Stetigkeit 3 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Gebe den Definitonsbereich an und die Stetigkeit
f(x) = x-1 falls x<= -1 |
[mm] D_{f} [/mm] = R\ {1}
kann ich jetzt überprüfen
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] -x-1 falls x<= -1
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1} [/mm] x-1 falls x= -1 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
> Gebe den Definitonsbereich an und die Stetigkeit
>
> f(x) = x-1 falls x<= -1
Was ist mit x-Werten für $x \ > \ 1$ ? Gibt es dazu Angaben?
> [mm]D_{f}[/mm] = R\ {1}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum schließt Du die $1_$ aus ? Was ist z.B. mit $x \ = \ 0$ ? Ist die Funktion dort definiert?
> kann ich jetzt überprüfen
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-1}[/mm] -x-1 falls x<= -1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-1}[/mm] x-1 falls x= -1 ?
Wie kommst Du hier auf diese Minuszeichen in der oberen Zeile?
Hier ist m.E. kein Nachweis erforderlich, da wir mit $x-1_$ eine überall stetige Funktion haben. Nur dass wir nun einen Ausschnitt dessen betrachten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
die ganze Aufgabe ist eine stückweise definierte Funktion mit
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x - 1, & \mbox{falls} & x \le -1 \\
(x+1)^2 & \mbox{falls} & -1 < x \le 1 \\
3*e^{(x-1)}+ 1 & \mbox{falls} & x > 1 \end{matrix}\right. [/mm]
muss ich hier jeden Fall einzeln betrachten?
wie beweise ich das stückchenweise?
jeden fall einzeln betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
*schlagdiehändeüberdenkopfzusammen* ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Ich glaube es nicht ... Du wirfst uns hier Bröckchen hin und erwartest von uns Gesamtlösungen.
Nur in der Gesamtheit der Funktion macht diese Aufgabe überhaupt einen Sinn.
Denn interessant für die Untersuchung der Stetigkeit sind die "Nahtstellen" der stückweise definierten Funktion.
Zu untersuchen ist die Stetigkeit also an den Stellen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
muss ich dies für alle definierten stücke machen auf x = -1 und x = 1
überprüfen d.h den limes einmal nach -1 und nach 1 laufen lassen und prüfen ob es auf beiden Seiten dasselbe gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Für beide o.g. "Nahtstellen" musst Du jeweils den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert untersuchen und vergleichen.
Also jeweils sich der "Nahtstelle" von links und von rechts nähern.
Das sind im Prinzip eigenständige Aufgaben für jede "Nahtstelle".
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
also wenn ich das verstehe dann
1. Teilaufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}
[/mm]
2. Teilaufgabe
dasselbe
3. Teilaufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}
[/mm]
dann beide limes vergleichen für jede Teilaufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Wo "zauberst" Du die 3. Teilaufgabe her?
Es gilt hier zu bestimmen:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow -1 \uparrow}f(x) [/mm] \ \ \ [mm] \text{ und } \limes_{x\rightarrow -1 \downarrow}f(x)$$
[/mm]
[mm] $$\limes_{x\rightarrow +1 \uparrow}f(x) [/mm] \ \ \ [mm] \text{ und } \limes_{x\rightarrow +1 \downarrow}f(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
was ist denn mit der Teilaufgabe
[mm] 3*e^{x-1} [/mm] + 1 die muss man doch auch mit dem limes berechnen
oder prüfe ich da nur auf 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Da der Ast mit [mm] $3*e^{x-1} [/mm] + 1$ nur für $x \ > \ 1$ definiert ist (gemäß Aufgabenstellung), benötige ich diesen Term lediglich für den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut somit habe ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] = (x-1) = 1-1 = 0 mit x>1 rechtsseitiger GW
linksseitiger Grenzwert (x-1) = -1 -1= -2 mit x< 1
--> 0 [mm] \not= [/mm] -2 also nicht stetig
2. Teilaufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] = [mm] (x+1)^2 [/mm] = [mm] (1+1)^2 [/mm] = 4 mit x > 1 rechtsseitiger
GW
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] = [mm] (x+1)^2 [/mm] = [mm] (-1+1)^2 [/mm] = 0 mit x< 1 linksseitiger
GW
---> 4 [mm] \not= [/mm] 0
somit keine stetige Funktion
3. Teilaufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] = [mm] 3*e^{x+1} [/mm] + 1 = [mm] 3*e^{-1+1}+ [/mm] 1= 3*1 + 1 = 4
mit x< 1 somit ein linksseitiger GW
---> Funktion nicht stetig da nur einseitig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
ich setze doch für x< 1 den Wert -1 in die Formel (x-1) ein also
(-1 -1) = -2
und für x>1 den Wert 1 mit (1-1) = 0
oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
> oder sehe ich das falsch?
