Stetigkeit,Differenzierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 Fr 16.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
| Aufgabe | Für x > 0 definieren wir f(x)= [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-t}-e^{-xt}}{t} dt}.
[/mm]
a) Zeigen sie, dass [mm] t\mapsto \bruch{e^{-t}-e^{-xt}}{t} [/mm] in [mm] \mathcal{L}^{1}((0,\infty)) [/mm] ist, für alle x > 0. Leiten Sie her, dass f auf [mm] (0,\infty) [/mm] existiert.
b) Zeigen Sie, dass f stetig auf [mm] (0,\infty) [/mm] ist
c) Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist auf [mm] (0,\infty) [/mm] und berechnen Sie die Ableitung |
Hallo an alle!
Ich bin irgendwie ziemlich verzweifelt. Das gesamte Gebiet der Maß-/Integrationstheorie ist für mich sehr suspekt. Deswegen hoff ich, dass ich hier ein bisschen Hilfe finde.
Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Deswegen erhoff ich mir, dass ich hier Ansätze und Tipps bekomme um die Teilaufgaben lösen zu können.
Ich bedanke mich schon einmal sehr bei euch. Wäre wirklich super!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für x > 0 definieren wir f(x)=
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-t}-e^{-xt}}{t} dt}.[/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass [mm]t\mapsto \bruch{e^{-t}-e^{-xt}}{t}[/mm] in
> [mm]\mathcal{L}^{1}((0,\infty))[/mm] ist, für alle x > 0. Leiten
> Sie her, dass f auf [mm](0,\infty)[/mm] existiert.
>
> b) Zeigen Sie, dass f stetig auf [mm](0,\infty)[/mm] ist
>
> c) Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist auf [mm](0,\infty)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und berechnen Sie die Ableitung
> Hallo an alle!
>
> Ich bin irgendwie ziemlich verzweifelt. Das gesamte Gebiet
> der Maß-/Integrationstheorie ist für mich sehr suspekt.
> Deswegen hoff ich, dass ich hier ein bisschen Hilfe finde.
> Ich weiß leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll. Deswegen erhoff ich mir, dass ich hier
> Ansätze und Tipps bekomme um die Teilaufgaben lösen zu
> können.
>
> Ich bedanke mich schon einmal sehr bei euch. Wäre wirklich
> super!
beginnen wir mal mit der a).
Zunächst berechnen wir
$$\lim_{t \to 0}\frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}=-1-x\lim_{t \to 0}\frac{e^{-tx}}{tx}=x-1\,.$$
Damit ist klar, dass $f_x(t):=\frac{e^{-t}-e^{-xt}}{t}$ ($t \ge 0$) mit $f_x(0):=x-1$ stetig auf $[0,1]\,$ ist und daher dort $L^1$-integrierbar. (Stetige Funktionen sind auf kompakten Mengen beschränkt.)
Wir brauchen also nur eine geeignete Abschätzung von $|f_x|\,$ auf $(1,\infty)\,,$ um $f \in L^1((0,\infty))$ einzusehen. (Du kannst auch $f \in \mathcal{L}^1((0,\infty))$ schreiben; da gibt es einen Zusammenhang per Äquivalenzrelation.)
Wegen $e^y \le \frac{1}{1-y}$ ($y < 1\,$) folgt für jedes $t \in (1,\infty)$
$$|f_x(t)|=f_x(t)\;\;\blue{\underset{\text{bea.: }x > 0}{\le}}\;\; \frac{e^{-t}}{t} \le \frac{1}{t+t^2} \le \frac{1}{t^2}\,.$$
Wegen $\int_1^\infty \frac{1}{t^2}dt=\lim_{p \to \infty}-\frac{1}{p}-\left(-\frac{1}{1}\right)=1$ folgt damit $|f_x|, f_x \in L^1((1,\infty))\,.$
(Genauer: ${f_x}{\left.\right|_{(1,\infty)}},{|f_x|}{\left.\right|_{(1,\infty)}} \in L^1((1,\infty))\,.$)
Insgesamt:
$$\int_0^\infty |f_x(t)|dt=\int_0^1 f_x(t)dt\;+\;\int_1^\infty f_x(t) \le M+1 < \infty\,,$$
wobei das letzte $< \infty$ gilt, da $0 \le M < \infty$ wegen $f_x \in L^1([0,1])$ (genauer: ${f_x}{\left.\right|_{[0,1]}} L^1([0,1])$). (Begründung: Siehe oben.)
