Stetigkeit,Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Sei g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine beschränkte Funktion. Zeigen Sie:
(a) Die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x -> x*g(x) ist stetig im Nullpunkt.
(b) Die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x -> [mm] x^2*g(x) [/mm] ist differenzierbar im Nullpunkt mit f'(0) = 0. |
Hallo,
ich bereite mich auf ne Klausur vor und weiß grad nicht, wie ich anfangen soll.
Kann ich bei (a) einfach den limes von x gegen Null wählen und gucken, ob der Grenzwert existiert?
Danke schon einmal für die Antworten.
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 09.10.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
bei solchen Aufgaben geht es meistens drum, alles aus den Voraussetzungen zu "saugen" was man bekommen kann.
Hier ist das jetzt nicht soviel, aber immerhin:
> Sei g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine beschränkte Funktion. Zeigen Sie:
g ist also beschränkt, das bedeutet: [mm] $\exists\, M\in\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $|g(x)|\leq M\quad\forall\, x\in\mathbb{R}$ [/mm]
> (a) Die Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] x -> x*g(x) ist stetig im
> Nullpunkt.
> (b) Die Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] x -> [mm]x^2*g(x)[/mm] ist
> differenzierbar im Nullpunkt mit f'(0) = 0.
> Hallo,
> ich bereite mich auf ne Klausur vor und weiß grad nicht,
> wie ich anfangen soll.
Versuchs mal mit der Information von oben und dem Epsilon-Delta-Kirterium der Stetigkeit.
>
> Kann ich bei (a) einfach den limes von x gegen Null wählen
> und gucken, ob der Grenzwert existiert?
Prinzipiell würde es so funktionieren, ich würde mir aber schwer tun mit dem Grenzwert der unbekannten Funktion $g(x)$
>
> Danke schon einmal für die Antworten.
>
> Grüße,
> Benjamin
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
aber ist der Grenzwert der unbekannten Funktion g(x) nicht egal, da ja [mm] x^2 [/mm] für x gegen 0 sowieso null wird? Müsste da nicht auch der ganze Ausdruck null werden?
Für (a) wäre meine Lösung:
Beschränktheit: [mm] \exists [/mm] M [mm] \in \IR [/mm] mit |g(x)| =< M
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 und |x-0| = |x| < [mm] \delta [/mm] mit [mm] \delta:= \epsilon/M [/mm] und [mm] \delta>0: [/mm]
|f(x)-f(0)| = |x*g(x)-0| = |x|*|g(x)| =< |x|*M < [mm] \delta [/mm] * M = [mm] \epsilon
[/mm]
Damit ist f im Nullpunkt stetig. [mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 So 10.10.2010 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Hi,
> aber ist der Grenzwert der unbekannten Funktion g(x) nicht
> egal, da ja [mm]x^2[/mm] für x gegen 0 sowieso null wird? Müsste
> da nicht auch der ganze Ausdruck null werden?
Kann sein, dass das auch funktioniert, ich wäre mir aber nicht ganz sicher, dass man da nicht irgendeinen Spezialfall missachtet.
>
> Für (a) wäre meine Lösung:
>
> Beschränktheit: [mm]\exists[/mm] M [mm]\in \IR[/mm] mit |g(x)| =< M
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0 und |x-0| = |x| < [mm]\delta[/mm] mit [mm]\delta:= \epsilon/M[/mm]
> und [mm]\delta>0:[/mm]
>
> |f(x)-f(0)| = |x*g(x)-0| = |x|*|g(x)| =< |x|*M < [mm]\delta[/mm] * M
> = [mm]\epsilon[/mm]
>
> Damit ist f im Nullpunkt stetig. [mm]\Box[/mm]
Damit hast Du auf jeden Fall einen sauberen Beweis.
Gruß,
notinX
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