, der Funktionswert an der Stelle hingegen =26, dann wär's nicht stetig.
>
> hmm es gibt ein a für das die funktion also stetig ist?
> wie bekomm ich dieses a heraus?
Ausrechnen.
Wie ist der rechtseitige GW bei x=a, wie der linksseitige, wie der Funktionswert? Wann sind die alle gleich? Gleichsetzen.
> ich hab die funktion bei maple geplotet und hab werte von
> -5 bis + 5 für a eingesetzt in ganzen schritten und hab nur
> unstetige funktionen gesehen.
Tja. Da hst Du wohl was vergessen zu beachten.
Gruß v. Angela
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stimmt hab tatsächlich was übersehen.
für a = 0 ist die funktion stetig.
1.Schritt: Überprüfung des linkseitigen GW, rechtsseitigen GW, und f(x) an der vermuteten Unstetigkeitsstelle.
rechtsseitiger GW:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] x + a = 2a
linksseitiger GW:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] -x - a = -2a
f(x = a) = 2a
2.Schritt überprüfung ob es a gibt für die alle drei werte gleich sind.
für a = 0 sind alle werte gleich, somit ist die funktion stetig für a = 0. für alle werte a ungleich 0 ist die funktion unstetig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo BlubbBlubb!
So stimmt es nun. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Sa 04.04.2009 | | Autor: | BlubbBlubb |
cool^^ danke !
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> eine weitere frage:
> wenn ich eine funktion auf stetigkeit überprüfen will und
> ich dieses epsilon-delta verfahren nicht verwenden will,
> dann kann ich das nur machen, indem ich mir die funktion
> anschaue, und die stellen mit einem rechtsseitigen und
> linkseitigen grenzwert überprüfe ob sie gleich sind. oder
> gibt es noch ne andere möglichkeit?
Hallo,
Du kannst auch noch mit der Definition der Stetigkeit über Folgen arbeiten.
> es erfordert übung um
> zu erkennen in welchen stellen eine funktion unstetig sein
> könnte oder gibt es ein verfahren wo ich nach einem
> kochrezept vorgehen könnte um zu bestimmen ob eine funktion
> stetig ist.
Bei solchen abschnittweise definierten Funktionen, wie Du sie oben hast, und wie sie in Klausuren recht beliebt sind, ist es doch so:
innerhalb der Abschnitte sind diese Funktionen i.d.R. stetig, da sie Kompositionen stetiger Funktionen sind. Mehr brauchst Du da gar nicht zu machen.
Als nächstes knöpfst Du Dir dann die Nahtstellen vor, hier sind die Stellen, die wirklich zu untersuchen sind. Meist wird man das mit den Grenzwerten machen.
> wichtig ist mir hierbei, dass man die komplette
> funktion mit einem kochrezept überprüfen kann ob sie stetig
> ist , nicht ob die funktion bloss in einzelnen punkten
> stetig ist.
Du wirst oft nicht die komplette Funktion überprüfen können. Bei stückweise def. Funktionen hast Du es in den Abschnitten u.U. ja mit ganz verschiedenen Funktionen zu tun, und die Nahtstellen mußt Du in jedem Fall einer gsonderten Betrachtung unterziehen.
>
> noch eine frage zum verfahren mit dem grenzwert:
>
> reicht es auch den linksseitigen und rechtsseitigen
> grenzwert zu bilden und zu schauen ob sie miteinander
> übereinstimmen um zu sagen, dass die funktion in diesem
> punkt stetig ist, oder ist es noch zwingend erforderlich
> dass ich noch [mm]f(x_0)[/mm] ausrechne?
Letzteres, dazu hatte ich Dir im anderen Post ja ein Beispiel gesagt.
Reichen tun rechts- ud linksseitiger Grenzwert, wenn es um die Frage der stetigen Ergänzbarkeit geht.
Gruß v. Angela
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>
> Du kannst auch noch mit der Definition der Stetigkeit über
> Folgen arbeiten.
>
ich dachte das wäre das verfahren mit den grenzwerten.
also überprüfung des linksseitigen grenzwertes, rechtsseitigen grenzwertes und des funktionswertes an der vermuteten unstetigkeitsstelle oder täusch ich mich da?
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> >
> > Du kannst auch noch mit der Definition der Stetigkeit über
> > Folgen arbeiten.
> >
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> ich dachte das wäre das verfahren mit den grenzwerten.
> also überprüfung des linksseitigen grenzwertes,
> rechtsseitigen grenzwertes und des funktionswertes an der
> vermuteten unstetigkeitsstelle oder täusch ich mich da?
Hallo,
nun, daß das alles miteinander zusammenhängt, ist ja kein Wunder. Stetigkeit ist Stetigkeit,
wenn Du willst, kannst Du auch sagen: [mm] \varepsilon-\delta-Def. [/mm] ist dasselbe wie die Folgenstetigkeit. Daß sie äquivalent sind, wurde ja in der Vorlesung bewiesen.
Ebenso ist ja auch der Grenzwert von Funktionen wiederum über Folgen oder über [mm] \varepsilon-\delta [/mm] definiert.
Rechnerisch kommt es einem aber doch oft unterschiedlich vor, ob man mit Folgen oder [mm] \varepsilon-\delta-Def. [/mm] hantiert, oder?
Gruß v. Angela
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