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Hallo,
stimmt meine Lösung?
In welchen Punkten x [mm] \in \IR [/mm] ist die Funktion f(x) = [mm] \wurzel{|x|} sin(\frac{1}{x}) [/mm] für x [mm] \in \IR \backslash \{0\} [/mm] und f(x) = 0 stetig?
Mein Ansatz:
Ich denke mal, dass die Funktion an jeder Stelle stetig ist. Explizit gezeigt habe ich den Fall für x = [mm] x_0 [/mm] = 0.
Sei [mm] x_0 [/mm] = 0, [mm] x_n [/mm] = [mm] \frac{2}{(4n+1)pi}
[/mm]
Hinweis: [mm] x_n [/mm] habe ich so gewählt, dass [mm] sin(\frac{1}{x_n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] immer 1 ergibt... und dass [mm] x_n [/mm] für n [mm] \mapsto \infty [/mm] gegen 0 geht.
[mm] x_n \to x_0 [/mm] = 0
Nun:
[mm] f(x_n) [/mm] = [mm] \wurzel{|x_n|} sin(\frac{1}{x_n})
[/mm]
= [mm] \wurzel{|\frac{2}{(4n+1)pi}|} sin(\frac{1}{\frac{2}{(4n+1)pi}})
[/mm]
Der Wurzelausdruck geht ja gegen 0.
Der Sinusausdruck ist für jedes n [mm] \in \IN [/mm] = 1.
Daher geht [mm] f(x_n) [/mm] gegen 0.
Also ist f(x) auch für x = 0 stetig.
Stimmts?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
es stimmt, dass die Funktion
$f(x)=\begin{cases} \sqrt{|x|}*sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0} \end{cases}$
stetig ist in jeder Stelle $x_0 \in \IR$. Das ist klar für jedes $x_0 \not=0$ (Warum?).
An der Stelle $x_0=0$ muss man das gesondert betrachten. Du hast dort aber zu zeigen, dass FÜR JEDE Folge $( x_n )_{n \in \IN}$ mit $x_n \to 0$ folgt, dass $f(x_n) \to 0$.
Du hast das aber nur für eine spezielle Nullfolge gezeigt, wenngleich sie eine Eigenschaft hat, mit der man nun auch auf jede Nullfolge schließen könnte. Aber dieser Schluß müßte bei Dir noch gemacht werden.
Viel einfacher ist es aber, wenn Du Dir überlegst, dass für jedes $x \in \IR \backslash \{0\}$ gilt:
$\vmat{\sqrt{|x|}*sin\left(\frac{1}{x}\right)} \le \sqrt{|x|}$
Mit dieser Abschätzung folgt dann wegen der Stetigkeit von $x \mapsto \sqrt{x}$ auf $\IR_{\ge 0}$ (insbesondere in $x=0$) sofort die Stetigkeit Deiner Funktion $f$ an der Stelle $x_0=0$.
Vielleicht mal, warum Dein Schluß so noch nicht endgültig sein kann:
Betrachte mal
$f(x)=\begin{cases} sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0} \end{cases}$
Diese Funktion ist stetig in allen $x_0 \not=0$, aber in $x_0=0$ ist sie unstetig, wenngleich man eine Folge von $x_n \to 0$ so angeben kann, dass $f(x_n) \to 0$. Das Problem ist halt, dass man auch eine Folge von $y_n \to 0$ so angeben kann, so dass $f(y_n) \not\to 0$.
Gruß,
Marcel
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Danke.
Aber wieso folgt aus der Abschätzung die Stetigkeit? Ich finde dazu keinen passenden Satz, der das bestätigen würde.
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Hallo,
das geht über die ganz normale [mm] $\epsilon/\delta$-Definition
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] \delta [/mm] \ > \ 0 \ [mm] \forall [/mm] \ 0 \ < \ [mm] |x-x_0| [/mm] \ < \ [mm] \delta [/mm] \ : \ [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] \ < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Und dazu ist die obige Abschätzung von Marcel Gold wert 
In deinem Falle ist [mm] $x_0=0$
[/mm]
Also gebe dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] \ > 0$ vor
Dann schätze in einer Nebenrechnung den Betrag $|f(x)-f(0)|$ ab, um dein [mm] $\delta$ [/mm] zu konstruieren:
[mm] $|f(x)-\underbrace{f(0)}_{=0}|=\left|\sqrt{|x|}\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|<|\sqrt{|x|}=\sqrt{|x|}=\sqrt{\underbrace{|x-0|}_{<\delta}}$
[/mm]
Und das soll kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] sein. Wie musst du also das [mm] $\delta$ [/mm] wählen, damit das klappt?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, ich wollte es eigentlich mit Folgen machen:
Für irgendeine Folge $( [mm] x_n )_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] 0$ (wobei man hier o.E. [mm] $x_n \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] annehmen kann) folgt dann, dass
[mm] $|f(x_n)-f(0)| \le \sqrt{|x_n|}$
[/mm]
Wenn nun bekannt ist, dass $x [mm] \mapsto \sqrt{|x|}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] stetig ist (insbesondere stetig in [mm] $x_0=0$) [/mm] (wenn das nicht bekannt ist, müßte es halt bewiesen werden, das könnte ich auch schnell machen, wenn's unklar ist), so folgt dann wegen [mm] $\sqrt{0}=0$, [/mm] dass auch [mm] $\sqrt{|x_n|} \to [/mm] 0$ (weil wegen [mm] $x_n \to [/mm] 0$ auch [mm] $|x_n| \to [/mm] 0$; übrigens ist hier mit der "obigen, nicht einschränkenden Annahme" ja sogar [mm] $|x_n| [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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