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Hallo,
ich gucke mir gerade Stetigkeit von Funktionen an.
Als Beispiel möchte ich gucken, ob [mm] f(x)=x^2 [/mm] auf ganz R stetig ist. Dafür wende ich das Epsilon-Delta-Kriterium an.
Sei [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] |x-x_{0}|<\varepsilon
[/mm]
Dann bekomme ich ja: [mm] |x^{2}-x_{0}^{2}|=|x^{2}-2xx_{0}+x_{0}^{2}-2x_{0}^{2}+2xx_{0}|=|(x-x_{0})^{2}+2xx_{0}-2x_{0}^{2}|\le|x-x_{0}|^{2}+2|x_{0}||x-x_{0}|
[/mm]
So. Bis dahin verstehe ich das alles. Der Sinn der [mm] \varepsilon-\delta-Umgebung [/mm] ist es ja, ein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] zu finden.
Ich weiß ja jetzt, dass
[mm] |x^{2}-x_{0}^{2}|\le|x-x_{0}|^{2}+2|x_{0}||x-x_{0}|<\delta^{2}+2|x_{0}|\delta=\varepsilon [/mm] ist.
Jetzt würde ich dann mit dieser Gleichung mein [mm] \delta [/mm] berechnen und kriege ja wegen der quadratischen Gleichung zwei [mm] \delta [/mm] raus: [mm] \delta_{1,2}=x_{0}\pm\wurzel{x_{0}^{2}+\varepsilon}
[/mm]
Ist das jetzt das Ergebnis und kann ich es irgendwie überprüfen?
Jetzt habe ich noch eine andere Version zu einer anderen Ausfabe gesehen:
Da wurde ab hier [mm] \delta^{2}+2|x_{0}|\delta=\varepsilon [/mm] anders weiter gerechnet. Die haben [mm] \delta^{2}=\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] und [mm] 2|x_{0}|\delta=\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] gesetzt und zwei andere [mm] \delta [/mm] rausbekommen. Hier wären das: [mm] \delta=\wurzel{\bruch{\varepsilon}{2}} [/mm] und [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{2|x_{0}|}.
[/mm]
Dann Setze [mm] \delta=min\{\wurzel{\bruch{\varepsilon}{2}}, \bruch{\varepsilon}{2|x_{0}|}\}
[/mm]
Ist das die Standardversion, gibt es auch hier eine Art, sein Ergebnis zu überprüfen und ich verstehe die Aussage der Lösungsmenge nicht.
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 10.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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