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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 So 04.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | | Kann die Fkt. h : [mm] M=\IR^{2} [/mm] \ [mm] (x_{1},x_{2}|x_{1}=-x_{2}) \to \IR [/mm] mit [mm] h(x_{1},x_{2})=\bruch{(|x_{1}|+|x_{2}|)*(|x_{1}|-|x_{2}|)}{x_{1}+x_{2}} [/mm] auf [mm] \IR^{2} [/mm] stetig fortgesetzt werden? |
Hallo,
Ich hätte hier eine Frage zur Vorgehensweise.
Wenn ich die Stetigkeit bei einer Funktion im Punkt (0,0) zeigen soll, so kann ich für x einfach eine Nullfolge einsetzen um die Stetigkeit zu prüfen. Heißt das also das ich bei der in der Aufgabenstellung genannten Funktion h für x eine Folge einsetzen muss, die gegen [mm] x_{1} [/mm] bzw. [mm] x_{2} [/mm] konvergiert?
Man könnte die Aufgabe ja auch noch mit den Polarkoordinaten lösen indem ich:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{r*cos(\alpha \\ r*sin(\alpha)} [/mm] wähle.
Wäre in dem Fall beispielsweise: [mm] |x_{1}|=|r*cos(\alpha)|=r [/mm] ?
Desweiteren müsste ich in diesem Fall r gegen [mm] x_{1} [/mm] bzw. [mm] x_{2} [/mm] laufen lassen, oder?
Also in der Form:
limes von r gegen [mm] x_{2} [/mm] von [mm] f(x_{1},x_{2})=\limes_{r\rightarrow\sin(\alpha)} f(r,\alpha)=\bruch{(|r*cos(\alpha)|+|r*sin(\alpha|)*
(|r*cos(\alpha)|-|r*sin(\alpha)|)}{r*cos(\alpha)+r*sin(\alpha)}
[/mm]
Es wäre nett, wenn mir jemand was zur Vorgehensweise bei dieser Aufgabe schreiben könnte.
Gruß Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] (x_1,x_2) \in [/mm] M ist
$ [mm] h(x_{1},x_{2})=\bruch{(|x_{1}|+|x_{2}|)\cdot{}(|x_{1}|-|x_{2}|)}{x_{1}+x_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{|x_1^2-|x_2|^2}{x_{1}+x_{2}}= \bruch{x_1^2-x_2^2}{x_1+x_2}=\bruch{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1+x_2}=x_1+x_2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred!
Zunächst mal dankeschön für die Hilfe. Deine Umformung macht die Aufgabe um ein vielfaches einfacher.
Trotzdem habe ich noch eine grundlegende Verständnisfrage zu solchen Aufgaben.
Bei Funktionen [mm] (f(x_{1},x_{2})), [/mm] bei denen Stetigkeit gezeigt werden soll gibt es ja prinzipiell zwei verschiedene Wege das zu tun. Zum einen kann man Polarkoordinaten verwenden, oder man verwendet Folgen. Stetigkeit im Punkt (0,0) zu zeigen scheint dabei recht einfach zu sein, da man entweder für [mm] f(x_{1},x_{2})=f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] zeigt und schaut ob wieder eine Nullfolge herauskommt oder man verwendet Polarkoordination und lässt r gegen Null laufen.
Wie ist das aber nun in einem allgemeinen Punkt (zum Beispiel [mm] x_{1}\not=-x_{2})?
[/mm]
Was muss man hier für [mm] x_{1} [/mm] bzw. [mm] x_{2} [/mm] einsetzen.
Im Fall von Folgen, habe ich mir überlegt einmal eine Folge [mm] x_{n} [/mm] zu wählen, die gegen [mm] x_{1} [/mm] und eine die gegen [mm] x_{2} [/mm] konvergiert zu wählen. Dann schaue ich was ich herausbekomme?
Im Fall von Polarkoordinaten, müsste ich das r ja gegen eine der beiden koordinaten laufen lassen. Also beispielsweise: r [mm] \to x_{1} [/mm] bzw. r [mm] \to x_{2} [/mm] und das wäre dann ja, r [mm] \to r*cos(\alpha) [/mm] bzw. r [mm] \to [/mm] r* [mm] sin(\alpha)?
