Stetigkeit/Unstetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion [mm] $f\!\$ [/mm] sowie die Unstetigkeit der Funktion [mm] $g\!\$ [/mm] gezeigt werden:
$f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}$
[/mm]
$g: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}$ [/mm] |
Hallo,
eine Frage vorweg. Bei Wikipedia heißt es zum Arkustangens:
Definitionsbereich: $ [mm] -\infty [/mm] < x < [mm] \infty [/mm] $
Wertebereich: [mm] $-\tfrac{\pi}{2} [/mm] < f(x) < [mm] \tfrac{\pi}{2}$
[/mm]
Wenn ich im ETR die Taste [mm] $\tan^{-1}$ [/mm] betätige und dann z.B. 20 eingebe, erhalte ich 87.1375... und das liegt außerhalb des obigen Wertebereiches. Wie kann das sein?
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
> Es soll die Stetigkeit der Funktion [mm]f\!\[/mm] sowie die
> Unstetigkeit der Funktion [mm]g\!\[/mm] gezeigt werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> eine Frage vorweg. Bei Wikipedia heißt es zum
> Arkustangens:
>
> Definitionsbereich: [mm]-\infty < x < \infty[/mm]
> Wertebereich:
> [mm]-\tfrac{\pi}{2} < f(x) < \tfrac{\pi}{2}[/mm]
>
> Wenn ich im ETR die Taste [mm]\tan^{-1}[/mm] betätige und dann z.B.
> 20 eingebe, erhalte ich 87.1375... und das liegt außerhalb
> des obigen Wertebereiches. Wie kann das sein?
Hallo,
das ist, weil Du deinen TR auf DEG eingestellt hast und nicht auf Rad.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion $ [mm] f\!\ [/mm] $ sowie die Unstetigkeit der Funktion $ [mm] g\!\ [/mm] $ gezeigt werden:
$ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $
$ g: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo Angela,
danke für Deine Antwort. Für diese Aufgabe muss ich also den ETR auf RAD stellen?
Es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösung zur ersten Funktion korrigieren könnte.
Ich verwende das Folgenkriterium.
1. Fall x < 0
Sei [mm] $(x_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge mit [mm] $x_{n} [/mm] < 0$ für alle n.
Dann gilt [mm] $f(x_{n})=(\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}) \to [/mm] 0.$
2. Fall x = 0
Laut Definition der Funktion gilt [mm] $f(0)=0\!\$ [/mm] und somit für x=0 stetig.
3. Fall x > 0
Sei [mm] $(x_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge mit [mm] $x_{n} [/mm] > 0$ für alle n.
Dann gilt [mm] $f(x_{n})=(\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}) \to [/mm] 0.$
[mm] $f\!\$ [/mm] ist also stetig.
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Fr 28.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Stetigkeit der Funktion [mm]f\!\[/mm] sowie die
> Unstetigkeit der Funktion [mm]g\!\[/mm] gezeigt werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Angela,
>
> danke für Deine Antwort. Für diese Aufgabe muss ich also
> den ETR auf RAD stellen?
Ne, für diese Aufgabe brauchst Du keinen Taschenrechner !
>
> Es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösung zur ersten
> Funktion korrigieren könnte.
>
> Ich verwende das Folgenkriterium.
>
> 1. Fall x < 0
> Sei [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge mit [mm]x_{n} < 0[/mm] für
> alle n.
> Dann gilt [mm]f(x_{n})=(\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}) \to 0.[/mm]
1. es sollte dastehen : [mm]f(x_{n})=(\arctan x_n)(\sin \bruch{1}{x_n}) \to 0.[/mm]
2. es fehlt jede Begründung, warum der Limes = 0 ist !!!!!
>
> 2. Fall x = 0
> Laut Definition der Funktion gilt [mm]f(0)=0\!\[/mm]
Ja
> und somit für x=0 stetig.