Ja.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:43 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
dann setze ich für x< 1 den Wert 1 ein
und für x> 1 den Wert -1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
1.) Bei welchem der Grenzwerte / bei welche Nahtstelle bist Du eigentlich gerade?
2.) Lies Dir Deinen letzten Post mal in Ruhe durch und erkenne (hoffentlich), dass dies nicht richtig sein kann.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:52 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
es ist die erste Nahtstelle und da geht es umgekehrt ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Und was hat die 1. Nahtstelle im Geringsten mit dem x-Wert $x \ = \ [mm] \red{+}1$ [/mm] zu tun?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
gar nichts es wird nur mit -1 gerechnet
man schaut was ist wenn x <-1 ist
und x > -1 oder stimmt das nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Genau, so ist es richtig.
Nun musst Du hier unterscheiden, welche der Funktionsterme für $x \ < \ -1$ bzw. $x \ > \ -1$ gelten, um die entsprechenden Grenzwerte zu bestimmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
gut dann rechne ich:
LS : [mm] \limes_{n\rightarrow\ -1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\ -1} [/mm] (-1-n) -1 =
-1+1-1= -1
RS: [mm] \limes_{n\rightarrow\ -1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\ -1}(-1+n) [/mm] -1=
-1-1-1= -3
--> -1 [mm] \not= [/mm] -3 somit nicht stetig....
habe ich einen Fehler?
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Hallo Lisa,
> gut dann rechne ich:
>
> LS : [mm]\limes_{n\rightarrow\ -1}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\ -1}[/mm]
> (-1-n) -1 =
> -1+1-1= -1
>
> RS: [mm]\limes_{n\rightarrow\ -1}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\ -1}(-1+n)[/mm]
> -1=
> -1-1-1= -3
>
> --> -1 [mm]\not=[/mm] -3 somit nicht stetig....
>
> habe ich einen Fehler?
Ich kapiere überhaupt gar nicht, was du machst.
Ich denke, es geht in diesem Schritt darum, die Stetigkeit dieser dreigeteilten Funktion oben an der Stelle $x=-1$ zu bestimmen.
Dazu musst du - wie Loddar dir mit bewundernswerter Ausdauer immer und immer wieder einzutrichtern versucht, den linksseitigen und rechtsseitigen Limes [mm] $\lim\limits_{\red{x}\uparrow -1}f(x)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{\red{x}\downarrow -1}f(x)$ [/mm] berechnen
Für den linksseitigen GW näherst du dich der Stelle $x=-1$ von links (oder von unten), du betrachtest also x'e mit $x<-1$
Dort ist die Funktion definiert als $f(x)=x-1$
Damit ist [mm] $\lim\limits_{\red{x}\uparrow -1}f(x)=\lim\limits_{\red{x}\uparrow -1}(x-1)=-1-1=-2$
[/mm]
Für den rechtsseitigen GW pirscht du dich von oben (oder von rechts) an $x=-1$ ran, dh. die x'e sind dort >-1
Dort ist die Funktion wie definiert? Wie berechnet sich also der rechtsseitige GW für [mm] $x\downarrow [/mm] -1$ ?
Im Endergebnis, also "nicht stetig in $x=-1$" hast du recht, aber der Weg dahin ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
wenn x runter zu -1 geht kann ich da für 0 einsetzen?
genau da komme ich nicht mehr mit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
siehe oben sollte eine Frage sein keine Mitteilung
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Hallo nochmal,
> wenn x runter zu -1 geht kann ich da für 0 einsetzen?
