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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 So 15.08.2010 | | Autor: | hula |
| Aufgabe | Sei $\ (X,d) $ ein metrischer Raum, $\ A [mm] \subset [/mm] X $ eine nichtleere Teilmenge. Wir definieren für jedes $\ x [mm] \in [/mm] X$ die Distanz vom Punkt $\ x $ zur Menge $\ A$ wie folgt:
[mm] d(x,A) := \inf{\{d(x,a) | a \in A\}} [/mm]
Zeigen Sie, dass die Abbildung $\ f: X [mm] \to \IR$ [/mm] , $\ x [mm] \to [/mm] d(x,A) $ stetig ist. |
Moin!
Ich soll obige Aufgabe lösen. Dazu haben wir den Tipp bekommen, dass man zeigen soll:
[mm] d(x,A) - d(y,A) \le d(x,y) [/mm]
diese Ungleichung habe ich hingekriegt. Allerdings verstehe ich nicht, wieso daraus Stetigkeit folgen sollte. Danke für die erhellenden Worte!
schönen Sonntag noch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\ (X,d)[/mm] ein metrischer Raum, [mm]\ A \subset X[/mm] eine
> nichtleere Teilmenge. Wir definieren für jedes [mm]\ x \in X[/mm]
> die Distanz vom Punkt [mm]\ x[/mm] zur Menge [mm]\ A[/mm] wie folgt:
> [mm]d(x,A) := \inf{\{d(x,a) | a \in A\}}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\ f: X \to \IR[/mm] , [mm]\ x \to d(x,A)[/mm]
> stetig ist.
> Moin!
>
> Ich soll obige Aufgabe lösen. Dazu haben wir den Tipp
> bekommen, dass man zeigen soll:
>
> [mm]d(x,A) - d(y,A) \le d(x,y)[/mm]
Der Tipp lautet sicher so:
(*) [mm]|d(x,A) - d(y,A)| \le d(x,y)[/mm]
gell ?
>
> diese Ungleichung habe ich hingekriegt. Allerdings verstehe
> ich nicht, wieso daraus Stetigkeit folgen sollte. Danke
> für die erhellenden Worte!
Sei $f(x):=d(x,A)$.Sei [mm] x_0 \in [/mm] X und sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Zu zeigen: es ex. [mm] \delta [/mm] > 0 mit:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] , falls [mm] d(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Wirf einen Blick auf (*) um zu sehen, wie Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] das [mm] \delta [/mm] zu wählen hast.
FRED
>
> schönen Sonntag noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 So 15.08.2010 | | Autor: | hula |
Hm mir fällt gerade auf, dass dies doch eigentlich Litpschitz-Stetigkeit ist und somit das ganze Stetig ist. Aber seis drum:
Sei [mm] \epsilon > 0 [/mm]. Ich muss also ein $\ [mm] \delta [/mm] $ finden, so dass für alle $\ x,y$ mit $\ d(x,y) < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon [/mm] $ ist. Mit der Geschichte der Lipschitz-Stetigkeit, weiss man ja, dass man dort das $\ [mm] \delta [/mm] $ wie folgt wählen kann (L ist Lipschitz-Konstane):
[mm] \delta := \bruch{\epsilon}{L} [/mm]
Also bei mir: $\ [mm] \delta [/mm] := [mm] \epsilon [/mm] $ dann gilt:
[mm] \forall x,y \in X, d(x,y) < \delta = \epsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)| \le d(x,y) < \epsilon [/mm]
gut so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 So 15.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hm mir fällt gerade auf, dass dies doch eigentlich
> Litpschitz-Stetigkeit ist und somit das ganze Stetig ist.
> Aber seis drum:
>
> Sei [mm]\epsilon > 0 [/mm]. Ich muss also ein [mm]\ \delta[/mm] finden, so
> dass für alle [mm]\ x,y[/mm] mit [mm]\ d(x,y) < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon[/mm]
> ist. Mit der Geschichte der Lipschitz-Stetigkeit, weiss man
> ja, dass man dort das [mm]\ \delta[/mm] wie folgt wählen kann (L
> ist Lipschitz-Konstane):
>
> [mm]\delta := \bruch{\epsilon}{L}[/mm]
> Also bei mir: [mm]\ \delta := \epsilon[/mm]
> dann gilt:
>
> [mm]\forall x,y \in X, d(x,y) < \delta = \epsilon \Rightarrow |f(x)-f(y)| \le d(x,y) < \epsilon[/mm]
>
> gut so?
Gut so !
FRED
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