Nein, was soll das bedeuten ? Es ist f(0)=0 , mehr nicht
>
> 3. Fall x > 0
> Sei [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge mit [mm]x_{n} > 0[/mm] für
> alle n.
> Dann gilt [mm]f(x_{n})=(\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}) \to 0.[/mm]
Siehe Fall 1.
>
> [mm]f\!\[/mm] ist also stetig.
nein , das hast Du nicht gezeigt !
Tipp: es ist $|f(x)| [mm] \le |\arctan(x)|$ [/mm] für jedes x [mm] \in \IR. [/mm] Warum ?
Wenn jetzt x [mm] \to [/mm] 0 geht, was macht dann |arctan(x)| ? Und was treibt dann f ?
Gruß FRED
>
>
> Vielen Dank für die Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion $ [mm] f\!\ [/mm] $ sowie die Unstetigkeit der Funktion $ [mm] g\!\ [/mm] $ gezeigt werden:
$ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $
$ g: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo Fred,
> Tipp: es ist [mm]|f(x)| \le |\arctan(x)|[/mm] für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
> Warum ?
weil [mm] $(\sin \bruch{1}{x})$ [/mm] einen kleineren Wertebereich als [mm] $(\arctan [/mm] x)$ besitzt und dann [mm] $(\sin \bruch{1}{x})*(\arctan [/mm] x)$ kleiner oder gleich [mm] $(\arctan [/mm] x)$ ist.
Von alleine wäre ich auf Deine Formulierung aber nie gekommen. Das ist absolute Champions League.
> Wenn jetzt x [mm]\to[/mm] 0 geht, was macht dann |arctan(x)| ?
> Und was treibt dann f ?
Wenn ich Deinen Tipp richtig deute, erübrigt sich die Fallunterscheidung für x<0 und x>0.
Es gilt $ |f(x)| [mm] \le |\arctan(x)| [/mm] $ für jedes $x [mm] \in \IR.$
[/mm]
Ist nun $ [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ eine Nullfolge, so gilt: [mm] $|f(x_{n})| \le |\arctan(x_{n})|$
[/mm]
[mm] $|\arctan(x_{n})| \to [/mm] 0$ für [mm] $x_{n} \to [/mm] 0$
Damit ist [mm] $f(x_{n})$ [/mm] eine Nullfolge.
Also: aus $ [mm] x_{n} \to [/mm] 0$ folgt $ [mm] f(x_{n}) \to [/mm] 0=f(0)$
> Gruß FRED
Vielen Dank für Dein starkes Engagement!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Es soll die Stetigkeit der Funktion [mm]f\!\[/mm] sowie die
> Unstetigkeit der Funktion [mm]g\!\[/mm] gezeigt werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Fred,
>
> > Tipp: es ist [mm]|f(x)| \le |\arctan(x)|[/mm] für jedes x [mm]\in \IR.[/mm]
> > Warum ?
>
> weil [mm](\sin \bruch{1}{x})[/mm] einen kleineren Wertebereich als
> [mm](\arctan x)[/mm] besitzt und dann [mm](\sin \bruch{1}{x})*(\arctan x)[/mm]
> kleiner oder gleich [mm](\arctan x)[/mm] ist.
Naja, naja, genauer doch, weil der Sinus beschränkt ist, dh. [mm]|\sin(z)|\le 1[/mm] für alle [mm]z\in\IR[/mm] ...
>
> Von alleine wäre ich auf Deine Formulierung aber nie
> gekommen. Das ist absolute Champions League.
Hmm, dass der Sinus durch 1 beschränkt ist, weiß man in der Regionalliga schon (teilweise) 
>
> > Wenn jetzt x [mm]\to[/mm] 0 geht, was macht dann |arctan(x)| ?
> > Und was treibt dann f ?
>
> Wenn ich Deinen Tipp richtig deute, erübrigt sich die
> Fallunterscheidung für x<0 und x>0.
