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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | Seien (X,d) metr. Raum und [mm] f:X\toX [/mm] eine kontrahierende Abbildung, d.h. es gibt reelle Zahl c mit 0 [mm] \le [/mm] c<1, s.d.
[mm] \forall x,y\in X:d(f(x),f(y))\le [/mm] c*d(x,y) gilt.
Beweisen sie, dass f stetig ist! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe jetzt so gedacht:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists x_{0}\in X:\forall x,y>x_{0} :d(f(x),f(y))<\varepsilon
[/mm]
da ich weiß, dass d(f(x),f(y))<d(x,y) weil [mm] c\ge0 [/mm] aber c<1, wähle ich mein [mm] \varepsilon=\bruch{d(x,y)}{c} [/mm]
dann hätte ich [mm] d(f(x),f(y))
Hab ich das so richtig?
Grüße Benny
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Hallo Benny,
> Seien (X,d) metr. Raum und [mm]f:X\toX[/mm] eine kontrahierende
> Abbildung, d.h. es gibt reelle Zahl c mit 0 [mm]\le[/mm] c<1, s.d.
> [mm]\forall x,y\in X:d(f(x),f(y))\le[/mm] c*d(x,y) gilt.
>
> Beweisen sie, dass f stetig ist!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe jetzt so gedacht:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists x_{0}\in X:\forall x,y>x_{0} :d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm]
>
> da ich weiß, dass d(f(x),f(y))<d(x,y) weil [mm]c\ge0[/mm] aber c<1,
> wähle ich mein [mm]\varepsilon=\bruch{d(x,y)}{c}[/mm]
> dann hätte ich [mm]d(f(x),f(y))
> [mm]d(x,y)<\bruch{d(x,y)}{c}[/mm] für [mm]0\lec<1,[/mm] somit
> [mm]d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm]
>
> Hab ich das so richtig?
Nee, das ist ziemlicher Murks!
Zu zeigen ist: [mm] $\forall \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists\delta>0 [/mm] \ [mm] \forall x,y\in [/mm] X : [mm] d(x,y)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon$
[/mm]
Insbesondere musst du dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgeben, das darfst du nicht wählen.
Du musst hier vielmehr ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] angeben.
Das kannst du dir leicht konstruieren, wenn du mal $d(f(x),f(y))$ in einer Nebenrechnung abschätzt:
[mm] $d(f(x),f(y))\le c\cdot{}d(x,y)$
[/mm]
Und das soll für [mm] $d(x,y)<\delta$ [/mm] dann gefälligst [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein.
Also [mm] $c\cdot{}d(x,y)
Wie kannst du das [mm] $\delta$ [/mm] also wählen?
Wenn du's aufschreibst, lasse die Nebenrechnung unter den Tisch fallen und beginne so:
"Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und wähle [mm] $\delta:=...$
[/mm]
Dann gilt für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $d(x,y)<\delta$: $d(f(x),f(y))\le\ldots <\varepsilon$ [/mm] "
Gruß
schachuzipus
>
> Grüße Benny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Also:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall x,y\in [/mm] X : [mm] d(x,y)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon [/mm]
sei jetzt [mm] \varepsilon>0 [/mm] , [mm] \delta:=\bruch{d(x,y)}{c}
[/mm]
dann gilt [mm] c*(d(x,y))
dann gilt [mm] \forall x,y\in [/mm] X : [mm] d(x,y)<\delta\Rightarrowd(f(x),f(y))<\varepsilon.
[/mm]
wäre das denn so für das gewählte [mm] \delta [/mm] richtig?
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Hallo nochmal,
> Also:
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists\delta>0 \forall x,y\in[/mm] X :
> [mm]d(x,y)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm]
> sei jetzt [mm]\varepsilon>0[/mm] , [mm]\delta:=\bruch{d(x,y)}{c}[/mm]
Mit dieser "Wahl" von [mm] $\delta$ [/mm] wäre es variabel, es ist ja $d(x,y)$ variabel.
[mm] $\delta$ [/mm] muss aber fest sein (darf aber von [mm] $\varepsilon$, [/mm] das zwar beliebig, aber [u]fest[/u9 ist, abh.)
