Stetigkeit/Lipschitz-Stetigkei < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 16.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
warum gibt es eigentlich zwei Stetigkeitsbegriffe, einmal die Stetigkeit und dann noch die Lipschitz-Stetigkeit.
Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt die Stetigkeit, deshalb muss Lipschitz-Stetigkeit ja ein strengeres Stetigkeits-Kriterium sein. Aber was ist der Unterschied von der Lipschitz-Stetigkeit und der Stetigkeit?
Viele Grüße
Elefanti
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Hallo,
> Hallo ihr,
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> warum gibt es eigentlich zwei Stetigkeitsbegriffe, einmal
> die Stetigkeit und dann noch die Lipschitz-Stetigkeit.
> Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt die Stetigkeit, deshalb
> muss Lipschitz-Stetigkeit ja ein strengeres
> Stetigkeits-Kriterium sein. Aber was ist der Unterschied
> von der Lipschitz-Stetigkeit und der Stetigkeit?
>
>
> Viele Grüße
> Elefanti
>
warum unterscheidet man stetigkeit und differenzierbarkeit? klar, weil die differenzierbarkeit eine 'stärkere' eigenschaft ist, was die glattheit (regularität) von funktionen angeht. genauso ist es mit der L(ipschitz)-stetigkeit. du sagst es ja selbst: die L-stetigkeit impliziert die stetigkeit, ist also stärker. umgekehrt gibt es stetige funktionen, die nicht L-stetig sind: zB. die funktion $f(x)=1/x$ auf dem offenen intervall $(0,1)$. (warum?)
die L-stetigkeit ist also so etwas wie eine zwischenstufe zwischen stetigkeit und differenzierbarkeit (davon gibt es noch mehr, aber damit will ich dich jetzt nicht verwirren!  ).
gruss
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Di 16.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Lipschitzstetigkeit beschreibt "bravere" Kurven bzw. Funktionen, als die [mm] \varepsilon -\delta [/mm] Stetigkeit.
Was man sich so auf der Schule vorstellt und die "normalen" Funktionen sind fast immer nicht nur stetig, sondern sogar Lipschitzstetig. Während das andere Stetig fast beliebig unschön sein kann.sieh dir etwa im Netz die "Kochsche Kurve" an, die unendlich viele Ecken hat, also etwa nicht mehr- auch nicht ein kleines Stück weit- mit nem stift gezeichnet werden kann.
normal stetig sind also sehr viel mehr und sehr exotische Funktionen, während Lipschitzstetig mehr von den Funktionen verlangt, dafür sind dann Beweise leichter, weil ja die Vors. stärker sind.
das einfachste Bsp für ne stetige, aber nicht Lipschitzstetig in einem Punkt ist [mm] \wurzel{x} [/mm] bei x=0 senkrechte Tangenten sagen immer : nicht Lipschitz stetig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 16.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank für eure Antworten!
Ich wüsse jetzt keinen Trick um nicht Lipschitz-Stetigkeit schneller als durch Einsetzen der Definition zu zeigen:
Also f(x) = 1/x auf (0,1):
|f(x)-f(y)|=|1/x - 1/y|>|x+y|>=L|x-y|
Ich habe gerade noch gelesen, dass an der Lipschitz-Stetigkeit im Gegensatz zur Stetigkeit gut sein soll, dass die Lipschitz-Stetigkeit ohne Grenzprozess auskommt. Was ist mit "Grenzprozess" bei der Stetigkeit gemeint?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Di 16.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
gemeint ist zu JEDEM (noch so kleinen) [mm] \varepsilon....
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 17.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank für eure Antworten!
Liebe Grüße
Elefanti
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