Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fract |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] auf Stetigkeit:
1) [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{(xy)^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
2) [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^4-y^4}{x^4+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
so meine Frage ist jetze, wie geh ich vor!?
muss ich das mit [mm] \varepsilon-\delta [/mm] machen oder gibts da noch andere wege bei den beiden Aufgaben?
danke für Antworten.
// also ich mein für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) sind ja beide funktionen als komposition stetiger funktionen selbst wieder stetig. Also müsst ich doch eigentlich nur die Stetigkeit in (0,0) untersuchen.. richtig soweit? wie weiter?
*Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.*
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Moin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen von [mm]\IR^2[/mm] nach
> [mm]\IR[/mm] auf Stetigkeit:
>
> 1) [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{(xy)^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> 2) [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^4-y^4}{x^4+y^4}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> so meine Frage ist jetze, wie geh ich vor!?
>
> muss ich das mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm] machen oder gibts da
> noch andere wege bei den beiden Aufgaben?
>
> danke für Antworten.
>
>
> // also ich mein für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) sind ja beide
> funktionen als komposition stetiger funktionen selbst
> wieder stetig. Also müsst ich doch eigentlich nur die
> Stetigkeit in (0,0) untersuchen.. richtig soweit? wie weiter?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
zu 1) Folgenkriterium für Stetigkeit.
Zeige etwa, wenn [mm] a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty, [/mm] dann [mm] |f(a_k)|=\left|\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\right|\to(0,0),k\to\infty
[/mm]
Im Nenner kannst du mit dem Maximum Minimum der beiden Folgen abschätzen und so gewissermaßen kürzen und den Grenzwert von [mm] f(a_k) [/mm] am verbleibenden Nenner ablesen [...]
zu 2) Hier sieht man anhand des Folgenkriteriums für Stetigkeit, dass die Funktion nicht stetig in (0,0) ist.
Betrachte mal die Folge [mm] a_k:=(1/k,0). [/mm] Dann gilt [mm] a_k\to(0,0), k\to\infty. [/mm] Aber was passiert mit [mm] f(a_k), k\to\infty [/mm] ?
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> *Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.*
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fract |
ok, danke erstmal für die hilfe^^
> zu 2) Hier sieht man anhand des Folgenkriteriums für
> Stetigkeit, dass die Funktion nicht stetig in (0,0) ist.
> Betrachte mal die Folge [mm]a_k:=(1/k,0).[/mm] Dann gilt
> [mm]a_k\to(0,0), k\to\infty.[/mm] Aber was passiert mit [mm]f(a_k), k\to\infty[/mm]
Sei [mm] a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty, [/mm] betrachte nun [mm] a_k:=(1/k,0). [/mm] Dann gilt [mm] a_k\to(0,0) [/mm] für [mm] k\to\infty, [/mm] aber es gilt auch:
[mm] f(a_k) [/mm] = f(1/k,0) = [mm] \left|\frac{(1/k)^4-0}{(1/k)^4+0}\right| [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0, für [mm] k\to\infty [/mm]
Damit ist f nicht stetig in (0,0). richtig so?
> zu 1) Folgenkriterium für Stetigkeit.
> Zeige etwa, wenn [mm]a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty,[/mm] dann
> [mm]|f(a_k)|=\left|\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\right|\to(0,0),k\to\infty[/mm]
> Im Nenner kannst du mit dem Maximum der beiden Folgen
> abschätzen und so gewissermaßen kürzen und den Grenzwert
> von [mm]f(a_k)[/mm] am verbleibenden Nenner ablesen [...]
Ok. Also ich versteh das jetze nicht ganz wie du das meinst mit dem abschätzen!? Aber ich versuchs mal:
Sei [mm]a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty,[/mm] Dann gilt:
[mm]|f(a_k)|=\left|\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\right|\ge\left|\frac{(b_kc_k)^2}{2*b_k^2}\right|=\left|\frac{c_k^2}{2}\right| \to 0[/mm], für [mm] k\to\infty, [/mm] mit [mm] b_k^2 \ge c_k^2, \forall [/mm] k
meinst du das so, oder wie!?!
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> ok, danke erstmal für die hilfe^^
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> > zu 2) Hier sieht man anhand des Folgenkriteriums für
> > Stetigkeit, dass die Funktion nicht stetig in (0,0) ist.
> > Betrachte mal die Folge [mm]a_k:=(1/k,0).[/mm] Dann gilt
> > [mm]a_k\to(0,0), k\to\infty.[/mm] Aber was passiert mit [mm]f(a_k), k\to\infty[/mm]
> Sei [mm]a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty,[/mm] betrachte nun
> [mm]a_k:=(1/k,0).[/mm] Dann gilt [mm]a_k\to(0,0)[/mm] für [mm]k\to\infty,[/mm] aber
> es gilt auch:
> [mm]f(a_k)[/mm] = f(1/k,0) = [mm]\frac{(1/k)^4-0}{(1/k)^4+0}[/mm] = 1 [mm]\not=[/mm] 0, für [mm]k\to\infty[/mm]
> Damit ist f nicht stetig in (0,0). richtig so?
>
> > zu 1) Folgenkriterium für Stetigkeit.
> > Zeige etwa, wenn [mm]a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty,[/mm]
> dann
> >
> [mm]|f(a_k)|=\left|\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\right|\to(0,0),k\to\infty[/mm]
> > Im Nenner kannst du mit dem Maximum der beiden Folgen
> > abschätzen und so gewissermaßen kürzen und den Grenzwert
> > von [mm]f(a_k)[/mm] am verbleibenden Nenner ablesen [...]
>
> Ok. Also ich versteh das jetze nicht ganz wie du das meinst
> mit dem abschätzen!? Aber ich versuchs mal:
>
> Sei [mm]a_k:=(b_k, c_k)\to(0,0), k\to\infty,[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]|f(a_k)|=\left|\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\right|\ge\left|\frac{(b_kc_k)^2}{2*b_k^2}\right|=\left|\frac{c_k^2}{2}\right| \to 0[/mm],
> für [mm]k\to\infty,[/mm] mit [mm]b_k^2 \ge c_k^2, \forall[/mm] k
>
> meinst du das so, oder wie!?!
Nein, so war das nicht ganz gemeint. Ich hatte mich mit min/max vertan.
[mm] |f(a_k)|=\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\le\frac{b_k^2c_k^2}{2\min(b_k^2, c_k^2)}=\frac{\max(b_k^2, c_k^2)}{2}\to 0,k\to\infty
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fract |
> Nein, so war das nicht ganz gemeint. Ich hatte mich mit
> min/max vertan.
>
> [mm]|f(a_k)|=\frac{(b_kc_k)^2}{b_k^2+c_k^2}\le\frac{b_k^2c_k^2}{2\min(b_k^2, c_k^2)}=\frac{\max(b_k^2, c_k^2)}{2}\to 0,k\to\infty[/mm]
>
> LG
>
ah oke so macht das ganze natürlich sinn und ich weiß auch, wie du's gemeint hast.. Danke schönen abend noch
lg fract
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu a): Es gilt:
$0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le x^2+y^2$
[/mm]
Daraus folgt sofort die Stetigkeit in (0,0)
FRED
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