Nimm mal [mm] $\delta:=\frac{\varepsilon}{c}$
[/mm]
Was ist dann für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$ mit [mm] $d(x,y)<\delta$ [/mm] ?
> dann gilt
> [mm]c*(d(x,y))
> für 0<c<1
> dann gilt [mm]\forall x,y\in[/mm] X :
> [mm]d(x,y)<\delta\Rightarrowd(f(x),f(y))<\varepsilon.[/mm]
>
> wäre das denn so für das gewählte [mm]\delta[/mm] richtig?
Nicht ganz
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Ah okay, das versteh ich, delta darf nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen.
mit [mm] \delta:=\bruch{\varepsilon}{c} [/mm] ist ja dann d(f(x),f(y))<c*(d(x,y) schon richtig abgeschätzt, weil [mm] c*d(x,y)
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien (X,d) metr. Raum und [mm]f:X\toX[/mm] eine kontrahierende
> Abbildung, d.h. es gibt reelle Zahl c mit 0 [mm]\le[/mm] c<1, s.d.
> [mm]\forall x,y\in X:d(f(x),f(y))\le[/mm] c*d(x,y) gilt.
>
> Beweisen sie, dass f stetig ist!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe jetzt so gedacht:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists x_{0}\in X:\forall x,y>x_{0} :d(f(x),f(y))<\varepsilon[/mm]
Das ist schon alleine wegen des [mm] "x,y>x_{0}" [/mm] nicht haltbar, da es ein "Größer" in einem metrischen Raum i.A. nicht gibt. Hier gibt es erstmal nur den Abstand d(x,y) ziwschen zwei Punkten.
Stetigkeit hat immer was damit zu tun, dass ein wie auch immer abstrakt gefaßter Abstand eines "Outputs" beliebig klein werden kann, wenn man nur den "Input" hinreichend klein macht.
Im Falle einer Abbildung [mm] f:(X,d)\to(X,d) [/mm] auf einem metrischen Raum kann man unterschiedliche Definitionen, die alle äquivalent sind, heranziehen:
Epsilon-Delta-Kriterium: f heißt (lokal) stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, so dass für alle x mit [mm] d(x,x_0)<\delta [/mm] gilt, [mm] d(f(x),f(x_0)<\epsilon [/mm] gilt.
Folgenkriterium: f ist stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn für jede Folge [mm] x_n\to x_0 [/mm] gilt [mm] f(x_n)\to f(x_0)
[/mm]
Umgebungskriterium: f ist stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn es zu jeder Umgebung V von [mm] f(x_0) [/mm] eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] gibt, deren Bild in V enthalten ist.
An [mm] d(f(x),f(y))\le [/mm] c*d(x,y) sieht man schon, dass der Abstand der Funktionswerte beliebig klein wird, wenn man nur den Abstand der Urbilder klein genug macht, da er nur mit einer konstanten multipliziert wird, um so zu einer obere Schranke für den Bildabstand zu werden. Die Funktion ist also totsicher stetig:
Epsilon-Delta-Kriterium: Sei [mm] x_0\in [/mm] (fest) X gegeben. Dann erhält man für ein zweites (variables) [mm] x\in [/mm] X mit [mm] d(x,x_0)<\delta [/mm] die Abschätzung [mm] d(f(x),f(x_0))\le c*d(x,x_0)
Also kann man festhalten: Ist ein [mm] \epsilon>0 [/mm] gegeben dann folgt aus [mm] d(x,x_0)<\delta:=\epsilon/c [/mm] die Ungleichung [mm] d(f(x),f(x_0)<\epsilon. [/mm] Fertig. Im Falle von c=0 braucht man nichts zu beweisen, da dann [mm] d(f(x),f(x_0)=0<\epsilon [/mm] unabhängig von [mm] d(x,x_0)<\delta [/mm] gilt.
LG
gfm
BTW: Die Funktion ist sogar gleichmäßig stetig, da das [mm] \delta [/mm] nicht von [mm] x_0 [/mm] abhängt, was man auch schon wieder an [mm] d(f(x),f(y))\le [/mm] c*d(x,y) sieht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Vielen Dank für die Aufschlüsselung, wann man wie die Stetigkeit prüfen muss, bin da immer sehr durcheinander gekommen und deine Erklärung ist echt gut, vielen vielen Dank!
Gruß Benny
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