[/mm]
Ich wäre dankbar wenn mir jemand sagen könnte, ob ich mit meinen Überlegungen richtig liege und mir die Zusammenhänge erklärt falls ich falsch liege.
gruß Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um Stetigkeit zu zeigen, sind die Folgen [mm] x_n,y_n [/mm] meistens sehr ungeeignet, weil du ja NICHT zeigen musst dass es für ein spezielle folge, wie (1/n,1/n) oder [mm] (1/n,1/n^2) [/mm] konvergiert, sondern für ALLE Folgen.
deshalb nimmt man ne r Umgebung von (0,0) und zeigt damit die Stetigkeit.
fur Unstetigkeit dagegen richt es 2 folgen mit verschiedenem GW zu sehen, oft die 2 oben oder ähnliche.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Leduart,
Zunächst mal danke für deine Mühe und die Tipps.
> Hallo
> Um Stetigkeit zu zeigen, sind die Folgen [mm]x_n,y_n[/mm] meistens
> sehr ungeeignet, weil du ja NICHT zeigen musst dass es für
> ein spezielle folge, wie (1/n,1/n) oder [mm](1/n,1/n^2)[/mm]
> konvergiert, sondern für ALLE Folgen.
> deshalb nimmt man ne r Umgebung von (0,0) und zeigt damit
> die Stetigkeit.
> fur Unstetigkeit dagegen richt es 2 folgen mit
> verschiedenem GW zu sehen, oft die 2 oben oder ähnliche.
Diese Zusammenhänge sind mir bereits bewusst. Wie ist es aber im allgemeinen Punkt?
Ich möchte nochmals auf meine Fragen aus dem zweiten Post verweisen. Es wäre nett, wenn jemand genauer auf meine Fragen eingehen könnte.
gruß Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Frage war doch:
Kann die Fkt. h : $ [mm] M=\IR^{2} [/mm] $ \ $ [mm] (x_{1},x_{2}|x_{1}=-x_{2}) \to \IR [/mm] $ mit $ [mm] h(x_{1},x_{2})=\bruch{(|x_{1}|+|x_{2}|)\cdot{}(|x_{1}|-|x_{2}|)}{x_{1}+x_{2}} [/mm] $ auf $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ stetig fortgesetzt werden?
Nun ist für [mm] (x_1,x_2) \in [/mm] M: [mm] h(x_1,x_2)=x_1+x_2
[/mm]
Ist nun [mm] (x_1,x_2) \in \IR^2 \setminus [/mm] M, so ist [mm] x_1+x_2=0
[/mm]
Wie mußt Du nun h auf [mm] \IR^2 \setminus [/mm] M definieren, damit h auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig wird ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred,
Das sollte dann so aussehen:
[mm] h(x_{1},x_{2})=\begin{cases} x_{1}+x_{2}, & \mbox{für }M=\IR^{2} /((x_{1},x_{2}|x_{1}=-x_{2}) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x_{1}=-x_{2} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich frage micht trotzdem noch wie man das mit Polarkoordinaten gelöst hätte bzw. ob diese Möglichkeit überhaupt besteht?
Hätte man schreiben können:
[mm] r*cos(\alpha)+r*sin(\alpha)=r*(cos(\alpha)+sin(\alpha))
[/mm]
Die Frage ist nur gegen was r laufen soll?
r [mm] \to r*cos(\alpha)
[/mm]
r [mm] \to r*sin(\alpha)
[/mm]
Vermutlich ist das Quatsch was ich da Versuche, aber ich wollte das eben so versuchen zu lösen, wie wenn ich Stetikeit im Punkt (0,0) zeigen möchte.
Sprich r gegen eine der Punkte laufen lassen. Im Fall von [mm] x_{1} \not= x_{2} [/mm] wäre das eben [mm] r*cos(\alpha) [/mm] und [mm] r*sin(\alpha)?
[/mm]
gruß Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Das sollte dann so aussehen:
>
> [mm]h(x_{1},x_{2})=\begin{cases} x_{1}+x_{2}, & \mbox{für }M=\IR^{2} /((x_{1},x_{2}|x_{1}=-x_{2}) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x_{1}=-x_{2} \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich frage micht trotzdem noch wie man das mit
> Polarkoordinaten gelöst hätte bzw. ob diese Möglichkeit
> überhaupt besteht?
Das bietet sich hier nicht an !
> Hätte man schreiben können:
>
> [mm]r*cos(\alpha)+r*sin(\alpha)=r*(cos(\alpha)+sin(\alpha))[/mm]
Das kannst Du immer schreiben, auch wenn Du zum Bäcker gehst, denn es stimmt
>
> Die Frage ist nur gegen was r laufen soll?
>
> r [mm]\to r*cos(\alpha)[/mm]
> r [mm]\to r*sin(\alpha)[/mm]
Unsinn !!!
>
> Vermutlich ist das Quatsch was ich da Versuche, aber ich
> wollte das eben so versuchen zu lösen, wie wenn ich
> Stetikeit im Punkt (0,0) zeigen möchte.
