Stetigkeit Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Di 16.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Es sei I [mm] \subset \IR. [/mm] Ich habe folgende Treppenfunktion H: I [mm] \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=a \\ \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} - x_{i-1}) + c_j*(x- x_{j-1}), & \mbox{für } x \in (x_{j-1}, x_j] \end{cases}
[/mm]
Nun wissen wir ja, dass die Funktion in [mm] (x_{j-1}, x_j] [/mm] für alle [mm] 1\le [/mm] j [mm] \le [/mm] m stetig ist, dies ergibt sich ja aus der zusammensetzung von stetigen funktionen.
Einzig [mm] x_{j-1} [/mm] bereitet Problemen. Dies wird allerdings immer durch die vorhergehenden Intervalle abgedeckt. [mm] x_0 [/mm] ist durch den fall x=a abgedeckt.
Formal könnte wir dies so betrachten:
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{i-1}-} [/mm] F(x) = [mm] \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = [mm] F(x_{i-1})
[/mm]
ist die Idee so richtig?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 16.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei I [mm]\subset \IR.[/mm] Ich habe folgende Treppenfunktion H:
> I [mm]\to \IR[/mm]
>
> x [mm]\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=a \\ \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} - x_{i-1}) + c_j*(x- x_{j-1}), & \mbox{für } x \in (x_{j-1}, x_j] \end{cases}[/mm]
Nur weil ich vor einigen Tagen schon etwas ganz ähnliches von Dir gelesen habe, ist mir bekannt:
I=[a,b] und [mm] a=x_0
Das hättest Du noch erwähnen sollen !!
>
> Nun wissen wir ja, dass die Funktion in [mm](x_{j-1}, x_j][/mm] für
> alle [mm]1\le[/mm] j [mm]\le[/mm] m stetig ist, dies ergibt sich ja aus der
> zusammensetzung von stetigen funktionen.
> Einzig [mm]x_{j-1}[/mm] bereitet Problemen. Dies wird allerdings
> immer durch die vorhergehenden Intervalle abgedeckt. [mm]x_0[/mm]
> ist durch den fall x=a abgedeckt.
>
> Formal könnte wir dies so betrachten:
>
>
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{i-1}-}[/mm] F(x) =
> [mm]\summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]F(x_{i-1})[/mm]
>
> ist die Idee so richtig?
Nicht ganz. Du wirfs mit $i$ und $j$ um Dich, wies gerade so kommt !
Es ist
[mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}+}[/mm] F(x) = [mm]\summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]F(x_{j-1})[/mm]
Zeige nun auch noch:
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)= F(x_{j-1})
[/mm]
FRED
>
> lg
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 16.09.2014 | | Autor: | nero08 |
>
> Es ist
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}+}[/mm] F(x) =
> [mm]\summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]F(x_{j-1})[/mm]
>
> Zeige nun auch noch:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)= F(x_{j-1})[/mm]
>
> FRED
> >
> > lg
> >
> >
> >
> >
>
hallo!
seh ich das richtig, dass man für den rechtsseitigen limes eine Fallunterscheidung braucht?
wenn j [mm] \ge [/mm] 2 dann:
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)= \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = [mm] F(x_{j-1})
[/mm]
wen j =1
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)= [/mm] 0 = [mm] F(x_{j-1})
[/mm]
also müsste dies im Prinzip gleich funktionieren.
PS: nat. H statt F, hab mich da vertan, aber es jetzt so gelassen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}+}[/mm] F(x) =
> > [mm]\summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]F(x_{j-1})[/mm]
> >
> > Zeige nun auch noch:
> >
> > [mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)= F(x_{j-1})[/mm]
> >
> > FRED
> > >
> > > lg
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> hallo!
>
> seh ich das richtig, dass man für den rechtsseitigen limes
> eine Fallunterscheidung braucht?
>
> wenn j [mm]\ge[/mm] 2 dann:
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)[/mm]
das ist aber der linksseitige Limes!
> [mm]= \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i}[/mm]
> - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]F(x_{j-1})[/mm]
>
> wen j =1
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{j-1}-}F(x)=[/mm] 0 = [mm]F(x_{j-1})[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> also müsste dies im Prinzip gleich funktionieren.
>
> PS: nat. H statt F, hab mich da vertan, aber es jetzt so
> gelassen..
Ich schreib's jetzt mal sauber hin:
1. Der linksseitige Limes einer Funktion $f\,$ an einer Stelle $x_0$ werde, sofern
er denn existent ist, notiert als
$\lim_{x \to x_0^-}f(x):=\lim_{x_0 > x \to x_0}f(x)\,.$
2. Der rechtsseitige Limes einer Funktion $f\,$ an einer Stelle $x_0$ werde, sofern
er denn existent ist, notiert als
$\lim_{x \to x_0^+}f(x):=\lim_{x_0 < x \to x_0}f(x)\,.$
Die Funktion $F\,$ sei so wie von Dir vorgegeben mit Freds genannten Ergänzungen
(mit $F:=H\,$).
Klar ist, dass
$\left.F\right|_{(x_{j-1},x_j)}$
stetig ist für $j=1,...,n\,.$
Tatsächlich ist sogar auch klar, dass für jedes $j \in \{1,...,n\}$ die Funktion $F\,$
auch linksstetig in $x_j$ ist, denn es ist doch offensichtlich
$\left.F\right|_{(x_{j-1},x_j\red{]}}$
stetig. (Dann muss $\left.F\right|_{(x_{j-1},x_j\red{]}}$ auch linksstetig in $x_j$ sein!)
Wir rechnen das jetzt aber dennoch mal nach:
Für $j=0\,$ ist nichts zu zeigen. Sei also die natürliche Zahl $j \ge 1\,.$
O.E. können wir annehmen, dass sich $x \in (x_{j-1},x_j)$ befinde. Dann gilt
insbesondere $x < x_j,$ der Grenzübergang $x \to x_j$ ist machbar und
$F(x)=c_j*(x-x_{j-1})+\sum_{k=1}^{j-\red{1}}c_k(x_k-x_{k-1})$ (für $j=1\,$ ist die rechte Summe die
leere Summe, also $=0\,$).