>
> Es gilt [mm]|f(x)| \le |\arctan(x)|[/mm] für jedes [mm]x \in \IR.[/mm]
>
> Ist nun [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge, so gilt:
> [mm]|f(x_{n})| \le |\arctan(x_{n})|[/mm]
>
> [mm]|\arctan(x_{n})| \to 0[/mm] für [mm]x_{n} \to 0[/mm]
Jo, noch genauer [mm]0\le |f(x_n)|\le |\operatorname{arctan}(x_n)|[/mm]
>
> Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
Jo nach dem Sandwichlemma ist das wohl so
>
> Also: aus [mm]x_{n} \to 0[/mm] folgt [mm]f(x_{n}) \to 0=f(0)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> > Gruß FRED
>
> Vielen Dank für Dein starkes Engagement!
>
> Gruß
> el_grecco
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion $ [mm] f\!\ [/mm] $ sowie die Unstetigkeit der Funktion $ [mm] g\!\ [/mm] $ gezeigt werden:
$ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $
$ g: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo,
laut Aufgabenstellung soll die Funktion g unstetig sein. Problem: mit meiner Lösung habe ich gezeigt, dass die Funktion stetig ist und ich weiß nicht, wie man zeigen kann, dass sie unstetig ist.
Fall x=0
Gemäß Definition der Funktion f(0)=0
Sonst
Es gilt $ |f(x)| [mm] \le |\sin(x)| [/mm] $ für jedes $ x [mm] \in \IR, [/mm] $ da [mm] $\bruch{1}{x} [/mm] < x$
Ist nun $ [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ eine Nullfolge, so gilt: $ [mm] |f(x_{n})| \le |\sin(x_{n})| [/mm] $
$ [mm] |\sin(x_{n})| \to [/mm] 0 $ für $ [mm] x_{n} \to [/mm] 0 $
Damit ist $ [mm] f(x_{n}) [/mm] $ eine Nullfolge.
Also: aus $ [mm] x_{n} \to [/mm] 0 $ folgt $ [mm] f(x_{n}) \to [/mm] 0=f(0) $
Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Es soll die Stetigkeit der Funktion [mm]f\!\[/mm] sowie die
> Unstetigkeit der Funktion [mm]g\!\[/mm] gezeigt werden:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> laut Aufgabenstellung soll die Funktion g unstetig sein.
> Problem: mit meiner Lösung habe ich gezeigt, dass die
> Funktion stetig ist und ich weiß nicht, wie man zeigen
> kann, dass sie unstetig ist.
>
>
> Fall x=0
> Gemäß Definition der Funktion f(0)=0
>
> Sonst
> Es gilt [mm]|f(x)| \le |\sin(x)|[/mm] für jedes [mm]x \in \IR,[/mm] da
> [mm]\bruch{1}{x} < x[/mm]
Ist das so?
>
> Ist nun [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge, so gilt:
> [mm]|f(x_{n})| \le |\sin(x_{n})|[/mm]
>
> [mm]|\sin(x_{n})| \to 0[/mm] für [mm]x_{n} \to 0[/mm]
>
> Damit ist [mm]f(x_{n})[/mm] eine Nullfolge.
>
> Also: aus [mm]x_{n} \to 0[/mm] folgt [mm]f(x_{n}) \to 0=f(0)[/mm]
>
>
> Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Schaue dir mal exemplarisch die beiden Folgen
[mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi}[/mm] und
[mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi}[/mm]
Beides sind ersichtlich Nullfolgen, was ist mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n)[/mm] und [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(b_n)[/mm] ?
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion $ [mm] f\!\ [/mm] $ sowie die Unstetigkeit der Funktion $ [mm] g\!\ [/mm] $ gezeigt werden:
$ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $
$ g: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
Danke erstmal für Deine Antwort.
> > Fall x=0
> > Gemäß Definition der Funktion f(0)=0
> >
> > Sonst
> > Es gilt [mm]|f(x)| \le |\sin(x)|[/mm] für jedes [mm]x \in \IR,[/mm] da
> > [mm]\bruch{1}{x} < x[/mm]
>
> Ist das so?
