Stetigkeit,Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 09.12.2010 | | Autor: | sanane |
Es soll von einer rellen Funktion auf [mm] \IR [/mm] an der Stelle x0=0 die linksseitige, rechtsseitige Stetigkeit, sowie die Stetigkeit untersucht werden.
f(x)= [mm] x^3+2x-5 [/mm] für x>0
-5 für x=0
[mm] -x^3+2x-5 [/mm] für x<0
Ich habe als Ergbnis, dass die Funktion an der Stelle für x0=0 beidseitig stetig ist mit dem Grenzwert Null , wäre das erstmal richtig?
Ich weiß aber nicht was noch extra mit STETIGKEIT gemeint ist, was soll ich da denn noch zeigen? Das hat mich verunsichert ...
Des Weiteren sollte gezeigt werden, dass die Funktion linksseitig, rechtsseitig Differenzierbar ist, sowei die Differenzierbarkeit und gegebenfalls die Ableitung bestimmt werden.
Ich habe für die links 2 raus und für rechts 0, so dass ich daraus schließe, dass sie nicht differenzierbar ist, da sie jedoch stetig ist, kann sie dort lokale extremwerte besitzen.
Was ich hier aber auch nicht verstehe ist was noch extra mit differenzierbarkeit gemeint ist oder da noch explizit gezeigt werden soll ...
Kann mich da jmf aufklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
linksseitig und rechseitig stetig ist erst stetig, wenn die GW an der Stelle übereinstimmen.
bei diffb. musst du die linke und rechte Abl. nochmal kontrollieren, auch hier, wenn sie übereinstimmen insgesamt diff. bar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Fr 10.12.2010 | | Autor: | sanane |
ich hatte ja schon geschrieben, dass ich festgestellt habe, dass die funktion an der stelle für x=0 beidseitig stetig ist und den grenzwert 0 besitzt...
wär das richtig?
für die differenzierbarkeit habe ich raus, dass sie nicht differenzierbar ist.. da ich als werte einmal 2 und 0 als ergebnis hab...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 10.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf die Ableitungen bei 0? wenn deine fkt richtig aufgeschrieben ist hab ich was anderes.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mo 13.12.2010 | | Autor: | sanane |
also ich hatte das folgendermaßen gemacht:
differenzierbarkeit für links:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] $ f(0-h)-f(0)/(-h)
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} -h^3+2h/ [/mm] (-h) | -h ausklammern und kürzen
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] h²+2 =2
differenzierbarkeit für rechts:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] f(0+h)-f(0)/ (h)= -5-5/ h = 0 ....
--> somit ist die funktion an der stelle 0 nicht differenzierbar
du meintest ja dass das zweite ergebnis 0 falsch ist... was habe ich denn falsch gemacht... das waren meine rechnungen dazu ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du machst jetzt mal folgendes: für h > 0 schreibst Du mal die Quotienten
[mm] $\bruch{f(h)-f(0)}{h}$
[/mm]
und
[mm] $\bruch{f(-h)-f(0)}{-h}$
[/mm]
sauber, ausführlich und ordentlich hin.
Dann sehen wir weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 13.12.2010 | | Autor: | sanane |
okay.. also
für f(h)-f(0)/ (h) = (h³ + 2h -5) - (-5)/ h
= h³ +2h/h | h ausklammern und wegkürzen
= h²+2 = 2 wär das richtig? (natürlich limes von den jeweiligen quotienten)
f(-h)-f(0)/(-h)= (-h³-2h+5)-(-5)/(-h)
= -h³-2h/ (-h) | -h ausklammern und wegkürzen
=h²+2 =2
würde das jetzt bedeuten, dass die funktion an der stelle x=0 differenzierbar ist ? ...muss ich für die stetigkeit oder differenzierbarkeit noch etwas anderes zeigen? ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt hast du Stetigkeit und differenzierbarkeit beides gezeigt, wenn dus noch richtig mit lim hinschreibst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 13.12.2010 | | Autor: | sanane |
yuhuuuuuuuuuuuuuuuu dankeee :D
eine frage habe ich aber noch .. geh ich bei der differenzierung immer so vor dass ich h>0 zeige ? das ist mir noch nicht so klar geworden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
für h > 0 btrachtest Du die Quotienten
$ [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] $
und
$ [mm] \bruch{f(-h)-f(0)}{-h} [/mm] $
Existiert [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] $, so ist f rechtsseitig differenzierbar in 0
Existiert [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(-h)-f(0)}{-h} [/mm] $, so ist f linksseitig differenzierbar in 0
Gilt auch noch
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)-f(0)}{h}= \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(-h)-f(0)}{-h}$,
[/mm]
so ist f in 0 differenzierbar.
FRED
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