Es folgt also für $j \in \{1,...,n\}$
$\lim_{x \to x_{j}^-}F(x)=\lim_{(x_{j-1},x_j) \ni x \to x_j}F(x)=...=c_j*(\red{(}\lim_{(x_{j-1},x_j) \ni x \to x_j}x\red{)}-x_{j-1})+\sum_{k=1}^{j-\red{1}}c_k(x_k-x_{k-1})=...=\sum_{k=1}^j c_k(x_k-x_{k-1})=F(x_j)\,.$
Um nun den rechtsseitigen Limes
$\lim_{x \to x_{j}^+}F(x)$ für $j=0,...,n-1$
zu berechnen:
Das gleiche Spiel. Für $j \in \{0,...,n-1\}$ können wir o.E.
$x \in (x_{j},x_{j+1})$ (es ginge sogar $x \in (x_j,x_{j+1}]$)
annehmen. Es ergibt sich
$\lim_{x \to x_j^+}F(x)=\lim_{(x_j,x_{j+1}) \ni x \to x_j}F(x)=\lim_{(x_j,x_{j+1}) \ni x \to x_j} \left(c_{j+1}*(x-x_j)+\sum_{k=1}^j c_k*(x_k-x_{k-1})\right)=...=F(x_j).$
Jetzt das Fazit:
Für jedes
$j \in \underbrace{\{0,...,n-1\} \cap \{1,...,n\}}_{\text{das ist wichtig!}}=\{1,...,n-1\}$
gilt:
$F\,$ ist in $x_j$ sowohl links- als auch rechtsstetig und
sowohl der linksseitige Limes als auch der rechtsseitige
Limes stimmt dort mit $F(x_j)$ überein.
Also: $F\,$ ist damit stetig in allen $x_j$ für $j=1,...,n-1.$
Nun haben wir aber auch gesehen: $F\,$ ist rechtsstetig in $x_0=a\,.$ $F\,$ ist
linksstetig in $x_n=b\,.$
Also?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 16.09.2014 | | Autor: | nero08 |
"Nun haben wir aber auch gesehen: $ [mm] F\, [/mm] $ ist rechtsstetig in $ [mm] x_0=a\,. [/mm] $ $ [mm] F\, [/mm] $ ist
linksstetig in $ [mm] x_n=b\,. [/mm] $
Also? "
Bilden a und b die Randpunkte, und F ist somit stetig in allen [mm] x_j [/mm] für j=0,1,...,n und somit auf dem ganzen Intervall stetig :)
Wenn ich gerade so einen fähigen Menschen wie dich ein wenig an der "Angel" habe :) Wüsstest du vl. noch auf folgendes eine Antwort? (Das ganze kommt ja als Teil des Beweises beim Existentzsatz für Stammfunktionen.)
https://www.vorhilfe.de/file/uploads/forum/01034398/forum-i01034398-n003.jpg
Das ist der 2.Fall des Beweises [der 1. Fall war mit einem kompakten Intervall]
Mir will die idee hier nicht ganz klar sein. wieso bilde ich bei der Funktion F:I [mm] \to [/mm] R x auf [mm] F_{r,s}(x) [/mm] ab?
Anschließend wollen wir zeigen, dass die wahl von r,s unabhängig für die Definition von F ist.
Aber ich schränke nacher mein neu gewähltes intervall wieder auf r,s ein. Mir ist schon irgendwie klar, dass die Funktionen sonst nicht gleich sein könnten, aber den Sinn dahinter mag ich irgendwie nicht sehen :/
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Nun haben wir aber auch gesehen: [mm]F\,[/mm] ist rechtsstetig in
> [mm]x_0=a\,.[/mm] [mm]F\,[/mm] ist
> linksstetig in [mm]x_n=b\,.[/mm]
> Also? "
>
> Bilden a und b die Randpunkte, und F ist somit stetig in
> allen [mm]x_j[/mm] für j=0,1,...,n und somit auf dem ganzen
> Intervall stetig :)
>
> Wenn ich gerade so einen fähigen Menschen wie dich ein
> wenig an der "Angel" habe :) Wüsstest du vl. noch auf
> folgendes eine Antwort? (Das ganze kommt ja als Teil des
> Beweises beim Existentzsatz für Stammfunktionen.)
>
> https://www.vorhilfe.de/file/uploads/forum/01034398/forum-i01034398-n003.jpg
es wäre dann gut, den ganzen Beweis zu sehen. Oder Du sagst "skizzenhaft",
was da gemacht wird.
> Das ist der 2.Fall des Beweises [der 1. Fall war mit einem
> kompakten Intervall]
>
> Mir will die idee hier nicht ganz klar sein. wieso bilde
> ich bei der Funktion F:I [mm]\to \to[/mm] x auf [mm]F_{r,s}(x)[/mm] ab?
>
> Anschließend wollen wir zeigen, dass die wahl von r,s
> unabhängig für die Definition von F ist.
>
> Aber ich schränke nacher mein neu gewähltes intervall
> wieder auf r,s ein. Mir ist schon irgendwie klar, dass die
> Funktionen sonst nicht gleich sein könnten, aber den Sinn
> dahinter mag ich irgendwie nicht sehen :/
Wie gesagt: Ich denke, viele hier sehen das ähnlich wie ich:
Mit Bruchstücken oder Ausschnitten alleine ist es ein wenig schwer, darauf
einzugehen. Zumal man ja dann auch nicht so genau weiß, wo das Problem
bei Dir nun konkret besteht!
Also am Besten mal den 'ganzen Beweis der Stammfunktionexistenz' (inklusive
der genauen Formulierung des Satzes, der bewiesen wird) zeigen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 16.09.2014 | | Autor: | nero08 |
den gnazen beweis, hab ich schon mal hier gepostet:(siehe anhang)
https://www.vorhilfe.de/read?t=1034398
hier noch die Formulierung des Satzes:
Es sei I $ [mm] \subset \IR [/mm] $ ein beliebiges Intervall und f: I $ [mm] \to \IR [/mm] $ eine Regelfunktion, dann ex. eine Stammfunktion F= $ [mm] \integral [/mm] $ f auf I.