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 16.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ich hoff mal ich kann anhand deiner Lösung die Aufgabe nachvollziehen. Hab aber noch ne kleine Nachfrage:
> Zunächst berechnen wir
> [mm]\lim_{t \to 0}\frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}=-1-x\lim_{t \to 0}\frac{e^{-tx}}{tx}=x-1\,.[/mm]
Wie bist du denn auf diesen Wert gekommen? Ich komm nur auf -1-x. Was hast du denn da für eine Regel angewandt?
> Damit ist klar, dass [mm]f_x(t):=\frac{e^{-t}-e^{-xt}}{t}[/mm] ([mm]t \ge 0[/mm])
> mit [mm]f_x(0):=x-1[/mm] stetig auf [mm][0,1]\,[/mm] ist und daher dort
> [mm]L^1[/mm]-integrierbar. (Stetige Funktionen sind auf kompakten
> Mengen beschränkt.)
>
> Wir brauchen also nur eine geeignete Abschätzung von
> [mm]|f_x|\,[/mm] auf [mm](1,\infty)\,,[/mm] um [mm]f \in L^1((0,\infty))[/mm]
> einzusehen. (Du kannst auch [mm]f \in \mathcal{L}^1((0,\infty))[/mm]
> schreiben; da gibt es einen Zusammenhang per
> Äquivalenzrelation.)
Kann man allgemein immer sagen, dass man so einer Fragestellung das Intervall entsprechend aufteilen und geeignet abschätzen muss? Ich wäre darauf wohl nicht kommen.
Viele Grüße
Ralf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ich hoff mal ich
> kann anhand deiner Lösung die Aufgabe nachvollziehen. Hab
> aber noch ne kleine Nachfrage:
>
> > Zunächst berechnen wir
> > [mm]\lim_{t \to 0}\frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}=-1-x\lim_{t \to 0}\frac{e^{-tx}}{tx}=x-1\,.[/mm]
>
> Wie bist du denn auf diesen Wert gekommen? Ich komm nur auf
> -1-x. Was hast du denn da für eine Regel angewandt?
bekanntlich ist [mm] $\lim_{z \to 0} e^z/z=1^\,,$ [/mm] und damit folgt natürlich auch
[mm] $$e^{-z}/z=-e^{-z}/(-z) \to [/mm] -1 [mm] \;\;(z \to 0)\,.$$
[/mm]
Oben erhält man somit
[mm] $$-1-(x*(-1))=x-1\,$$
[/mm]
als GW.
> > Damit ist klar, dass [mm]f_x(t):=\frac{e^{-t}-e^{-xt}}{t}[/mm] ([mm]t \ge 0[/mm])
>
> > mit [mm]f_x(0):=x-1[/mm] stetig auf [mm][0,1]\,[/mm] ist und daher dort
> > [mm]L^1[/mm]-integrierbar. (Stetige Funktionen sind auf
> kompakten
> > Mengen beschränkt.)
> >
> > Wir brauchen also nur eine geeignete Abschätzung von
> > [mm]|f_x|\,[/mm] auf [mm](1,\infty)\,,[/mm] um [mm]f \in L^1((0,\infty))[/mm]
> > einzusehen. (Du kannst auch [mm]f \in \mathcal{L}^1((0,\infty))[/mm]
> > schreiben; da gibt es einen Zusammenhang per
> > Äquivalenzrelation.)