>
> genau da komme ich nicht mehr mit
Nein, wieso solltest du das wollen?
Es ist ja [mm] $\lim\limits_{x\downarrow -1}\red{f(x)}$ [/mm] zu bestimmen.
Nochmal:
Du näherst dich von rechts (oberhalb) entlang der x-Achse mit den x'en der Stelle $x=-1$
Entscheidend - denn das willst du ja berechnen - ist, wie der Funktionsterm [mm] $\red{f(x)}$ [/mm] in dem Bereich, auf dem du dich annähert, aussieht.
Der ist im rechtsseitigen Fall, also für $x>-1$ (und ohne Einschränkung auch $x<1$ - wir wollen ja "nahe an $x=-1$ sein"), ist das [mm] $\red{f(x)=(x+1)^2}$
[/mm]
Also [mm] $\lim\limits_{x\downarrow -1}f(x)=\lim\limits_{x\downarrow -1}(x+1)^2=(-1-1)^2=0^2=0$
[/mm]
Also ist der rechtsseitige Limes =0, der linksseitige aber =-2.
Die stimmen nicht überein, damit ist f an der Stelle $x=-1$ unstetig.
Nun lies dir meine letzten beiden Antworten nochmal in Ruhe durch und untersuche auf ganz analoge Weise, wie es mit der Stetigkeit von f an der anderen "Nahtstelle" $x=+1$ aussieht.
(Beachte auch Loddars Tipps dazu)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
ah so da nehme ich die 2. Teilaufgabe dazu mit -1 < x und da ist die Funktikon dann [mm] (x+1)^2....
[/mm]
d.h man muss immer die nächste Teilaufgabe dazunehmen und ansehen
mache ich das dann auch für x<= 1 --> 2. Teilaufgabe
für x > 1 3. Teilaufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 11.10.2009 | | Autor: | abakus |
> ah so da nehme ich die 2. Teilaufgabe dazu mit -1 < x und
> da ist die Funktikon dann [mm](x+1)^2....[/mm]
> d.h man muss immer die nächste Teilaufgabe dazunehmen und
> ansehen
>
> mache ich das dann auch für x<= 1 --> 2. Teilaufgabe
> für x > 1 3. Teilaufgabe?
Hallo,
es nerv, wenn du unter völliger Ignorierung aller bisherigen Antworten immer wieder den gleichen Unsinn wiederholst. DU HAST KEINE DREI Teilaufgaben.
1. Teilaufgabe:
An der Stelle -1 stoßen zwei Teilfunktionen (die "linke" und die "mittlere") zusammen. Tun sie das mit Lücke oder lückenlos?
Dazu musst du übrigens NICHT für beide den Grenzwert an dieser Stelle berechnen. Beide Funktionen sind für sich genommen stetig, und der Grenzwert an einer beliebigen Stelle stimmt mit dem Funktionswert überein. Da die Stelle -1 mit zum angegebenen Bereich der linken Funktion gehört, ist der linksseitige Grenzwert für die Stelle -1 gleich dem Funktionswert an dieser Stelle (und der ist -2.
Die Funktionsvorschrift für die mittlere Funktion gilt NICHT mehr für x=-1, sondern nur für x>-1.
Hier musst du nun schauen, ob wenigstens der Grenzwert der mittleren Funtio bei ANNÄHERUNG (von rechts) an die Stelle -1 auch -2 ergibt. (Das tut es nicht, der Grenzwert für [mm] (x+1)^2 [/mm] an der Stelle -1 ist nämlich Null.) Also ist f an der Stelle -1 nicht stetig.
2. Teilaufgabe:
An der Stelle +1 stoßen zwei Teilfunktionen (die "lmittlere" und die "rechte") zusammen. Tun sie das mit Lücke oder lückenlos?
Die mittlere Funktion ist für x=+1 gerade noch definiert und hat dort den Wert [mm] (1+1)^2=4.
[/mm]
Die linke Funktion ist nur für x>1 definiert; du kannst nur den Grenzwert betrachten, wenn du dich von rechts kommend an die Stelle 1 annäherst.
Gruß Abaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Gehe doch mal schrittweise vor und untersuche zunächst die Stetigkeit bei [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]"){kind=small}
