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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:48 Fr 04.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D [mm] \subseteq \IR^2 [/mm] der Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{3x^3\wurzel{y}+y^{\bruch{3}{2}}+(xy)^\bruch{5}{2}}{\pi \wurzel{y}}. [/mm] Ist f in D stetig? |
Hallo, also ich komm bei der Aufgabe nicht weiter. Also D habe ich ja bestimmt, der müsste: [mm] D=\IR^2 [/mm] \ {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | y [mm] \not= [/mm] 0} sein. Aber wie mach ich jetzt weiter, um zu zeigen dass f in D stetig ist oder nicht?:O
Gruß David
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Hi David,
> Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D [mm]\subseteq \IR^2[/mm]
> der Funktion
> [mm]f(x,y)=\bruch{3x^3\wurzel{y}+y^{\bruch{3}{2}}+(xy)^\bruch{5}{2}}{\pi \wurzel{y}}.[/mm]
> Ist f in D stetig?
> Hallo, also ich komm bei der Aufgabe nicht weiter. Also D
> habe ich ja bestimmt, der müsste: [mm]D=\IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {(x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
> | y [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0} sein.
Es ist $ x,y \in \IR $. Was ist mit $ y < 0 $ ?
> Aber wie mach ich jetzt weiter, um zu
> zeigen dass f in D stetig ist oder nicht?:O
Überlege, ob $ f $ eine komposition stetiger Funktionen ist.
> Gruß David
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Fr 04.03.2011 | | Autor: | David90 |
Achso stimmt ja xD dann müsste der Definitionsbereich [mm] D=\IR^2 [/mm] \ { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | y>0 } sein. Richtig?:) Also [mm] 3x^2 [/mm] ist stetig, [mm] \wurzel{y} [/mm] ist stetig [mm] y^{3/2} [/mm] ist stetig [mm] (xy)^{5/2} [/mm] ist stetig, die konstante [mm] \pi [/mm] ist stetig...also ist f eine Komposition stetiger Funktionen:) Habe ich jetzt gezeigt, dass f auf ganz D stetig ist?:O
Gruß David
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Moin,
> Achso stimmt ja xD dann müsste der Definitionsbereich
> [mm] D=\IR^2\backslash [/mm] { (x,y) [mm] \in \IR^2| [/mm] y>0 } sein. Richtig?:)
Nein. Die positiven y-Werte schließt du aus? y darf nur positiv sein!
Beachte, dass auch xy<0 nicht möglich ist.
> Also [mm]3x^2[/mm] ist stetig, [mm]\wurzel{y}[/mm] ist stetig [mm]y^{3/2}[/mm] ist stetig
> [mm](xy)^{5/2}[/mm] ist stetig, die konstante [mm]\pi[/mm] ist stetig...also
> ist f eine Komposition stetiger Funktionen:) Habe ich jetzt
> gezeigt, dass f auf ganz D stetig ist?:O
Den Nenner musst du vorher schon loswerden, bevor du hier von einer Komposition von stetigen Funktionen sprichst.
Das ist aber kein Problem - der lässt sich ganz gut rauskürzen
> Gruß David
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 04.03.2011 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
> Den Nenner musst du vorher schon loswerden, bevor du hier
> von einer Komposition von stetigen Funktionen sprichst.
Was meinst du?
Für $ y > 0 $ ist der Nenner stetig.
Sind $ f, g $ stetige Funktionen und $ g = 0 $ für alle $ x [mm] \in [/mm] D $ so ist $ [mm] \dfrac{f}{g} [/mm] $ stetig auf $ D $.
Alternativ lässt sich der Nenner als Faktor $ [mm] \frac{1}{y} [/mm] $ schreiben. Dieser ist für $ y [mm] \not= [/mm] 0 $ ohnehin stetig. Dann eben das Produkt stetiger Funktionen stetig usw.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 So 06.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo ChopSuey,
> Hi,
>
>
> > Den Nenner musst du vorher schon loswerden, bevor du hier
> > von einer Komposition von stetigen Funktionen sprichst.