Wie schon oben geschrieben, der 2. Fall bereitet mir Kopfzerbrechen, weil die Idee nach welcher hier vorgegangen wird mir nicht klar sein will.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 16.09.2014 | | Autor: | nero08 |
edit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mi 17.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Nun haben wir aber auch gesehen: [mm]F\,[/mm] ist rechtsstetig in
> [mm]x_0=a\,.[/mm] [mm]F\,[/mm] ist
> linksstetig in [mm]x_n=b\,.[/mm]
> Also? "
>
> Bilden a und b die Randpunkte, und F ist somit stetig in
> allen [mm]x_j[/mm] für j=0,1,...,n und somit auf dem ganzen
> Intervall stetig :)
>
> Wenn ich gerade so einen fähigen Menschen wie dich ein
> wenig an der "Angel" habe :) Wüsstest du vl. noch auf
> folgendes eine Antwort? (Das ganze kommt ja als Teil des
> Beweises beim Existentzsatz für Stammfunktionen.)
>
> https://www.vorhilfe.de/file/uploads/forum/01034398/forum-i01034398-n003.jpg
>
> Das ist der 2.Fall des Beweises [der 1. Fall war mit einem
> kompakten Intervall]
okay: Wir wissen nun also bislang:
Ist $f [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] eine Regelfunktion, so hat [mm] $f\,$ [/mm] eine Stammfunktion, sofern
denn [mm] $I\,$ [/mm] kompakt ist.
> Mir will die idee hier nicht ganz klar sein. wieso bilde
> ich bei der Funktion F:I [mm]\to[/mm] R x auf [mm]F_{r,s}(x)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ab?
Naja, Du kannst den obigen Satz nur dann auf $I\,$ anwenden, wenn $I\,$
kompakt ist. Ist $I\,$ offen oder nur einseitig offen, so ist ja bislang noch
nicht klar, dass $f\,$ eine Regelfunktion hat.
Ich erklär' jetzt einfach mal, was da gemacht wird:
Sei $I \not=\varnothing$ und nicht kompakt, also mindestens einseitig offen.
Dann ist das Innere von $I\,$ auch nicht leer.
Und ich würde jetzt auch $c\,$ aus dem Inneren von $I\,$ fixieren. Denn dann
gibt es $r,s \in I$ mit o.E. $r < c < s\,,$ also $c \in [r,s]\,.$
Die Funktion
$\left.f\right|_{[r,s]}$
ist eine Abbildung
$[r,s] \to \IR\,,$
zudem ist sie auch eine Regelfunktion (warum?).
Gemäß dem, was bisher gezeigt wurde, hat sie eine Stammfunktion, ihr bezeichnet
eine solche als
$F_{r,s}\,.$
Nun gilt (kennst Du die Bezeichnung $I^\text{o}$ für das Innere von $I\,$?):
Wählen wir für $c \in I^\text{o}$ $r,s \in I$ mit $r < c < s\,,$ und bezeichnen
wir dann solche $r,s\,$ genauer mit $r_c$ bzw. $s_c\,,$ wobei wir im Falle, dass
$I\,$ rechtsabgeschlossen (und linksoffen) ist, stets $s_c$ als rechte Intervallgrenze wählen;
und, im Falle, dass $I\,$ linksabgeschlossen (und rechtsoffen) ist, stets
$r_c$ als linke Intervallgrenze wählen:
$I=\bigcup_{c \in I^\text{o}}[r_c,s_c]\,.$
Der Beweis dieser Mengengleichheit ist einfach:
Per Definitionem folgt sofort "$\supseteqq$", da alle $[r_c,s_c] \subseteq I\,.$
Zu "$\subseteqq$": Ist $I=I^\text{o},$ so ist die Behauptung klar. Ist $I\,$ rechtsabgeschlossen (und linksoffen),
so ist auch hier im Falle $c \in I^\text{o}$ alles klar. Ist $c\,$ der rechte Intervallrandpunkt
(er möge $b\,$ heißen), so wähle irgendein $c_0 \in I^\text{o}\,.$ Dann ist
$c \in [r_{c_0},b]=[r_{c_0},s_{c_0}]$ $\left(\subseteqq \bigcup_{u \in I^\text{o}}[r_u,s_u]\right)$ mit einem $r_{c_0} \in I\,.$
Analog geht man vor, falls $I\,$ linksabgeschlossen (und rechtsoffen) ist
und $c\,$ der linke Intervallpunkt ist.
Daher liegt folgendes nahe: Sei $I=(a,b]\,$ rechtsabgeschlossen (und linksoffen)
und nicht leer. (Analog gehst Du im Falle $I=[a,b)$ vor, und im Falle $I=(a,b)\,$ wird
das Ganze noch einfacher, weil man dann keine Fallunterscheidung für
die Randpunkte braucht.)
Wir definieren
$F \colon I=(a,b] \to \IR$
durch
$F(x):=\begin{cases} F_{r_x,s_x}(x), & \mbox{für } x \in I^\text{o} \\ F_{(a+b)/2,b}(x), & \mbox{für } x=b \end{cases}$
Dann ist $F\,$ eine Stammfunktion von $f \colon I \to \IR\,.$ Hierbei bräuchte
ich eigentlich noch nicht mal nachzuweisen, dass die Definition auf $I\,$ unabhängig
von der Wahl der $r_x,s_x$ ist, wenn ich denn für jedes $x \in I^\text{o}$
auch nur ein Paar $(r_x\,|\,s_x) \in I \times I$ wähle.
Viel wichtiger ist der Nachweis - ihr hattet ja diese spezielle Definition,
dass Stammfunktionen $F\,$ von $f\,$ die Eigenschaft $F\,'=f$ nur bis auf eine
Lebesguesche Nullmenge haben - dass $F\,'=f$ eben bis auf eine Lebesguesche
Nullmenge gilt.
Und sofern ich das korrekt sehe: Dafür benutzt man eben, dass $\IQ \cap I$ dicht
in $I\,$ liegt und dann braucht man natürlich auch diese Unabhängigkeit der
Wahl der "inneren kompakten Intervalle".
