Stetigkeit < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mo 03.10.2005 | | Autor: | slice |
Hallo!
Ich werd heute wohl noch mehrere Fragen stellen aber ich kann dienicht alle auf einmal stellen weil ich sonst nicht weiterrechnen kann 
Also meine Frage diesmal betrifft den Begriff stetig!
Ich habe schon in der Datenbank nachgesehen und dort stand auch,
dass die Bedingung für die Stetigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)=(fx_0)
[/mm]
So und als Beispiel war dort f(x)=x² angegeben.
Wenn ich jetzt aber rechne komme ich auf:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{(x+x_0)(x-x_0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] x_0²
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} 2x_0 [/mm] = [mm] x_o²
[/mm]
Das stimmt ja nun nicht... kann mir einer sagen, was ich falsch gemacht hab?! Oder hab ich das Beispiel falsch verstanden??
Und bei dem 2. Beispiel ( f(x)= [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] komme ich genauso wieder auf [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{1}{x_0²}= \bruch{1}{x_0}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo slice!
Wie in meinem anderen Artikel bereits gemutmaßt, berechnest Du mit diesem Ausdruck ja die Ableitung der Funktion $f(x)_$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] .
Damit weist du aber nicht die Stetigkeit nach (zumindest nicht direkt). Aber da die Diefferenzierbarkeit die Stetigkeit voraussetzt, hast Du automatisch auch die Stetigkeit.
Für die (reine) Stetigkeit einer Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] muss gelten:
[mm] $\limes_{x \rightarrow x_0 \uparrow} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow x_0 \downarrow} [/mm] f(x) \ = \ [mm] f(x_0)$
[/mm]
In Worten: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sowie der eigentliche Funktionswert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] müssen übereinstimmen!
Wie lautet denn die exakte Aufgabenstellung? Ich denke, dann reden wir nicht länger von verschiedenen Dingen  .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 03.10.2005 | | Autor: | slice |
wir hatten mehrere aufgaben dazu..
zb halt f(x) = [mm] \bruch{1}{x²}
[/mm]
aber wir hattena uch zusammengesetzte funktionen wie zb
[mm] f(x)=\begin{cases} x³, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \\ (x²+2), & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases}
[/mm]
ich wollt halt nur nochmal allgemein wissen wie man an stetigkeit rangeht..
naja kann auch sein dass ichs nur im mom nich schnall.. weil ich glaub ich grade so ziemlich alles durcheinander werfe, was man nur durcheinanderwerfen kann :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo slice!
> wir hatten mehrere aufgaben dazu..
> zb halt f(x) = [mm]\bruch{1}{x²}[/mm]
Diese Funktion ist für alle x stetig mit einer Ausnahme [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$. Aber an dieser Stelle ist die Funktion ja auch gar nicht erst definiert!
> aber wir hatten auch zusammengesetzte funktionen wie zb
> [mm]f(x)=\begin{cases} x³, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \\ (x²+2), & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases}[/mm]
Hier musst Du wirklich den linksseitigen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwert sowie den Funktionswert berechnen und miteinander vergleichen.
Ergebnis: diese Funktion ist bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht stetig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 03.10.2005 | | Autor: | slice |
Also ich hab mir das alles nochmal durchgelesen und habe das ganz jetzt einfach mal so angefangen:
die funktion ist
[mm] f(n)=\begin{cases} x³, & \mbox{für } x \mbox{ x kleiner gleich 0} \\ x²+2), & \mbox{für } x \mbox{ >0} \end{cases}
[/mm]
(irgendwer, weiß gerade nicht genau wer, hatte ja schon gesagt dass die funktion unstetig ist, wollte jetzt nur nochmal wissen, ob ich das so schreiben kann/ richtig gerechnet habe!)
also ich habe:
l- [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} x_0³ [/mm] = l- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \to [/mm] 0
r- [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] x²+2 = r- [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \to [/mm] 2
Und da r-lim [mm] \not= [/mm] l-lim ist, ist die Funktion nicht stetig?
Ist das richtig?
Wenn nicht bricht eine welt zusammen und ich hab nix kapiert :-/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo slice!
> und geht das auch immer bei ALLEN funktionen die man auf
> stetigkeit untersucht so??
Ja, es genügt immer an den Definitionsstellen, wo man die Stetigkeit untersuchen will, den rechts- und linksseitigen Grenzwert zu bilden und zu schauen ob beide existieren und übereinstimmen.
> und dann wollt ich noch wissen differenzierbar bedeutet
> doch einfach, dass man den differenzenquotient (bzw die
> ableitung) bilden kann und stetig differenzierbar heißt
> doch dass diese ableitung dann stetig ist oder?? bitet sag
> ja
Ja, das ist richtig, wobei hier der Ausdruck "Differenzenquotient" etwas unexakt ist. Sprechen wir lieber vom "Differentialquotienten", damit bezeichnet man häufig den Grenzwert der Differenzenquotienten uns sageh wir lieber:"er existiert und ist endlich" anstatt "man kann ihn bilden".
