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| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) alle lipschitzstetigen Funktionen sind auch stetig.
b) sind auch alle stetigen Funktionen lipschitzstetig? |
Hallo an alle.
Den Teil a der Aufgabe habe ich schon gelöst, habe sie nur zum besseren Verständnis hinzu geschrieben.
Bei b weiß ich, dass dies nicht der Fall ist, denn ansonsten würde es diese Untergliederung ja gar nicht geben.
Ein Beispiel ist doch x² als stetig, aber nicht lipschitzstetig oder? oder wurzel x?
Nur wie Beweise ich dies anhand eines Gegenbeispiels?
Lieben Gruß stierchen
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Eine differenzierbare Funktion ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
[mm] f(x)=x^{2} [/mm] ist eine differenzierbare Funktion.
f'(x)=2x ist nicht nach oben beschränkt, folglich auch nicht lipschitzstetig.
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danke schonmal soweit:)
reicht dies denn als beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke schonmal soweit:)
>
> reicht dies denn als beweis?
jein, wenn ihr den Satz, dass eine diff'bare Funktion genau dann Lipschitz ist, wenn ihre Ableitung beschränkt ist, hattet, dann ja - wobei Du hier natürlich nur die Folgerung:
[mm] $f\,$ [/mm] diff'bar und [mm] $f\!\,'$ [/mm] unbeschränkt [mm] $\Rightarrow$ $f\,$ [/mm] nicht Lipschitz
benötigst. (Insbesondere ist hier aber zu beachten, dass diff'bare Funktionen insbesondere stetig sind.) Und Du willst ja nur die Aussage "Jede stetige Funktion ist Lipschitz" widerlegen, das ist getan, wenn Du eine stetige, aber nicht Lipschitzstetige Funktion angibst. Der obige Satz hilft Dir, solch eine Funktion zu finden bzw. zu beweisen, dass Du solch eine gefunden hast.
(Bei Deiner Aufgabe:
Du solltest erwähnen, dass $f'(x)=2x$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist und dass [mm] $f\!\,'$ [/mm] dann offensichtlich unbeschränkt ist (was man z.B. durch Betrachtung von $x [mm] \to \infty$ [/mm] erkennt).)
Andernfalls überlegst Du Dir entweder selbst, warum die Funktion [mm] $f:\IR \to \IR,\;x \mapsto f(x):=x^2$ [/mm] stetig, aber nicht Lipschitzstetig ist, oder Du überlegst Dir das so, wie man es bei dem oben erwähnten Satz beweisen würde.
Ich gebe Dir mal einen direkten Ansatz:
Die Stetigkeit dieser Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist klar. Um zu beweisen, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht Lipschitzstetig ist, kannst Du z.B. nach dem Beweis des obigen Satzes suchen (oder selbst versuchen, diesen Satz zu beweisen; man wird wohl den Mittelwertsatz benutzen!), oder Du machst es direkt:
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitz wäre, so würde doch eine Zahl $L > [mm] 0\,$ [/mm] existieren, dass, wenn nur $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit o.E. $x < y$ sind, schon folgte
[mm] $$|f(y)-f(x)|=|y^2-x^2| \le [/mm] L [mm] |y-x|\,.$$
[/mm]
Schreibe nun [mm] $|y^2-x^2|=|y+x|*|y-x|$ [/mm] und setze z.B. [mm] $x=x_n:=n$ [/mm] und [mm] $y=y_n=n+1$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ein. Bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] ergibt sich dann ein Widerspruch.
Gruß,
Marcel
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> Eine differenzierbare Funktion ist genau dann
> lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.
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> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] ist eine differenzierbare Funktion.
> f'(x)=2x ist nicht nach oben beschränkt, folglich auch
> nicht lipschitzstetig. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
f' ist natürlich lipschitzstetig, nur f nicht !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mi 08.07.2009 | | Autor: | snp_Drake |
>f' ist natürlich lipschitzstetig, nur f nicht !
Ja, das meinte ich. f' ist nicht nach oben beschränkt, folglich ist f nicht lipschitzstetig.
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