(Beachte, dass $\IQ$ als abzählbare Menge eine Nullmenge ist und damit ist
auch $I \cap \IQ$ Nullmenge. Die Menge der Nichtdifferenzierbarkeitspunkte von
$F\,$ kann daher auch nur abzählbar sein, ist folglich eine Nullmenge. Und
außerhalb dieser gilt überall ansonsten auf $I\,$ eben $F\,'=f\,.$)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 17.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Hallo
>
> okay: Wir wissen nun also bislang:
> Ist [mm]f \colon I \to \IR[/mm] eine Regelfunktion, so hat [mm]f\,[/mm] eine
> Stammfunktion, sofern
> denn [mm]I\,[/mm] kompakt ist.
>
> > Mir will die idee hier nicht ganz klar sein. wieso bilde
> > ich bei der Funktion F:I [mm]\to[/mm] R x auf [mm]F_{r,s}(x)[/mm] ab?
>
> Naja, Du kannst den obigen Satz nur dann auf [mm]I\,[/mm] anwenden,
> wenn [mm]I\,[/mm]
> kompakt ist. Ist [mm]I\,[/mm] offen oder nur einseitig offen, so ist
> ja bislang noch
> nicht klar, dass [mm]f\,[/mm] eine Regelfunktion hat.
>
> Ich erklär' jetzt einfach mal, was da gemacht wird:
> Sei [mm]I \not=\varnothing[/mm] und nicht kompakt, also mindestens
> einseitig offen.
> Dann ist das Innere von [mm]I\,[/mm] auch nicht leer.
>
> Und ich würde jetzt auch [mm]c\,[/mm] aus dem Inneren von [mm]I\,[/mm]
> fixieren. Denn dann
> gibt es [mm]r,s \in I[/mm] mit o.E. [mm]r < c < s\,,[/mm] also [mm]c \in [r,s]\,.[/mm]
>
> Die Funktion
>
> [mm]\left.f\right|_{[r,s]}[/mm]
>
> ist eine Abbildung
>
> [mm][r,s] \to \IR\,,[/mm]
>
> zudem ist sie auch eine Regelfunktion (warum?).
weil per Vorrausetzung f: I [mm] \to \IR [/mm] eine Regelfunktion ist, und dann die Funktion auf einem Teilinterfall von f eingeschränkt gewiss wieder eine Regelfunktion ist.
>
> Gemäß dem, was bisher gezeigt wurde, hat sie eine
> Stammfunktion, ihr bezeichnet
> eine solche als
>
> [mm]F_{r,s}\,.[/mm]
>
> Nun gilt (kennst Du die Bezeichnung [mm]I^\text{o}[/mm] für das
> Innere von [mm]I\,[/mm]?):
> Wählen wir für [mm]c \in I^\text{o}[/mm] [mm]r,s \in I[/mm] mit [mm]r < c < s\,,[/mm]
> und bezeichnen
> wir dann solche [mm]r,s\,[/mm] genauer mit [mm]r_c[/mm] bzw. [mm]s_c\,,[/mm] wobei
> wir im Falle, dass
> [mm]I\,[/mm] rechtsabgeschlossen (und linksoffen) ist, stets [mm]s_c[/mm]
> als rechte Intervallgrenze wählen;
> und, im Falle, dass [mm]I\,[/mm] linksabgeschlossen (und
> rechtsoffen) ist, stets
> [mm]r_c[/mm] als linke Intervallgrenze wählen:
>
> [mm]I=\bigcup_{c \in I^\text{o}}[r_c,s_c]\,.[/mm]
>
> Der Beweis dieser Mengengleichheit ist einfach:
> Per Definitionem folgt sofort "[mm]\supseteqq[/mm]", da alle
> [mm][r_c,s_c] \subseteq I\,.[/mm]
> Zu "[mm]\subseteqq[/mm]": Ist
> [mm]I=I^\text{o},[/mm] so ist die Behauptung klar.
dies wäre dann auch der Fall, wenn das Intervall I offen ist oder?
Ist [mm]I\,[/mm]
> rechtsabgeschlossen (und linksoffen),
> so ist auch hier im Falle [mm]c \in I^\text{o}[/mm] alles klar. Ist
> [mm]I\,[/mm] der rechte Intervallrandpunkt
da gehört statt I ein c oder?
> (er möge [mm]b\,[/mm] heißen), so wähle irgendein [mm]c_0 \in I^\text{o}\,.[/mm]
> Dann ist
>
> [mm]c \in [r_{c_0},b]=[r_{c_0},s_{c_0}][/mm] [mm]\left(\subseteqq \bigcup_{u \in I^\text{u}}[r_u,s_u]\right)[/mm]
> mit einem [mm]r_{c_0} \in I\,.[/mm]
der erste teil ist noch klar hier. c ist dann nat. in der menge enthalten, weil es ja der rechte Randpunkt ist.
aber wieso I jetzt eine Teilmenge des neuen Intervalls sein soll(gehört bei I nicht [mm] I^\text{o} [/mm] bei der Vereinigung im index? ) will ich nicht sehen, außer ich wähle [mm] r_c_0 [/mm] weiter links als die linke Intervallgrenze von I, aber das geht ja nicht.
>
> Analog geht man vor, falls [mm]I\,[/mm] linksabgeschlossen (und
> rechtsoffen) ist
> und [mm]c\,[/mm] der linke Intervallpunkt ist.
>
> Daher liegt folgendes nahe: Sei [mm]I=(a,b]\,[/mm]
> rechtsabgeschlossen (und linksoffen)
> und nicht leer. (Analog gehst Du im Falle [mm]I=[a,b)[/mm] vor, und
> im Falle [mm]I=(a,b)\,[/mm] wird
> das Ganze noch einfacher, weil man dann keine
> Fallunterscheidung für
> die Randpunkte braucht.)
