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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Di 14.06.2005 | | Autor: | Adele |
Huhu zusammen !
Ich sitze gerade an meinem Analysis I Übungsblatt und komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Stetigkeit bzw. Grenzwerte sind irgendwie nicht so mein Ding.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir dabei jemand behilflich sein könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe lautet:
1. Lässt sich die Funktion f : [mm] \IR [/mm] \ {1} [mm] \to \IR [/mm] mit
f(x) := [mm] \bruch{| x - 1 | (x - 1)}{x² - 2x + 1}
[/mm]
an der Stelle x = 1 stetig ergänzen?
2. Berechnen sie die Grenzwerte (a [mm] \not= [/mm] 0):
a. [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(ax)}{x}
[/mm]
b. [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{n} - a^{n}}{x - a}
[/mm]
Es wäre echt super, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Liebe Grüße,
Adele
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Hallo ...
> 1. Lässt sich die Funktion f : [mm]\IR[/mm] \ {1} [mm]\to \IR[/mm] mit
> f(x) := [mm]\bruch{| x - 1 | (x - 1)}{x² - 2x + 1}[/mm] an der Stelle x = 1 stetig ergänzen?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Tipp: Nenner faktorisieren, "evtl." kürzen und anschließend Fallunterscheidung durchführen $x-1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bzw. $x-1 \ < \ 0$ ; nun kann man nochmals kürzen und ... fertig!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Di 14.06.2005 | | Autor: | Adele |
Danke für die schnellen Tips, werde gleich mal versuchen wie weit ich damit nun komme.
Liebe Grüße,
Adele
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 14.06.2005 | | Autor: | Adele |
Oki, ich hab das jetzt mal versucht und bekomme beim ersten Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(ax)}{x} [/mm] für den Fall a > 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] a * cos(ax) [mm] \to [/mm] 1
und für den Fall a < 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] a * cos(ax) [mm] \to [/mm] -1
raus, stimmt das so?
Beim zweiten Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{n}-a^{n}}{x-a} [/mm] komm ich allerdings immer noch nicht weiter. Bleibe da bei [mm] \limes_{x\rightarrow a} n*x^{n-1} [/mm] stehen, kommt mir aber komisch vor.
Und bei der Stetigkeit:
f(x) = [mm] \bruch{|x-1| (x-1)}{x²-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{|x-1|(x-1)}{(x-1)²} [/mm] = [mm] \bruch{|x-1|}{(x-1)}
[/mm]
1. Fall: x-1 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \bruch{x-1}{x-1} [/mm] = 1
2.Fall: x-1 < 0
[mm] \bruch{-x+1}{x-1} [/mm] = -1
Und was fang ich dann damit an?
Liebe Grüße,
Adele
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 14.06.2005 | | Autor: | Adele |
Dankeschön für die schnelle Antwort.
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Grenzwertsatz von de l'Hospital![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Die Fallunterscheidung für a ist nicht erforderlich!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ist aber okay! Nun einfach Grenzwertbetrachtung, sprich: für $x \ = \ a$ einsetzen!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