> Sprich r gegen eine der Punkte laufen lassen.
Wenn Du auf Stetigkeit in einem Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit Polarkoordinaten untersuchst, so betrachte
$ [mm] x=x_0 [/mm] +r* [mm] cos(\alpha)$ [/mm] und [mm] $y=y_0 [/mm] +r* [mm] sin(\alpha) [/mm] $
und lasse r [mm] \to [/mm] 0 gehen.
FRED
> Im Fall von
> [mm]x_{1} \not= x_{2}[/mm] wäre das eben [mm]r*cos(\alpha)[/mm] und
> [mm]r*sin(\alpha)?[/mm]
>
> gruß Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo,
>
> Das bietet sich hier nicht an !
Ok.
> Das kannst Du immer schreiben, auch wenn Du zum Bäcker
> gehst, denn es stimmt
;)
> Wenn Du auf Stetigkeit in einem Punkt [mm](x_0,y_0)[/mm] mit
> Polarkoordinaten untersuchst, so betrachte
>
> [mm]x=x_0 +r* cos(\alpha)[/mm] und [mm]y=y_0 +r* sin(\alpha)[/mm]
>
> und lasse r [mm]\to[/mm] 0 gehen.
Das würde für [mm] h(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2} [/mm] doch dann so aussehen:
[mm] h(x,y)=x_0 [/mm] +r [mm] \* cos(\alpha)+y_0 [/mm] +r [mm] \* sin(\alpha)=x_0+y_0 [/mm] (für r [mm] \to [/mm] 0)
Welchen Schluss würde ich daraus jetzt ziehen?
Etwa dass mein Ergebnis nur unabhängig von den Eingesetzten Werten ist, wenn [mm] x_0=-y_0 [/mm] ist und das dann =0?
Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 05.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum schreibst du deinen ausdruck nicht einfach hin?
[mm] \bruch{x_1^2-x_2^2}(x_1+x_2=.. =r*(cos\phi-sin\phi) [/mm] falls
[mm] cos\phi+sin\phi\ne0 [/mm]
also mit r gegen 0 =0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Leduart,
Ja, stimmt. Das ergibt sich ja dann von selbst.
Ich hätte allerdings noch zwei weitere allgemeine Verständnisfragen zum selben Thema, die sich jetzt nicht direkt auf die Vorherige Aufgabe beziehen.
1)Angenommen ich habe eine Funktion [mm] h(x_1,x_2), [/mm] habe diese in Polarkoordinaten umgewandelt und erhalte als Ergebnis etwas in der gestalt: [mm] f(r,\alpha)=\bruch{1}{r}*sin(\alpha) [/mm] mit (r [mm] \to [/mm] 0). Kann ich dann sagen das dass gegen [mm] \infty [/mm] geht und die Funktion nicht stetig ist?
2) Angenommen ich habe eine Funkton [mm] h(x_1,x_2) [/mm] und habe mit Nullfolgen gearbeitet, also [mm] h(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] und komme dann auf ein Ergebnis das irgendwie so aussieht: [mm] h(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})=2*n [/mm] . (n [mm] \to \infty). [/mm] Diese Funktion wäre dann auch nicht stetig, da keine Nullfolge als Ergebnis herauskommt, oder?
Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leduart,
>
> Ja, stimmt. Das ergibt sich ja dann von selbst.
>
> Ich hätte allerdings noch zwei weitere allgemeine
> Verständnisfragen zum selben Thema, die sich jetzt nicht
> direkt auf die Vorherige Aufgabe beziehen.
>
> 1)Angenommen ich habe eine Funktion [mm]h(x_1,x_2),[/mm] habe diese
> in Polarkoordinaten umgewandelt und erhalte als Ergebnis
> etwas in der gestalt: [mm]f(r,\alpha)=\bruch{1}{r}*sin(\alpha)[/mm]
> mit (r [mm]\to[/mm] 0). Kann ich dann sagen das dass gegen [mm]\infty[/mm]
> geht und die Funktion nicht stetig ist?
Ja
>
> 2) Angenommen ich habe eine Funkton [mm]h(x_1,x_2)[/mm] und habe mit
> Nullfolgen gearbeitet, also [mm]h(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm]
> und komme dann auf ein Ergebnis das irgendwie so aussieht:
> [mm]h(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})=2*n[/mm] . (n [mm]\to \infty).[/mm] Diese
> Funktion wäre dann auch nicht stetig
Ja, da sie in der Nähe von (0,0) unbeschränkt ist.
FRED
> , da keine Nullfolge
> als Ergebnis herauskommt, oder?
>
> Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred und Leduart!
Vielen, vielen Dank für die Hilfe und die tollen Tipps!
Hans
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