Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion f : [mm] \IR^{2}\backslash\{0\} \to\IR [/mm] , f(x,y) = [mm] \bruch{sin(x)y^{2}}{x^{2}+y^{4}}
[/mm]
a) Ist die Funktion f stetig?
b) Ist sie stetig auf [mm] \IR^{2} [/mm] fortsetzbar, d.h. gibt es eine stetige Funktion F: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] mit [mm] F_{|\IR^{2}\backslash\{0\} } [/mm] = f ? |
Hallo,
meine Fragen zur Aufgabe:
a) Wie berechnet man die Stetigkeit?
b) was soll ich hier machen?
Danke im Vorraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Berechne mal die beiden Grenzwerte
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0)$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\rightarrow 0+0}f(x,\wurzel{x})$
[/mm]
Dann wirst Du sehen, dass der Grenzwert
[mm] $\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)$ [/mm]
nicht existiert.
Damit lautet die Antwort auf die Frage in b) wie ??
FRED
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Ich habe jetzt mit L’Hospital Regel folgendes gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x,0)=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{x^{2}}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)}{2x}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-sin(x)}{2}=0
[/mm]
richtig soweit?
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0)[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0}f(x,\wurzel{x})[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+0}f(x,\wurzel{x}) [/mm] : Soll ich hier für die y-Koordinate [mm] f(x,\wurzel{x}) [/mm] nehmen?
was ist mit dem 0+0 gemeint unter dem Limes?
Danke.
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Hallo monstre123,
> Ich habe jetzt mit L’Hospital Regel folgendes gemacht:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x,0)=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{x^{2}}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es ist doch [mm] $f(x,0)=\frac{\sin(x)\cdot{}0^2}{x^2+0^4}=\frac{0}{x^2}=0$, [/mm] also [mm] $\lim\limits_{x\to 0}f(x,0)=0$
[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)}{2x}[/mm]
Selbst wenn es stimmen würde, mit welcher Begründung wendest du nun erneut de l'Hôpital an?
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-sin(x)}{2}=0[/mm]
>
> richtig soweit?
>
>
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0)[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0}f(x,\wurzel{x})[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+0}f(x,\wurzel{x})[/mm] : Soll ich hier
> für die y-Koordinate [mm]f(x,\wurzel{x})[/mm] nehmen?
Gemeint ist: [mm] $\text{x-Koordinate}=x, \text{y-Koordinate}=\sqrt{x}$, [/mm] dann [mm] $x\to [/mm] 0$ von oben (von rechts)
Schreibe auf, was [mm] $f(x,\sqrt{x})$ [/mm] ist, dann den rechtsseitigen Limes [mm] $x\to [/mm] 0^+$ bilden ..
>
> was ist mit dem 0+0 gemeint unter dem Limes?
Der rechtsseitige Limes, die Wurzel ist ja nur für Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ definiert.
>
> Danke.
Gruß
schachuzipus
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hallo,
wenn ich jetzt
> [mm]f(x,0)=\frac{\sin(x)\cdot{}0^2}{x^2+0^4}=\frac{0}{x^2}=0[/mm] ist,
dann ist [mm] f(x,\wurzel{x})=\bruch{sin(x)*(\wurzel{x}^{2})}{x^{2}+(\wurzel{x})^{4}}=\bruch{sin(x)*x}{x^{2}+x^{2}}=\bruch{sin(x)*x}{2*x^{2}}=\bruch{sin(x)}{2x}
[/mm]
Mit l'hopital: [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x)}{2x}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos(x)}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
diesmal richtig?^^
und wenn es richtig ist, wie soll ich jetzt die Stetigkeit beweisen?
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hmmm....
dann mal eine ganz dumme frage: wann ist eine funktion stetig und wann nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 21.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> hmmm....
>
> dann mal eine ganz dumme frage: wann ist eine funktion
> stetig und wann nicht?
Für obige Funktion f gilt:
f ist in (0,0) stetig [mm] \gdw [/mm]
der Grenzwert $ [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] $ existiert und es gilt: $ [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)= [/mm] (0,0)$
Oben hast Du gezeigt, dass der Grenzwert
$ [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] $
nicht existiert.
FRED
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ich habe ja gezeigt dass die funktion unstetig ist, aber nr.b) ist ja so formuliert als wäre die funktion stetig???
was soll ich bei b) machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 21.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sie wäre Stetig fortsetzbar WENN du einen Wert g für f(0,0) festlegen kannst , so dass dann der Gw für x,y gegen 0,0 g wäre. kannst du das nach den Ergebnissen von a)?
Gruss leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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