>
> Wir definieren
>
> [mm]F \colon I=(a,b] \to \IR[/mm]
>
> durch
>
> [mm]F(x):=\begin{cases} F_{r_x,s_x}(x), & \mbox{für } x \in I^\text{o} \\ F_{(a+b)/2,b}(x), & \mbox{für } x=b \end{cases}[/mm]
dies würde eben jetzt genau bei unserem beweis, der Abbildung x [mm] \mapsto F_{r,s}(x) [/mm] entsprechen? (bei uns halt nicht ganz so sauber, weil keien fallunterscheidung beim Intervall)
>
> Dann ist [mm]F\,[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f \colon I \to \IR\,.[/mm]
> Hierbei bräuchte
> ich eigentlich noch nicht mal nachzuweisen, dass die
> Definition auf [mm]I\,[/mm] unabhängig
> von der Wahl der [mm]r_x,s_x[/mm] ist, wenn ich denn für jedes [mm]x \in I^\text{o}[/mm]
>
> auch nur ein Paar [mm](r_x\,|\,s_x) \in I \times I[/mm] wähle.
und hier schränckst du dann x aufs Intervall [r,s] ein?
und wenn man so machen würde wie er, dass mans trotzdem zeigen will? weil es scheint eh recht sinnlos zu sein, wenn ich die neue abbildung, dann erst wieder einschränke, ist das sozusagen auch wie ers macht "umsonst"? aber sehe ich dies dann schon richtig, dass ich mein "neues" Intervall bzw. meine neue Funktion auf dem Intervall [r',s'] wieder auf [mm] F_{r,s} [/mm] einschränke?
>
> Viel wichtiger ist der Nachweis - ihr hattet ja diese
> spezielle Definition,
> dass Stammfunktionen [mm]F\,[/mm] von [mm]f\,[/mm] die Eigenschaft [mm]F\,'=f[/mm] nur
> bis auf eine
> Lebesguesche Nullmenge haben - dass [mm]F\,'=f[/mm] eben bis auf
> eine Lebesguesche
> Nullmenge gilt.
>
> Und sofern ich das korrekt sehe: Dafür benutzt man eben,
> dass [mm]\IQ \cap I[/mm] dicht
> in [mm]I\,[/mm] liegt und dann braucht man natürlich auch diese
> Unabhängigkeit der
> Wahl der "inneren kompakten Intervalle".
> (Beachte, dass [mm]\IQ[/mm] als abzählbare Menge eine Nullmenge
> ist und damit ist
> auch [mm]I \cap \IQ[/mm] Nullmenge. Die Menge der
> Nichtdifferenzierbarkeitspunkte von
> [mm]F\,[/mm] kann daher auch nur abzählbar sein, ist folglich eine
> Nullmenge. Und
> außerhalb dieser gilt überall ansonsten auf [mm]I\,[/mm] eben
> [mm]F\,'=f\,.[/mm])
der schritt, wurde eigentlich gar nicht wirklich durchgenommen im Beweis wenn ich das Richtig sehe, wurde anscheinend als klar angesehen.
Zwecks lokaler Eigenschaft: Davon spreche ich ja hier, weil ich die Funktion ja "nur" in dem Kontext auf einem speziellen Intervall betrachtet habe, es aber für ein bel. Intervall gilt (wie oben gesehn), und somit dann auf dem ganzen Intervall gilt(vgl. Stetigkeit, dort spricht man ja auch von einer lokalen Eigenschaft)
>
> Gruß,
> Marcel
VIELEN DANK und lg
nero
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mi 17.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo
>
>
> >
> > okay: Wir wissen nun also bislang:
> > Ist [mm]f \colon I \to \IR[/mm] eine Regelfunktion, so hat [mm]f\,[/mm]
> eine
> > Stammfunktion, sofern
> > denn [mm]I\,[/mm] kompakt ist.
> >
> > > Mir will die idee hier nicht ganz klar sein. wieso bilde
> > > ich bei der Funktion F:I [mm]\to[/mm] R x auf [mm]F_{r,s}(x)[/mm] ab?
> >
> > Naja, Du kannst den obigen Satz nur dann auf [mm]I\,[/mm] anwenden,
> > wenn [mm]I\,[/mm]
> > kompakt ist. Ist [mm]I\,[/mm] offen oder nur einseitig offen, so ist
> > ja bislang noch
> > nicht klar, dass [mm]f\,[/mm] eine Regelfunktion hat.
> >
> > Ich erklär' jetzt einfach mal, was da gemacht wird:
> > Sei [mm]I \not=\varnothing[/mm] und nicht kompakt, also
> mindestens
> > einseitig offen.
> > Dann ist das Innere von [mm]I\,[/mm] auch nicht leer.
> >
> > Und ich würde jetzt auch [mm]c\,[/mm] aus dem Inneren von [mm]I\,[/mm]
> > fixieren. Denn dann
> > gibt es [mm]r,s \in I[/mm] mit o.E. [mm]r < c < s\,,[/mm] also [mm]c \in [r,s]\,.[/mm]
>
> >
> > Die Funktion
> >
> > [mm]\left.f\right|_{[r,s]}[/mm]
> >
> > ist eine Abbildung
> >
> > [mm][r,s] \to \IR\,,[/mm]
> >
> > zudem ist sie auch eine Regelfunktion (warum?).
>
> weil per Vorrausetzung f: I [mm]\to \IR[/mm] eine Regelfunktion ist,
> und dann die Funktion auf einem Teilinterfall von f
> eingeschränkt gewiss wieder eine Regelfunktion ist.
Genau. Falls ihr das noch nicht bewiesen habt, kannst Du das sicher selbst
beweisen.