>
> Was meinst du?
> Für [mm]y > 0[/mm] ist der Nenner stetig.
>
> Sind [mm]f, g[/mm] stetige Funktionen und [mm]g = 0[/mm] für alle [mm]x \in D[/mm] so
> ist [mm]\dfrac{f}{g}[/mm] stetig auf [mm]D [/mm].
>
> Alternativ lässt sich der Nenner als Faktor [mm]\frac{1}{y}[/mm]
> schreiben. Dieser ist für [mm]y \not= 0[/mm] ohnehin stetig. Dann
> eben das Produkt stetiger Funktionen stetig usw.
Du hast Recht 
Ich war der Tatsache aufgesessen, dass sich [mm] \sqrt{y} [/mm] im Nenner unter Beachtung des Definitionsbereichs direkt wegkürzen lässt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 06.03.2011 | | Autor: | jaood |
| Aufgabe | | Ist f stetig auf ganz R fortsetzbar? Falls ja, geben Sie die Fortsetzung an; falls nein, begründen Sie! |
Ich denke, dass die Funktion nicht auf ganz R stetig fortsetzbar ist, weil es ja offensichtlich Definitionslücken gibt und in diesen die Funktion naturgemäß auch nicht stetig sein kann. Was haltet ihr von dieser These?
Vielen Dank im voraus.
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Hallo,
> Ist f stetig auf ganz R fortsetzbar? Falls ja, geben Sie
> die Fortsetzung an; falls nein, begründen Sie!
Hast du dir die Aufgabe gerade selbst ausgedacht?
Ganz allgemein hat stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion g in einem Punkt P nichts damit zu tun, ob die Funktion in P definiert ist.
Die Frage ist, ob es eine Funktion g' gibt, die unter Ergänzung von g mit g'(P):=einpassenderFunktionswert auch in P stetig sein kann.
Im Allgemeinen macht die Frage nach der stetigen Fortsetzbarkeit daher nur an den Grenzen des Definitionsbereichs oder in Unstetigkeitsstellen Sinn.
> Ich denke, dass die Funktion nicht auf ganz R stetig
> fortsetzbar ist, weil es ja offensichtlich
> Definitionslücken gibt und in diesen die Funktion
> naturgemäß auch nicht stetig sein kann.
Von Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt kann man nur sprechen, wenn sie dort auch definiert ist.
> Was haltet ihr von dieser These?
>
> Vielen Dank im voraus.
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:19 So 06.03.2011 | | Autor: | jaood |
Vielen Dank für die Antwort. Es handelt sich nicht um eine selbst-gestellte Aufgabe, sondern diese Aufgabe ist auch auf dem Aufgabenblatt der ursprünglichen Aufgabe. Sorry, wenn das nicht deutlich genug formuliert wurde.
Zum Thema: Was mich ein wenig in die Irre führt, ist wohl die Tatsache, dass ich "Fortsetzbarkeit" noch nicht so ganz verinnerlicht habe. Bzw die Fragestellung nach der generellen Fortsetzbarkeit in R verwirrend ist.
Generell habe ich das so verstanden, dass man die Stellen nehmen muss, an denen die Funktion nicht definiert ist. Wenn dies nun Punkte sind, dann kann man die Funktion umformen und die Rechtsseitigen und Linkseitigen Grenzwerte an dieser Stelle betrachten, wenn diese übereinstimmen, dann ist die Funktion in dieser Stelle fortsetzbar.
Aber bei dieser Funktion gilt ja [mm] D=\mathbb{R}^2\backslash \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\quad|\quad y\leq0 \quad x\neq0 \right\}
[/mm]
Mein Ansatz wäre jetzt, dass ich die Funktion umforme zb in:
[mm] f(x,y)=\frac{3x^3+x\sqrt{y}(xy)^\frac{3}{2}+y}{\pi}
[/mm]
Aber wie soll ich hier links und rechtseitigen Grenzwert vergleichen? Habe ich hier das Konzept nicht ganz verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 08.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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