Du hast Recht... Wenn ich schon $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] < x $ schreibe, dann muss ich auch schreiben [mm]|f(x)| < |\sin(x)|[/mm] für jedes [mm]x \in \IR,[/mm]
Dennoch sagt mir mein Gefühl, dass das nicht der richtige Weg ist...
> > Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
>
> Schaue dir mal exemplarisch die beiden Folgen
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi}[/mm] und
>
> [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi}[/mm]
>
>
> Beides sind ersichtlich Nullfolgen, was ist mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n)[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(b_n)[/mm] ?
Die beiden Folgen besitzen nicht den gleichen Grenzwert?
Falls dem so sein sollte, war es nur geraten. Ich dachte, wenn ich zwei Nullfolgen habe, besitzen sie den gleichen Grenzwert, sprich 0.
Eine andere Überlegung ist die, dass Deine erste Folge im Nenner einen geringeren Wert als Deine zweite Folge besitzt und die erste Folge ist somit größer als die zweite Folge. Sie besitzen doch trotzdem den Grenzwert 0...?
> Gruß
>
> schachuzipus
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Es soll die Stetigkeit der Funktion [mm]f\!\[/mm] sowie die
> Unstetigkeit der Funktion [mm]g\!\[/mm] gezeigt werden:
>
>
> [mm]g: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo schachuzipus,
>
> Danke erstmal für Deine Antwort.
>
> > > Fall x=0
> > > Gemäß Definition der Funktion f(0)=0
> > >
> > > Sonst
> > > Es gilt [mm]|f(x)| \le |\sin(x)|[/mm] für jedes [mm]x \in \IR,[/mm] da
> > > [mm]\bruch{1}{x} < x[/mm]
> >
> > Ist das so?
>
> Du hast Recht... Wenn ich schon [mm]\bruch{1}{x} < x[/mm] schreibe,
> dann muss ich auch schreiben [mm]|f(x)| < |\sin(x)|[/mm] für jedes
> [mm]x \in \IR,[/mm]
Verstehe ich nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Die obige Ungleichung gilt doch nur für einen eingeschränkten Bereich von [mm] $\IR$ [/mm] ...
>
> Dennoch sagt mir mein Gefühl, dass das nicht der richtige
> Weg ist...
>
> > > Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
> >
> > Schaue dir mal exemplarisch die beiden Folgen
> >
> > [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> > [mm]a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi}[/mm] und
> >
> > [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi}[/mm]
> >
> >
> > Beides sind ersichtlich Nullfolgen, was ist mit
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n)[/mm] und
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(b_n)[/mm] ?
>
> Die beiden Folgen besitzen nicht den gleichen Grenzwert?
Die GW sind verschieden, ja!
>
> Falls dem so sein sollte, war es nur geraten.
Das kannst du doch mühelos ausrechnen ...
> Ich dachte,
> wenn ich zwei Nullfolgen habe, besitzen sie den gleichen
> Grenzwert, sprich 0.
Die Folgen [mm](a_n), (b_n)[/mm] haben ja auch denselben GW, nämlich 0 (das müssen sie ja auch)
Aber die Bildfolgen [mm]g(a_n), g(b_n)[/mm] nicht.
Damit kann [mm]g[/mm] gem. Folgenkrit. nicht stetig sein...
>
> Eine andere Überlegung ist die, dass Deine erste Folge im
> Nenner einen geringeren Wert als Deine zweite Folge besitzt
> und die erste Folge ist somit größer als die zweite
> Folge. Sie besitzen doch trotzdem den Grenzwert 0...?
Die Folge selbst ja, aber er muss doch für JEDE Nullfolge [mm](x_n)[/mm] die Bildfolge [mm]g(x_n)[/mm] gegen [mm]g(0)[/mm] streben, wenn g stetig sein soll (in [mm] $x_0=0$).