> > Gemäß dem, was bisher gezeigt wurde, hat sie eine
> > Stammfunktion, ihr bezeichnet
> > eine solche als
> >
> > [mm]F_{r,s}\,.[/mm]
> >
> > Nun gilt (kennst Du die Bezeichnung [mm]I^\text{o}[/mm] für das
> > Innere von [mm]I\,[/mm]?):
> > Wählen wir für [mm]c \in I^\text{o}[/mm] [mm]r,s \in I[/mm] mit [mm]r < c < s\,,[/mm]
> > und bezeichnen
> > wir dann solche [mm]r,s\,[/mm] genauer mit [mm]r_c[/mm] bzw. [mm]s_c\,,[/mm] wobei
> > wir im Falle, dass
> > [mm]I\,[/mm] rechtsabgeschlossen (und linksoffen) ist, stets [mm]s_c[/mm]
> > als rechte Intervallgrenze wählen;
> > und, im Falle, dass [mm]I\,[/mm] linksabgeschlossen (und
> > rechtsoffen) ist, stets
> > [mm]r_c[/mm] als linke Intervallgrenze wählen:
> >
> > [mm]I=\bigcup_{c \in I^\text{o}}[r_c,s_c]\,.[/mm]
> >
> > Der Beweis dieser Mengengleichheit ist einfach:
> > Per Definitionem folgt sofort "[mm]\supseteqq[/mm]", da alle
> > [mm][r_c,s_c] \subseteq I\,.[/mm]
> > Zu "[mm]\subseteqq[/mm]": Ist
> > [mm]I=I^\text{o},[/mm] so ist die Behauptung klar.
>
> dies wäre dann auch der Fall, wenn das Intervall I offen
> ist oder?
Es ist [mm] $I=I^\text{o}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $I\,$ [/mm] offen ist!
> Ist [mm]I\,[/mm]
> > rechtsabgeschlossen (und linksoffen),
> > so ist auch hier im Falle [mm]c \in I^\text{o}[/mm] alles klar. Ist
> > [mm]I\,[/mm] der rechte Intervallrandpunkt
>
> da gehört statt I ein c oder?
Ja, habe ich geändert.
>
> > (er möge [mm]b\,[/mm] heißen), so wähle irgendein [mm]c_0 \in I^\text{o}\,.[/mm]
> > Dann ist
> >
> > [mm]c \in [r_{c_0},b]=[r_{c_0},s_{c_0}][/mm] [mm]\left(\subseteqq \bigcup_{u \in I^\text{u}}[r_u,s_u]\right)[/mm]
> > mit einem [mm]r_{c_0} \in I\,.[/mm]
>
> der erste teil ist noch klar hier. c ist dann nat. in der
> menge enthalten, weil es ja der rechte Randpunkt ist.
>
> aber wieso I jetzt eine Teilmenge des neuen Intervalls sein
> soll(gehört bei I nicht [mm]I^\text{o}[/mm] bei der Vereinigung im
> index? )
Auch korrigiert. Danke für die Hinweise!
> will ich nicht sehen, außer ich wähle [mm]r_c_0[/mm]
> weiter links als die linke Intervallgrenze von I, aber das
> geht ja nicht.
Na, wir wollen doch jetzt $I [mm] \subseteqq \bigcup_{...}...$ [/mm] zeigen. Für jedes $c [mm] \in [/mm] I$
ist also zu zeigen: Es existieren $r,s [mm] \in [/mm] I$ mit $r < c < [mm] s\,.$
[/mm]
Hier hatten wir $I=(a,b] [mm] \not=\varnothing$ [/mm] angenommen. Ist [mm] $c=b\,,$ [/mm] so war
Dir alles klar, wie Du sagtest.
Ist $c [mm] \in [/mm] (a,b] [mm] \setminus \{b\}\,,$ [/mm] so ist doch $c [mm] \in I^\text{o}\,.$ [/mm] Daher...?
Klar(er)? Oder worin genau besteht Dein Problem hier?
> > Analog geht man vor, falls [mm]I\,[/mm] linksabgeschlossen (und
> > rechtsoffen) ist
> > und [mm]c\,[/mm] der linke Intervallpunkt ist.
> >
> > Daher liegt folgendes nahe: Sei [mm]I=(a,b]\,[/mm]
> > rechtsabgeschlossen (und linksoffen)
> > und nicht leer. (Analog gehst Du im Falle [mm]I=[a,b)[/mm] vor,
> und
> > im Falle [mm]I=(a,b)\,[/mm] wird
> > das Ganze noch einfacher, weil man dann keine
> > Fallunterscheidung für
> > die Randpunkte braucht.)
> >
> > Wir definieren
> >
> > [mm]F \colon I=(a,b] \to \IR[/mm]
> >
> > durch
> >
> > [mm]F(x):=\begin{cases} F_{r_x,s_x}(x), & \mbox{für } x \in I^\text{o} \\ F_{(a+b)/2,b}(x), & \mbox{für } x=b \end{cases}[/mm]
>
> dies würde eben jetzt genau bei unserem beweis, der
> Abbildung x [mm]\mapsto F_{r,s}(x)[/mm] entsprechen?
Ja.
> (bei uns halt nicht ganz so sauber, weil keien fallunterscheidung beim
> Intervall)
Es kann auch sein, dass ich das ein wenig unnötig aufgebläht habe. Ich
hab's halt so gemacht, wie ich es erstmal machen würde, auch, wenn
da dann evtl. etwas zu viel steht!
> >
> > Dann ist [mm]F\,[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f \colon I \to \IR\,.[/mm]
> > Hierbei bräuchte
> > ich eigentlich noch nicht mal nachzuweisen, dass die
> > Definition auf [mm]I\,[/mm] unabhängig
> > von der Wahl der [mm]r_x,s_x[/mm] ist, wenn ich denn für jedes [mm]x \in I^\text{o}[/mm]
>
> >
> > auch nur ein Paar [mm](r_x\,|\,s_x) \in I \times I[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wähle.
>
>
> und hier schränckst du dann x aufs Intervall [r,s] ein?
