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Hallo Forum
auch wenn ich mir bei der Frage fast sicher bin die Antwort zu wissen will ich lieber noch einmal sicher gehen und zwar:
Ist z.B. f:[0,1] [mm] \cup [/mm] [3,4] [mm] \cup [/mm] [6] [mm] \to\IR [/mm] mit f(x) = [mm] x^2 [/mm] stetig?
Ich würde sagen ja.
Gruß
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Moin Mathestein,
> Hallo Forum
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> auch wenn ich mir bei der Frage fast sicher bin die Antwort
> zu wissen will ich lieber noch einmal sicher gehen und
> zwar:
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> Ist z.B. f:[0,1] [mm]\cup[/mm] [3,4] [mm]\cup[/mm] [mm] \{6\}[/mm] [mm]\to\IR[/mm] mit f(x) = [mm]x^2[/mm]
> stetig?
>
> Ich würde sagen ja.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Es ist sogar [mm] f:\IR\to\IR, x\mapsto x^2 [/mm] stetig. Deine Definitionsmenge ist eine Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
>
> Gruß
LG
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Jo das war mir wohl klar, mir ging es jetzt nur um den "lückenhaft" definierten Definitionsbereich der Funktion 
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> Jo das war mir wohl klar, mir ging es jetzt nur um den
> "lückenhaft" definierten Definitionsbereich der Funktion
Da ändert sich nichts an der Stetigkeit der Funktion.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Mi 23.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Jo das war mir wohl klar, mir ging es jetzt nur um den
> "lückenhaft" definierten Definitionsbereich der Funktion
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Sei D:= [0,1] $ [mm] \cup [/mm] $ [3,4] $ [mm] \cup [/mm] $ $ [mm] \{6\} [/mm] $ (der Def.-bereich von f) . Wir nehmen uns mal den Punkt [mm] x_0=6 \in [/mm] D her und zeigen mit dem Folgenkriterium , dass f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist.
Dazu sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in D mit [mm] x_n \to [/mm] 6. Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] x_n=6 [/mm] für alle n>m. Somit ist
[mm] $f(x_n)=x_n^2 [/mm] = 36 = f(6)$ für n>m.
Fazit: [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(6)$ für n [mm] \to [/mm] 6
Ich hab Dir das deswegen so ausführlich vorgemacht, weil man hier mit der Char.
(*) f stetig in [mm] x_0 \gdw \limes_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
[/mm]
nicht hinkommt, denn (*) ist nur richtig, wenn [mm] x_0 [/mm] auch noch Häufungspunkt von D ist.
6 ist aber ein isolierter Punkt von D.
FRED
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