[/mm]
Hier hast du mit den beiden obigen Folgen ein Gegenbsp. und g ist nicht stetig.
Arbeite unbedingt das Folgenkriterium durch!
Merke dir dessen Aussage! Es eignet sich hervorragend, um Stetigkeit zu widerlegen ...
>
> Gruß
> el_grecco
Zurück!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal
ich sehe gerade, dass $g(0)=0$ ja schon festgelegt ist.
Dann reicht es, die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] zu betrachten ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | $ f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $
$ g: [mm] \IR \to \IR, g(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\ 0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
wir hatten die beiden exemplarischen Nullfolgen:
$ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ mit $ [mm] a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi} [/mm] $ und $ [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] $ mit $ [mm] b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi} [/mm] $
Beide Folgen sind Nullfolgen, jedoch gilt $ [mm] \lim\limits_{n\to\infty}g(a_n) \not= \lim\limits_{n\to\infty}g(b_n).$
[/mm]
> Die Folgen [mm](a_n), (b_n)[/mm] haben ja auch denselben GW,
> nämlich 0 (das müssen sie ja auch)
>
> Aber die Bildfolgen [mm]g(a_n), g(b_n)[/mm] nicht.
>
> Damit kann [mm]g[/mm] gem. Folgenkrit. nicht stetig sein...
> >
> > Eine andere Überlegung ist die, dass Deine erste Folge im
> > Nenner einen geringeren Wert als Deine zweite Folge besitzt
> > und die erste Folge ist somit größer als die zweite
> > Folge. Sie besitzen doch trotzdem den Grenzwert 0...?
>
> Die Folge selbst ja, aber er muss doch für JEDE Nullfolge
> [mm](x_n)[/mm] die Bildfolge [mm]g(x_n)[/mm] gegen [mm]g(0)[/mm] streben, wenn g
> stetig sein soll (in [mm]x_0=0[/mm]).
>
> Hier hast du mit den beiden obigen Folgen ein Gegenbsp. und
> g ist nicht stetig.
Ich habe leider noch drei Probleme:
1.) In Deiner Mitteilung meintest Du, dass ich nur noch die Folge [mm] $a_{n}$ [/mm] betrachten muss, da $ g(0)=0 $ bereits festgelegt ist. Warum muss ich dann die Folge [mm] $b_{n}$ [/mm] nicht mehr betrachten; ich dachte die Idee wäre ich nehme zwei willkürliche Nullfolgen und sehe, dass deren Bildfolgen unterschiedliche Grenzwerte besitzen?
2.) Für diese Aufgabe genügt also als Lösung:
Ich nehme zwei beliebige Nullfolgen und sage, dass deren Bildfolgen unterschiedliche Grenzwerte besitzen. Wie beweise ich aber die unterschiedlichen Grenzwerte; reicht da eine Beispielrechnung für z.B. n=10 ?
3.) Was mir leider noch nicht einleuchtet ist (vielleicht ergibt sich das aus der zweiten Frage), dass wenn ich die beiden Folgen [mm] $a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n}$ [/mm] in die Funktion aus der Teilaufgabe a) einsetze, dann besitzen sie doch dort auch unterschiedliche Grenzwerte; also wenn ich z.B. für n=10 setze, entstehen auch dort unterschiedliche Ergebnisse?
> Arbeite unbedingt das Folgenkriterium durch!
> Merke dir dessen Aussage! Es eignet sich hervorragend, um
> Stetigkeit zu widerlegen ...
Es ist halt immer so eine Sache mit Theorie und Praxis. Das ist übrigens die erste Unstetigkeitsaufgabe, die wir hatten.
Ich danke Dir für Deine Geduld und Mühe!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hellas!
Fragen über Fragen ...