Nein. Ich betrachte $\left.f\right|_{[r_x,s_x]}\,,$ das Ding hat 'ne Stammfunktion
$\int \left.f\right|_{r_x,s_x}=:F_{r_x,s_x}$ und wegen $x \in [r_x,s_x]$ kann ich
$F(x):=F_{r_x,s_x}(x)$
definieren. Ich glaube, Du denkst hier ein wenig "verquert", vermutlich,
weil Du schon glaubst, dass wir $F\,$ kennen. Aber das kennen wir ja
nicht, wir kennen aber für jedes $x \in I$ die Funktionen
$F_{r_x,s_x}\,.$
Ich schreibe jetzt mal $\red{\textbf{?}}$ für eine gesuchte Stammfunktion von $f\,.$
Dann muss
$\red{\textbf{?}} \colon I \to \IR$
"passend" definiert werden. Wir brauchen also eine Definition von
$\red{\textbf{?}}(x)$ für jedes $x \in I$ mit zudem natürlich $\red{\textbf{?}}(x) \in \IR\,.$
Jetzt definiert man halt erstmal
$\red{\textbf{?}}(x):=F_{r_x,s_x}(x)$ für jedes $x \in I\,.$
Dann hat man schonmal
$\red{\textbf{?}}(x)$ für jedes $x \in I$ und auch $\red{\textbf{?}}(x) \in \IR\,.$
Man muss aber dann noch erklären, warum $\red{\textbf{?}}$ auch eine Stammfunktion
von $f\,$ sein wird.
> und wenn man so machen würde wie er, dass mans trotzdem
> zeigen will? weil es scheint eh recht sinnlos zu sein, wenn
> ich die neue abbildung, dann erst wieder einschränke, ist
> das sozusagen auch wie ers macht "umsonst"?
Es ist nicht umsonst, aber es hat eigentlich nichts mit der Wohldefiniertheit
zu tun (es sei denn, dass man $F\,$ (meine Funktion $\red{\textbf{?}}$) halt unabhängig
von dem entsprechenden kompakten Intervall, dass den entsprechend zu
definierenden Funktionswert enthält, definieren will - bzw. Euer Dozent
will das vermutlich auch unterstreichen).
Du brauchst das aber erst an der Stelle, wo es darum geht, zu untersuchen,
"wie groß" die Menge der Nichtdifferenzierbarkeitspunkte von dem neu
definierten $F\,$ sein kann!
> aber sehe ich dies dann schon richtig, dass ich mein "neues" Intervall
> bzw. meine neue Funktion auf dem Intervall [r',s'] wieder
> auf [mm]F_{r,s}[/mm] einschränke?
Da geht es doch nur darum, dass gilt:
Ist $x [mm] \in [/mm] [r,s] [mm] \cap [r',s']\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $F_{r,s}(x)=F_{r',s'}(x)\,,$
[/mm]
das wäre sowas wie "Wohldefiniertheit von der neu definierten Funktion [mm] $F\,,$
[/mm]
da [mm] $F(x)\,$ [/mm] unabhängig vom kompakten Intervall $K [mm] \subseteq [/mm] I$ mit $x [mm] \in K\,.$"
[/mm]
> > Viel wichtiger ist der Nachweis - ihr hattet ja diese
> > spezielle Definition,
> > dass Stammfunktionen [mm]F\,[/mm] von [mm]f\,[/mm] die Eigenschaft [mm]F\,'=f[/mm] nur
> > bis auf eine
> > Lebesguesche Nullmenge haben - dass [mm]F\,'=f[/mm] eben bis auf
> > eine Lebesguesche
> > Nullmenge gilt.
> >
> > Und sofern ich das korrekt sehe: Dafür benutzt man eben,
> > dass [mm]\IQ \cap I[/mm] dicht
> > in [mm]I\,[/mm] liegt und dann braucht man natürlich auch diese
> > Unabhängigkeit der
> > Wahl der "inneren kompakten Intervalle".
> > (Beachte, dass [mm]\IQ[/mm] als abzählbare Menge eine Nullmenge
> > ist und damit ist
> > auch [mm]I \cap \IQ[/mm] Nullmenge. Die Menge der
> > Nichtdifferenzierbarkeitspunkte von
> > [mm]F\,[/mm] kann daher auch nur abzählbar sein, ist folglich eine
> > Nullmenge. Und
> > außerhalb dieser gilt überall ansonsten auf [mm]I\,[/mm] eben
> > [mm]F\,'=f\,.[/mm])
>
>
> der schritt, wurde eigentlich gar nicht wirklich
> durchgenommen im Beweis wenn ich das Richtig sehe, wurde
> anscheinend als klar angesehen.
Naja, wie gesagt: Hier steckt doch eigentlich das drin, was ihr in der
"Unabhängigkeit von der Wahl der kompakten Intervalle" stehen habt.
> Zwecks lokaler Eigenschaft: Davon spreche ich ja hier, weil
> ich die Funktion ja "nur" in dem Kontext auf einem
> speziellen Intervall betrachtet habe, es aber für ein bel.
> Intervall gilt (wie oben gesehn), und somit dann auf dem
> ganzen Intervall gilt(vgl. Stetigkeit, dort spricht man ja
> auch von einer lokalen Eigenschaft)
Das verstehe ich nicht. Dass $f [mm] \colon [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] - egal, wie das Intervall [mm] $I\,$ [/mm] nun
geartet sei - als Regelfunktion eine Stammfunktion hat, das sollte ja gerade
bewiesen werden.
Dass der Beweis benutzt, dass man jedenfalls "lokal eine Stammfunktion"
hat, ist eine andere Sache. Und ich glaube auch nicht, dass der Beweis
funktionieren würde, wenn man nicht benutzt, dass [mm] $I\,$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) separabel ist.
