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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe 1 | Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen an. Sind die Funktionen darüberhinaus stetig fortsetzbar? Wie? Wie sieht das Grenzverhalten an allen Polen und im Unendlichen aus?
a) f(x) = arcosh(x) |
| Aufgabe 2 | | b) f(x) = [mm] \wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x) [/mm] |
| Aufgabe 3 | | c) f(x) = [mm] ln(x^2 [/mm] + 3x - 4) |
Hi zusammen,
zu a)
max Def.: [mm] \IR
[/mm]
arcosh(x) ist stetig nach dem Graphen. Was ist mit "Wie" gefragt?
Wie prüfe ich das Grenzverhalten an allen Polen und im Unendlichen?
zu b)
max. Def.: alles unter der Wurzel muss [mm] \ge [/mm] 0 sein. Nur wie ich das bei [mm] tan^2 [/mm] berechen weiß ich nicht.
Den Graphen bekomme ich bei der Funktion auch nicht und weiß daher nicht ob die Funktion stetig ist und natürlich auch nicht wie.
Beim Grenzverhalten bleibt meine Frage von oben.
zu c)
max. Def.: [mm] x^2 [/mm] + 3x - 4 [mm] \ge [/mm] 1 x>1 oder x<-4
Nach dem Graphen ist die Funktion nicht stetig.
Wie ich das mathematisch beweise weiß ich leider auch nicht.
Ich hoffe mir kann hier jemand auch die Sprünge helfen.
Danke schonmal im voraus
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Hallo,
offensichtlich hast du schon Probleme mit der Aufgabenstellung. Daher wollen wir noch einmal genau klären, was zu tun ist.
Außerdem will ich hier nur Teilaufgabe a) besprechen, denn ich denke, dass du dann eventll. dir die anderen Aufgaben noch einmal anschauen willst.
> Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der folgenden
> Funktionen an. Sind die Funktionen darüberhinaus stetig
> fortsetzbar? Wie? Wie sieht das Grenzverhalten an allen
> Polen und im Unendlichen aus?
ToDo:
1.)
Definitionsbereich angeben
2.)
Falls Definitionslücken:
Sei [mm] x_0 [/mm] eine solche Lücke. Ist dann [mm] \lim_{x\to x_0}f(x)<\infty? [/mm] Wenn ja, dann ist dort die Funktion fortsetzbar. Gib diese Fortsetzung an.
Bsp.: [mm] f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} [/mm] ist an x=1 stetig fortsetzbar, denn: [mm] f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1
[/mm]
Wir haben damit die folgende Fortsetzung:
[mm] f(x)=\begin{cases} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}, & \mbox{für } x\not=1 \\ 2, & \mbox{für } x=1 \end{cases}
[/mm]
3.)
Gibt es Polstellen? Wie verhält sich die Funktion an dieser Stelle (diese Frage ist mit 2.) verwandt).
4.)
Verhalten der Funktion im Unendlichen. Betrachte/berechne dazu [mm] \lim_{x\to\pm\infty}f(x)
[/mm]
>
> a) f(x) = arcosh(x)
> b) f(x) = [mm]\wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x)[/mm]
> c) f(x) = [mm]ln(x^2[/mm] +
> 3x - 4)
> Hi zusammen,
>
> zu a)
> max Def.: [mm]\IR[/mm]
> arcosh(x) ist stetig nach dem Graphen. Was ist mit "Wie"
> gefragt?
Bist du dir im klaren, wie man $f(x)=arccosh(x)$ darstellen kann? Es ist nämlich [mm] f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})
[/mm]
1.)
Der Definitionsbereich ist keineswegs [mm] \IR. [/mm] Betrachte noch einmal insbesondere den Wurzelausdruck.
2.)
Haben wir denn überhaupt eine Definitionslücke?
3.)
Nö, offensichtlich keine Polstellen.
4.)
Nunja, Verhalten im unendlichen sollte bei dieser Funktion klar sein.
>
> Wie prüfe ich das Grenzverhalten an allen Polen und im
> Unendlichen?
>
> zu b)
> max. Def.: alles unter der Wurzel muss [mm]\ge[/mm] 0 sein. Nur wie
> ich das bei [mm]tan^2[/mm] berechen weiß ich nicht.