>
> Kann man allgemein immer sagen, dass man so einer
> Fragestellung das Intervall entsprechend aufteilen und
> geeignet abschätzen muss?
Müssen ist übertrieben gesagt (man könnte ja zum einen auch anders argumentieren können, zum anderen könnte man hier vll. ja auch eine geeignete Abschätzung auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] finden; mithilfe der von mir gemachten Überlegungen kannst Du Dir sogar eine zusammenbasteln!). Aber es ist eine oft sehr günstige Methode, und natürlich kann man das so machen. Überlege Dir hier z.B. mal so etwas wie
$$f [mm] \in L^1((0,\infty)) \gdw [/mm] f [mm] \in L^1([0,\infty)) \gdw [/mm] f [mm] \in L^1([0,1]) \text{ und }\ldots$$
[/mm]
> Ich wäre darauf wohl nicht
> kommen.
Das ist ja auch ein wenig Erfahrungs- und Übungssache. Zumindest wirst Du bei späteren Aufgaben solch einen Weg evtl. auch in Betracht ziehen.
P.S.:
Beachte übrigens auch, dass das Abändern einer Funktion auf einer Lebesgueschen Nullmenge (also insbesondere auf einer abzählbaren Menge) nichts an der [mm] $L^1$-Zugehörigkeits-Eigenschaft [/mm] ändert. (Das gilt auch analog für [mm] $L^p$ [/mm] mit anderen [mm] $p\,.$)
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 So 18.07.2010 | | Autor: | rulf007 |
Danke Marcel, deine Ansätze helfen mir weiter.
Allerdings versteh ich folgenden Schritt noch nicht. (Vlt steh ich auch einfach nur auf der Leitung)
>
> bekanntlich ist [mm]\lim_{z \to 0} e^z/z=1^\,,[/mm] und damit folgt
> natürlich auch
> [mm]e^{-z}/z=-e^{-z}/(-z) \to -1 \;\;(z \to 0)\,.[/mm]
für mich ist [mm]\lim_{z \to 0} e^z/z=\infty^\,,[/mm] weil 1/0 gg [mm] \infty [/mm] geht?!
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> für mich ist [mm]\lim_{z \to 0} e^z/z=\infty^\,,[/mm] weil 1/0 gg
> [mm]\infty[/mm] geht?!
Hallo,
für mich auch.
Es ist [mm] 1=\lim_{x\to 0}\bruch{e^x-1}{x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
wenn ich das richtig sehe, ging es darum, zu zeigen, dass [mm] $\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}=x-1$ [/mm] ist.
Das kriegst du schnell hin, wenn du die Potenzreihendarsetllung von [mm] $e^{-t}$ [/mm] und [mm] $e^{-tx}$ [/mm] mal schnell hinschreibst.
Es ist ja [mm] $e^z=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}z^k$
[/mm]
Also [mm] $e^{-t}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}(-t)^k=1-t+\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{6}t^3\pm\ldots$
[/mm]
Und [mm] $e^{-tx}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}(-tx)^k=1-tx+\frac{1}{2}(tx)^2-\frac{1}{6}(tx)^2\pm\ldots$
[/mm]
Also [mm] $e^{-t}-e^{-tx}=(1-t+\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{6}t^3\pm\ldots)-(1-tx+\frac{1}{2}(tx)^2-\frac{1}{6}(tx)^2\pm\ldots)=t\green{(x-1)}+\frac{1}{2}t^2(1-x^2)+\ldots$
[/mm]
Damit kannst du gegen das t im Nenner oben wegkürzen und bekommst, dass das ganze Teil für [mm] $t\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\green{x-1}$ [/mm] konvergiert (in allen anderen außer dem ersten Summanden bleibt eine Potenz von t als Faktor, die Summanden streben also allesamt gegen 0 für [mm] $t\to [/mm] 0$) ...
Gruß
schachuzipus
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