Und ich glaube, dass gerade dieser Fakt in dem Beweis so, wie Du ihn
hier vorgestellt hast - also wie Euer Dozent ihn wohl geführt hat - entsprechend
gewürdigt wird. (Es könnte höchstens sein, dass man das doch nicht braucht
und ich aber glaube, dass man es braucht. Vielleicht fragst Du aber mal
bei Deinem Dozenten nach, der sollte das eigentlich beantworten können...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mi 17.09.2014 | | Autor: | nero08 |
Jetzt ist mir soweit alles klar :)
Ich danke dir vielmals!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei I [mm]\subset \IR.[/mm] Ich habe folgende Treppenfunktion H:
> I [mm]\to \IR[/mm]
>
> x [mm]\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=a \\ \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} - x_{i-1}) + c_j*(x- x_{j-1}), & \mbox{für } x \in (x_{j-1}, x_j] \end{cases}[/mm]
auch mit Freds Ergänzungen:
Warum heißt das Ding eigentlich "Treppenfunktion"? Sofern ich das richtig
sehe, wird da doch folgendes gemacht:
Aus dem Intervall [mm] $I=[a,b]\,$ [/mm] mit $a < [mm] b\,$ [/mm] werden $n+1$ Punkte "entnommen"
und der Größe nach sortiert - wobei [mm] $x_0=a$ [/mm] und [mm] $x_n=b\,.$
[/mm]
Und wenn man sich jetzt den Graphen der obigen Funktion im [mm] $\IR^2$ [/mm] anguckt:
Der besteht aus verschiedenen Geradenstücken, wobei der linke Endpunkt
nicht zu einem Geradenstück gehört, der rechte aber. Diese Geradenstücke
können niemals echt parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] sein. Du kannst sogar für
jedes Stück die Geradengleichung ablesen (insbesondere die Steigung,
und, wenn man das Geradenstück verlängert, den entsprechenden [mm] $y\,$-Achsenabschnitt).
[/mm]
Und jetzt mal rein optisch: Die Funktion ist gerade so geschaffen, dass
diese "Geradenstücke" 'an den Ecken zusammenpassen', und zwar in
dem Sinne, dass der Graph der Funktion einen Polygonzug ergibt.
Was das aber mit TreppenfunktionenEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu tun haben soll, sehe
ich nicht...
P.S. Die Steigung des Geradenstücks mit $x \in (x_{j-1},x_j]$ ist offenbar $c_j\,.$
Und nur, damit Du siehst, was Fred macht:
Es sei
$g_{j}:=\left.H\right|_{(x_{j-1},x_j]}$
für $j=1,...,n\,.$
Dann ist
$G_j:=\text{graph}(g_j)=\{(x|g_j(x)) \in \IR^2:\;\; x \in (x_{j-1},x_j]\}$
das von mir genannte Geradenstück des $\IR^2\,.$
Fred rechnet nach, dass für $j=2,...,n$ gilt:
Ergänzt man den (fehlenden) linken Eckpunkt des Geradenstücks $G_j,$
so stimmt dieser mit dem (vorhandenen) rechten Eckpunkt von $G_{j-1}$ überein.
(Du hattest selbst schon begründet oder begründen wollen, dass das
erste Geradenstück, wenn man dessen linken Endpunkt "ergänzt", im
Punkt $(a|0)\,$ "losgeht". Das kann man jedenfalls mit Freds
"rechtsseitiger Limesgleichung" auch nachrechnen...)
P.S. Einen Punkt $P \in \IR^2$ habe ich als $P=(p_1|p_2)$ mit $p_{1,2} \in \IR$ notiert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Di 16.09.2014 | | Autor: | nero08 |
danke für die sehr ausführliche antwort!
bei meinen beitrag, welchen ich vor einigen tagen hier geschrieben habe, war auch ne skizze dabei, hier war H allerdings falsch beschriftet, dies führte auch zur verwirrung. rein optisch ist so natürlich gut zu erkennen, dass es sich um einen durchgezeichneten polygonzug handelt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei I [mm]\subset \IR.[/mm] Ich habe folgende Treppenfunktion H:
> I [mm]\to \IR[/mm]
>
> x [mm]\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=a \\ \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} - x_{i-1}) + c_j*(x- x_{j-1}), & \mbox{für } x \in (x_{j-1}, x_j] \end{cases}[/mm]
>
> Nun wissen wir ja, dass die Funktion in [mm](x_{j-1}, x_j][/mm] für
> alle [mm]1\le[/mm] j [mm]\le[/mm] m stetig ist, dies ergibt sich ja aus der
> zusammensetzung von stetigen funktionen.
> Einzig [mm]x_{j-1}[/mm] bereitet Problemen. Dies wird allerdings
> immer durch die vorhergehenden Intervalle abgedeckt. [mm]x_0[/mm]
> ist durch den fall x=a abgedeckt.
>
> Formal könnte wir dies so betrachten:
>
>
>
> [mm]\limes_{x \rightarrow x_{i-1}-}[/mm] F(x) =
> [mm]\summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]F(x_{i-1})[/mm]
heißt die Funktion jetzt eigentlich [mm] $H\,$ [/mm] oder [mm] $F\,$? [/mm] Oben sollte jedenfalls
sicher [mm] $H=F\,$ [/mm] sein. (Auch, wenn die Überlegung nicht ganz korrekt war...).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Di 16.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei I [mm]\subset \IR.[/mm] Ich habe folgende Treppenfunktion H:
> I [mm]\to \IR[/mm]
>
> x [mm]\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=a \\ \summe_{i=1}^{j-1}c_i*(x_{i} - x_{i-1}) + c_j*(x- x_{j-1}), & \mbox{für } x \in (x_{j-1}, x_j] \end{cases}[/mm]
hast Du Dir schonmal überlegt, wie Du den Graphen der Funktion ganz
schnell zeichnen kannst (aus dieser Überlegung folgt eigentlich auch
direkt die Stetigkeit):
[mm] $\bullet$ [/mm] starte im Punkt $(a|0)$
[mm] $\bullet$ [/mm] von [mm] $x=a\,$ [/mm] bis [mm] $x=x_1$ [/mm] zeichnest Du ein Geradenstück mit Steigung [mm] $c_1$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] vom Endpunkt des letzten Geradenstücks aus zeichnest Du von
[mm] $x=x_1$ [/mm] bis [mm] $x=x_2$ [/mm] ein Geradenstück mit Steigung [mm] $c_2$
[/mm]
etc.
Wichtig ist halt, dass man sich überzeugt, dass der "ergänzte" linke
Endpunkt der Geraden gepasst hat. Wenn man das nachgerechnet hat
(Stetigkeit), ist klar, dass obige Zeichnung genau so von statten geht.
Andernfalls sollte man vielleicht vom rechten Endpunkt der Geradenstücke
das Ganze nach links hin zeichnen und gucken, ob das zusammenpasst.
Dann wäre das ein *optischer Hinweis* für die Stetigkeit auch an den
"Ecken"!
Gruß,
Marcel
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