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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 04.12.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Definitionslücken der folgenden Funktionen. Prüfen Sie außerdem für jede Definitionslücke, ob die Funktion dort stetig ergänzbar ist und wen ja, durch welchen Funktionswert!
[mm] a)\bruch {x^2-3x+5}{x-1}
[/mm]
[mm] b)\bruch {x^2-3x+2}{x-1}
[/mm]
[mm] c)\bruch {-2x^2-x+3}{1-x^2} [/mm] |
Hallo,
leider haben wir weder in der Vorlesung noch in dem Tutorium Stetigkeit besprochen. Daher weiß ich leider nicht wie ich da vorgehen muss.
Habe im Internet gelesen, dass man den Nenner =0 setzen und auflösen soll und den Wert dann auch im Zähler einsetze soll,
und würde dieser dann auch Null ergeben würde man wissen, dass es sich um eie hebbare Lücke handelt,
wäre dies nicht der fall, würde es sich um eine Pollstelle handeln und würde nicht stetig fortsetzbar sein.
wenn dies stimmt,
dann müsste:
a) für x=1 im Nenner Null ergeben, allerdings nicht im Zähler, dort würde es 3 ergeben.
Also müsste es sich dort doch um Pollstelle handeln.
Wenn dies stimmt, ist doch die Funktion auch nicht stetig oder?
oder kann man das auch irgendwie anders herausfinden?
bei b) wäre der Nenner auch für x=1 =0 und für x=1 wäre auch der Zähler Null, also hätte man dort eine hebbare Lücke,
aber wie bekommt man raus, wo diese Defiitionslücke ist und für welchen Funtionswert sie stetig ergänzbar ist?
c) wäre für x=1 und x=-1 im Nenner 0,
für x=-1 wäre der Zähler allerdings nicht null
und für x=1 wäre der Zähler auch 0 ....
wie geht man denn dann dort vor?
Sind diese erste Gedankengänge überhaupt richtig?
oder geht man anders vor um herauszufinden ob eine Fuktion stetig ist oder nicht?
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Hallo Nicky-01,
> Bestimmen Sie alle Definitionslücken der folgenden
> Funktionen. Prüfen Sie außerdem für jede
> Definitionslücke, ob die Funktion dort stetig ergänzbar
> ist und wen ja, durch welchen Funktionswert!
>
> [mm]a)\bruch {x^2-3x+5}{x-1}[/mm]
> [mm]b)\bruch {x^2-3x+2}{x-1}[/mm]
>
> [mm]c)\bruch {-2x^2-x+3}{1-x^2}[/mm]
> Hallo,
> leider haben wir weder in der Vorlesung noch in dem
> Tutorium Stetigkeit besprochen. Daher weiß ich leider
> nicht wie ich da vorgehen muss.
> Habe im Internet gelesen, dass man den Nenner =0 setzen
> und auflösen soll und den Wert dann auch im Zähler
> einsetze soll,
> und würde dieser dann auch Null ergeben würde man
> wissen, dass es sich um eie hebbare Lücke handelt,
> wäre dies nicht der fall, würde es sich um eine
> Pollstelle handeln und würde nicht stetig fortsetzbar
> sein.
Jo, wenn die Nullstellen in gleicher Vielfachheit vorkommen!
> wenn dies stimmt,
>
> dann müsste:
> a) für x=1 im Nenner Null ergeben, allerdings nicht im
> Zähler, dort würde es 3 ergeben.
> Also müsste es sich dort doch um Pollstelle handeln. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn dies stimmt, ist doch die Funktion auch nicht stetig
> oder?
Stetig ist sie in [mm]x=1[/mm] sowieso nicht, da sie dort nicht definiert ist.
Sie ist hier aber auch nicht stetig fortsetzbar
> oder kann man das auch irgendwie anders herausfinden?
>
> bei b) wäre der Nenner auch für x=1 =0 und für x=1 wäre
> auch der Zähler Null, also hätte man dort eine hebbare
> Lücke,
> aber wie bekommt man raus, wo diese Defiitionslücke ist
> und für welchen Funtionswert sie stetig ergänzbar ist?
Verstehe ich nicht, die Funktion ist für [mm]x=1[/mm] nicht definiert.
Nach Herauskürzen von [mm](x+1)[/mm] ergibt sich [mm]x-2[/mm]
An der Stelle [mm]x=1[/mm] ist das [mm]1-2=-1[/mm]
Also kannst du durch die zusätzliche Definition [mm]f(1):=-1[/mm] die Ausgangsfunktion in [mm]x=1[/mm] stetig fortsetzen
>
> c) wäre für x=1 und x=-1 im Nenner 0,
> für x=-1 wäre der Zähler allerdings nicht null
> und für x=1 wäre der Zähler auch 0 ....
> wie geht man denn dann dort vor?
Nun, du kannst analog zu b) die Funktion in [mm]x=1[/mm] stetig ergänzen durch [mm]f(1):=??[/mm]
In [mm]x=-1[/mm] hingegen liegt eine Polstelle vor.
Das kannst du so begründen, wie du in der Einleitung geschrieben hast, oder mal [mm]\lim\limits_{x\to -1^+,-1^-}f(x)[/mm] berechnen ...
>
> Sind diese erste Gedankengänge überhaupt richtig?
> oder geht man anders vor um herauszufinden ob eine Fuktion
> stetig ist oder nicht?
Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist die Untersuchung von Zähler und Nenner auf Nullstellen, also die Faktorisierung von Zähler und Nenner, ein probates Mittel!
Gruß
schachuzipus
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