> ich hab das ja eig alles kapiert aber in meinem heft haben
> wir aufgeschrieben:
>
> eine funktion f ist stetig an einer stelle a ist element
> aus Df genau dann, wenn gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] f(x)=f(a)
Ja, hier sind in der Tat zunächst alle möglichen Folgen gemeint, die gegen $a$ konvergieren können (also auch solche, die um $a$ oszillieren). Es genügt aber, das kann man sich klarmachen, solche Folgen zu betrachten, die "von links" oder "von rechts" gegen $a$ konvergieren.
> und dann noch:
> hat eine funktion f eine definitionslücke a, so kann es
> von interesse sein, ob sie stetig fortsetzbar ist. hierzu
> muss gelten:
> l- [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] f(x)= r- [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm]
> f(x)
>
> Zb wäre dann die funktion 1/x² mit D=R* (ohne null)
> stetig, aber nicht stetig fortsetzbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber so wie du mir
> das bei dem beispiel gesgat hast, habe ich ja immer
> geschaut, ob die funktion stetig fortsetzbar ist... oh
> maaaaaaaaaan
Also:
Wenn $a$ im Definitionsbereich von $f$ liegt und dort der rechts- und linksseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen, dann ist $f$ dort stetig.
Wenn $a$ nicht im Definitionsbereich von $f$ liegt und dort der rechts- und linksseitige Grenzwert existieren und übereinstimmen, dann ist $f$ dort stetig fortsetzbar.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo slice!
Kann es sein, dass Du gerade Stetigkeit mit dem Differenzenquotienten bzw. Differentialquotienten (zur Berechnung von Ableitungen) etwas durcheinander wirfst?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mo 03.10.2005 | | Autor: | slice |
oh gott ich raste aus ..... :-(
naja aber weil da doch steht, dass die bedingungen für die stetigkeit
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} f(x)=f(x_0)
[/mm]
ist, habe ich von f(x) den limes ausgerechnet und das ja dann halt mit [mm] f(x_0) [/mm] gleichgesetzt.. so hab ich zumindest diese bedingung verstanden..
ich hatte das auch noch nie in der 11 klasse und im LK meinte unser lehrer halt dass wir keien zeit hätten das zu wiederholen und deshalb müssen wir uns das so selber beibringen.. aber wie man sieht klappts noch nicht so ganz mit dem selber beibringen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mo 03.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo slice
Du hast den Grenzwert des Differenzenquotienten und nicht den Grenzwert der Funktion berechnet. Dein Grenzwert ergäbe die Steigung bzw, Ableitung der Fkt. und nicht. ihre Stetigkeit!
Du solltest aber auch nachsehen, wie ihr im Unterricht die Stetigkeit genau definiert habt, denn in der Mathebank steht nur ne sehr ungenaue Definition, die oft, aber nicht immer, auf der Schule benutzt wird.
Du musst zum Beispiel eigentlich den linksseitigen Grenzwert und den rechtsseitigen nehmen, und die müssen gleich sein! Also Eure Definition nachsehen (Schulbuch oder Mitschrift) und dann vielleicht nochmal fragen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 03.10.2005 | | Autor: | slice |
Nene, in meinem Matheheft steht die Deifinition ziemlich fast genauso ie sie hier steht..
allerdings haben wir es da acuh öfters mit dem links und rechtsseitigen limes gemacht, aber ich glaube nur bei zusammengesetzten funktionen.. naja ich werds schon hinkriegen..
eine frage hätte ich aber trotzdem noch
wenn angegeben ist, dass ich zb einen wendepunkt bei (2|3) hätte und ich eine Wendetangente habe. Heißt das, um die Wendetangente auszurechnen (zb. bei steckbriefaufgaben) muss ich f'(2)=0 rechnen? Also weil die Steigung im Wendepunkt ja gleich null ist, um eine wendetangente zu haben!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 03.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo slice
Bitte Fragen als Fragen kennzeichnen, dann erscheinen sie rot, und jemand kümmert sich drum, mitteilungen werde nicht so schnell gelesen.
> eine frage hätte ich aber trotzdem noch
>
> wenn angegeben ist, dass ich zb einen wendepunkt bei (2|3)
> hätte und ich eine Wendetangente habe. Heißt das, um die
> Wendetangente auszurechnen (zb. bei steckbriefaufgaben)
> muss ich f'(2)=0 rechnen? Also weil die Steigung im
> Wendepunkt ja gleich null ist, um eine wendetangente zu
> haben!?
Du verwechselst Tangente mit waagerecht. eine differenzierbare Kurve hat in jedem Punkt eine Tangente, auch im Wendepunkt. die kann irgendeine Steigung haben, sie ist bestimmt durch [mm] f'(x_{w})
[/mm]
Wendepunktbedingung ist f''=0. Wenn du also in ner Steckbriefaufgabe die Wendetangente hast hast du den Punkt, die erste Abl. = Steigung der Wendetangente, und die 2. Abl=0
Gruss leduart
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Ganz genau!