> Den Graphen bekomme ich bei der Funktion auch nicht und
> weiß daher nicht ob die Funktion stetig ist und natürlich
> auch nicht wie.
>
> Beim Grenzverhalten bleibt meine Frage von oben.
>
> zu c)
> max. Def.: [mm]x^2[/mm] + 3x - 4 [mm]\ge[/mm] 1 x>1 oder x<-4
> Nach dem Graphen ist die Funktion nicht stetig.
> Wie ich das mathematisch beweise weiß ich leider auch
> nicht.
>
> Ich hoffe mir kann hier jemand auch die Sprünge helfen.
> Danke schonmal im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
zu a)
1) Def.berich: ln ist grundsätzlich für [mm] \IR+ [/mm] definiert. Also hier ab 1.
Also ist der Definitionsbereich sind [mm] \IR+
[/mm]
2) Eine Definitionslücke besteht wenn die Nennerfunktion eine Nullstelle hat mit der die Funktion nicht definiert ist. Hier gibt es keine Nennerfunktion, also gibt es auch keine Lücke.
3) Polstelle: Polstellen sind diejenigen an denen der Nenner = 0 wird.
Es gibt keinen Nenner, also keine Polstellen.
4) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Stimmt das was ich da jetzt gemacht habe ?
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Hallo bindl,
> zu a)
> 1) Def.berich: ln ist grundsätzlich für [mm]\IR+[/mm] definiert.
> Also hier ab 1.
> Also ist der Definitionsbereich sind [mm]\IR+[/mm]
Nein, für [mm]0
Der Definitionsbereich ist [mm]\IR^{\ge 1}=\{x\in\IR:x\ge 1\}[/mm]
>
> 2) Eine Definitionslücke besteht wenn die Nennerfunktion
> eine Nullstelle hat mit der die Funktion nicht definiert
> ist. Hier gibt es keine Nennerfunktion, also gibt es auch
> keine Lücke.
Jo
>
> 3) Polstelle: Polstellen sind diejenigen an denen der
> Nenner = 0 wird.
> Es gibt keinen Nenner, also keine Polstellen.
Jo
>
> 4) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Stimmt das was ich da jetzt gemacht habe ?
Teilweise 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
dachte [mm] \IR+ [/mm] beginnt bei 1. Da lag ich wohl falsch. Aber danke nochmal für die klasse Hilfe und Erklärungen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hier noch meine Lösungen für b) & c).
Ich hoffe sie stimmen alle.
b) f(x) = [mm] \wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x)
[/mm]
1. Def.bereich: [mm] \IR, [/mm] da selbst für Negativwerte durch [mm] tan^2 [/mm] alles unter der Wurzel [mm] \ge [/mm] 0 ist.
2. Def.lücke: es gibt keine, da keine Nennerfunktion existiert.
Ist die Funktion dann stetig fortsetzbar ? Ich denke mal ja, da sie ja keine Lücke hat.
3. Polstelle: Es gibt keine Nennerfunktion, also nein.
4. Grenzwert im Unendlichen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)
[mm] \wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x) [/mm] = (tan(x) + 1)cos(x) = sin(x) + cos(x) = 1
c) f(x) = [mm] ln(x^2 [/mm] + 3x - 4)
1. Def.bereich: x > 1 und x < -4
Wie schreibe ich das korrekt ?
2. Def.lücke: es gibt keine, da es keine Nennerfunktion gibt.
3. Polstelle: es gibt keine, da es keine Nennerfunktion gibt.
4: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Di 10.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hier noch meine Lösungen für b) & c).
> Ich hoffe sie stimmen alle.
>
> b) f(x) = [mm]\wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x)[/mm]
> 1. Def.bereich: [mm]\IR,[/mm]
Das ist nicht richtig !
Schau Dir hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens
mal an, wie und wo der Tangens definiert ist.
> da selbst für Negativwerte durch [mm]tan^2[/mm] alles unter der
> Wurzel [mm]\ge[/mm] 0 ist.
Für alles weitere überlege Dir, dass gilt:
[mm] f(x)=\bruch{cos(x)}{|cos(x)|}
[/mm]
f nimmt also nur welche Werte an ?
>
> 2. Def.lücke: es gibt keine, da keine Nennerfunktion
> existiert.
