Stetigkeit&Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgende Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} x+2, & \mbox{für } x <-1\mbox{ } \\ x^2, & \mbox{für } |x|\le 1 \mbox{} \\ 2, & \mbox{für }x>1\end{cases}
[/mm]
Ist es da richtig, wenn ich für Stetigkeit und Differenzierbarkeit lediglich die Stelle [mm] x_0=1 [/mm] heranziehe? Oder muss ich auch x0=-1 berechnen? Nein, oder? Das fände ich nutzlos :P..
Hilfe? :)
Liebe Grüße und Danke im Vorraus
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Hallo Melli!
Du musst hier schon beide "Nahtstellen" [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +1$ gesondert betrachten.
Gruß vom
Roadrunner
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Hm.. Mir ist dazu etwas aufgefallen.. im Punkt x0=1 ist sie nicht stetig, dann muss ich doch gar nicht auf differenzierbarkeit prüfen? Kann ich dann im Punkt x0=-1 weitermachen`? Ja, oder?.. das macht Sinn..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Fr 08.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hm.. Mir ist dazu etwas aufgefallen.. im Punkt x0=1 ist sie
> nicht stetig, dann muss ich doch gar nicht auf
> differenzierbarkeit prüfen?
Korrekt, nicht Stetig heisst auch nicht differenzierbar.
Kann ich dann im Punkt x0=-1
> weitermachen'? Ja, oder?.. das macht Sinn..
Korrekt, hier ist f(x) stetig, könnte also auch differenzierbar sein.
Marius
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Guuut.. ich hab jetzt noch ne Frage.. hab ne weitere Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
Ich soll für den Punkt x0=0 auf differenzierbarkeit prüfen, denn stetig ist sie ja. Hm.. Aber ist das nicht schon eindeutig? Die Grenzwerte sind jeweils null.. Also differenzierbar.. Ist es so einfach? Oder hab ich da etwas kniffliges übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Fr 08.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Guuut.. ich hab jetzt noch ne Frage.. hab ne weitere
> Funktion [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
>
> Ich soll für den Punkt x0=0 auf differenzierbarkeit prüfen,
> denn stetig ist sie ja. Hm.. Aber ist das nicht schon
> eindeutig? Die Grenzwerte sind jeweils null..
Wieso? Das würde ja bedeuen, dass die Wurzelfunktion an der Stelle x=0 eine waagerechte Tangente hätte (hat sie aber nicht). Bei Annäherung an die Stelle x=0 geht der Anstieg gegen unendlich.
Also
> differenzierbar.. Ist es so einfach? Oder hab ich da etwas
> kniffliges übersehen?
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Hm?.. Wieso geht das denn dann gegen unendlich?.. stimmt.. wenn man sich die Funktion anschaut.. aber rein rechnerisch kommt da was anderes raus.. oder hab ich mich vertan..
Muss doch dann gekürzt herauskommen [mm] \wurzel{x}/x.. [/mm] ach stimmt.. damit wird es unten ja immer größer und geht dann gegen unendlich.. richtig?!.. Brett.. :-/ peinlich
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Hallo Melli!
Du solltest bei der Ableitung [mm] $\bruch{1}{\red{2}*\wurzel{x_0}}$ [/mm] heraus bekommen (was allerdings für die Differenzierbarkeit bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nichts ändert).
Gruß vom
Roadrunner
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Und wie kann das sein?...was hab ich für einen Fehler gemacht?ich habe doch f(x)-f(x0)/x-x0.. also: [mm] \wurzel{x}-0/x-0 [/mm] also [mm] \wurzel{x}/x
[/mm]
Was ist falsch?
Und wie geht sowas:Skizziere den Graphen einer Funktion mit den genannten Eigenschaften und finde eine Funktionsgleichung:
Die Funktion ist an der Stelle x0=1 stetig mit f(x0)=2 dort aber nicht differenzierbar.
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Hallo,
du hast die Ableitung falsch berechnet, schaue dir mal die Antwort von roadrunner an,
im 2. Teil bietet sich eine Betragsfunktion an
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Aber wo liegt den mein Rechenfehler, wenn ich das hätte herausbekommen müssen was roadrunner geschrieben hat?
Wie erstelle ich die Betragsfunktion?
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Hallo,
f(x)=|x-1|+2
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Fr 08.02.2008 | | Autor: | abakus |
Bilden wir die Ableitung mal für eine beliebige Selle:
Es ist [mm] \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{x_0}}{x-x_0}= \bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{x_0})*(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})}{(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})*(x-x_0)}= \bruch{x-x_0}{(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})*(x-x_0)}= \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x_0}}
[/mm]
Für x gegen [mm] x_0 [/mm] wird daraus [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}.
[/mm]
Du hast nichts falsch gemacht. Wenn x=0 ist, dann ist [mm] 2*\wurzel{0} [/mm] nun mal das gleiche wie [mm] 1*\wurzel{0}.
[/mm]
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