> Ist die Funktion dann stetig fortsetzbar ? Ich denke mal
> ja, da sie ja keine Lücke hat.
>
> 3. Polstelle: Es gibt keine Nennerfunktion, also nein.
>
> 4. Grenzwert im Unendlichen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x)
> [mm]\wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x)[/mm] = (tan(x) + 1)cos(x) = sin(x)
> + cos(x) = 1
>
> c) f(x) = [mm]ln(x^2[/mm] + 3x - 4)
> 1. Def.bereich: x > 1 und x < -4
> Wie schreibe ich das korrekt ?
Def. -Bereich = ( [mm] \-infty,-4) \cup [/mm] (1, [mm] \infty)
[/mm]
>
> 2. Def.lücke: es gibt keine, da es keine Nennerfunktion
> gibt.
Das ist doch keine Begründung !
>
> 3. Polstelle: es gibt keine, da es keine Nennerfunktion
> gibt.
S.o.
>
> 4: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = [mm]\infty[/mm]
Der Rest stimmt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ich kann bei b) die Funktion folgendermaßen umschreiben?
[mm] \wurzel{tan^2(x)+1}cos(x) [/mm] = [mm] \bruch{cos(x)}{|cos(x)|}
[/mm]
Dann nimmt f nur positive Werte an.
Was bedeutet das für meine Definitionslücke und die Polstelle ?
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> Ich kann bei b) die Funktion folgendermaßen umschreiben?
> [mm]\wurzel{tan^2(x)+1}cos(x)[/mm] = [mm]\bruch{cos(x)}{|cos(x)|}[/mm]
Na klar kannst du das. Es ist doch
[mm] \tan^2(x)=\sin^2x/\cos^2x
[/mm]
Damit folgt doch schnell
[mm] \sqrt{\sin^2x/\cos^2x+1}\cos{x}=\sqrt{\sin^2x/\cos^2x+\cos^2x/\cos^2x}\cos{x}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2x}}\cos{x}=\frac{\cos{x}}{|\cos{}x|}
[/mm]
>
> Dann nimmt f nur positive Werte an.
Das ist doch Unsinn.
Der Kosinus wird doch auch negativ.
> Was bedeutet das für meine Definitionslücke und die
> Polstelle ?
An welchen Stellen ist denn der Ausdruck [mm] \frac{\cos{x}}{|\cos{}x|} [/mm] nicht definiert? Anders gefragt: Wo sind die Nullstellen der Kosinusfunktion.
Lass dir die Funktion doch ruhig einmal zeichnen. Dann bekommst du auch ein Bild, wie das ganze überhaupt aussieht und du kannst dir vielleicht mehr darunter vorstellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 10.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo noch einmal,
> 4. Grenzwert im Unendlichen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x)
> [mm]\wurzel{tan^2(x) + 1}cos(x)[/mm] = (tan(x) + 1)cos(x) = sin(x)
> + cos(x) = 1
Das ist ja obergruselig!
Wie kommst du denn darauf?
Mitnichten gilt [mm] \sqrt{\tan^2(x) + 1}=\tan(x)+1 [/mm] !!!
Außerdem ist doch [mm] \sin(x)+\cos(x)\not=1 [/mm] !!! Es gilt lediglich der trigonometrische Phytagoras: [mm] \sin^2x+\cos^2x=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ja, da habe ich mir wohl etwas zusammen gebastelt.
Kann mir dann mal einer erklären wie ich auf den Grenzwert bei der Funktion komme ?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{cos(x)}{|cos(x)|} [/mm] ?
Der Grenzwert von cos(x) schwingt doch zwischen 1 und -1 oder nicht?
Ist der Grenzwert zwischen 1 & -1 da entweder da steht,
[mm] \bruch{1}{|1|} [/mm] oder [mm] \bruch{-1}{|-1|} [/mm] ?
Wenn ja wie schreibe ich sowas korrekt ?
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Grenzwert ist nichtexistent. (Divergenz).
Es gibt lediglich limsup und liminf.
Du könntest jedoch sagen, dass das ganze Ding sowieso alternierend ist. Du hast ja schon richtig erkannt, dass die FUnktion nur Werte von 1 oder -1 annimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 10.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die zahlreiche Hilfe
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