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\begin{cases} (\arctan x)(\sin \bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g: \IR \to \IR, g(x):=\begin{cases} \sin \bruch{1}{x}, & \mbox{fuer } x \not= 0, \\
0, & \mbox{fuer } x=0. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo schachuzipus,
>
> wir hatten die beiden exemplarischen Nullfolgen:
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi}[/mm] und
> [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi}[/mm]
>
> Beide Folgen sind Nullfolgen, jedoch gilt
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n) \not= \lim\limits_{n\to\infty}g(b_n).[/mm]
>
> > Die Folgen [mm](a_n), (b_n)[/mm] haben ja auch denselben GW,
> > nämlich 0 (das müssen sie ja auch)
> >
> > Aber die Bildfolgen [mm]g(a_n), g(b_n)[/mm] nicht.
> >
> > Damit kann [mm]g[/mm] gem. Folgenkrit. nicht stetig sein...
> > >
> > > Eine andere Überlegung ist die, dass Deine erste
> Folge im
> > > Nenner einen geringeren Wert als Deine zweite Folge besitzt
> > > und die erste Folge ist somit größer als die zweite
> > > Folge. Sie besitzen doch trotzdem den Grenzwert 0...?
> >
> > Die Folge selbst ja, aber er muss doch für JEDE Nullfolge
> > [mm](x_n)[/mm] die Bildfolge [mm]g(x_n)[/mm] gegen [mm]g(0)[/mm] streben, wenn g
> > stetig sein soll (in [mm]x_0=0[/mm]).
> >
> > Hier hast du mit den beiden obigen Folgen ein Gegenbsp. und
> > g ist nicht stetig.
>
> Ich habe leider noch drei Probleme:
>
> 1.) In Deiner Mitteilung meintest Du, dass ich nur noch die
> Folge [mm]a_{n}[/mm] betrachten muss, da [mm]g(0)=0[/mm] bereits festgelegt
> ist. Warum muss ich dann die Folge [mm]b_{n}[/mm] nicht mehr
> betrachten; ich dachte die Idee wäre ich nehme zwei
> willkürliche Nullfolgen und sehe, dass deren Bildfolgen
> unterschiedliche Grenzwerte besitzen?
Du weißt doch schon, dass [mm]g(\red{0})=\blue{0}[/mm] ist aus der Def. der Funktion.
Wenn [mm]g[/mm] stetig wäre, müsste für jede Nullfolge, also für jede Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\red{0}[/mm] die Bildfolge [mm]g(x_n)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]g(\red{0})=\blue{0}[/mm] konvergieren.
Du hast mit [mm](a_n)[/mm] aber ein Gegenbsp., es ist zwar [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\red{0}[/mm], aber [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n)=1\neq \blue{0}[/mm]
Damit ist die Stetigkeit von [mm]g[/mm] schon widerlegt
>
> 2.) Für diese Aufgabe genügt also als Lösung:
> Ich nehme zwei beliebige Nullfolgen und sage, dass deren
> Bildfolgen unterschiedliche Grenzwerte besitzen.
Es genügt eine Folge, wenn du mal [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(b_n)[/mm] ausrechnest, so kommt da, wie gewünscht 0 raus
> Wie
> beweise ich aber die unterschiedlichen Grenzwerte; reicht
> da eine Beispielrechnung für z.B. n=10 ?
Ich hatte zuerst nicht gesehen, dass [mm]g(0)=0[/mm] schon im Aufgabentext definiert war und dachte, dass man widerlegen solle, dass [mm]g[/mm] in [mm]x_0=0[/mm] stetig fortsetzbar sei.
Dazu hätte man dann 2 (Null-)Folgen benötigt, deren Bilder unter [mm]g[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] verschiedene GWe liefern (wie hier [mm](a_n), (b_n)[/mm])
Oder halt eine Nullfolge, deren Bild unter [mm]g[/mm] etwa gegen [mm]\infty[/mm] divergiert.
>
> 3.) Was mir leider noch nicht einleuchtet ist (vielleicht
> ergibt sich das aus der zweiten Frage), dass wenn ich die
> beiden Folgen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] in die Funktion aus der
> Teilaufgabe a) einsetze, dann besitzen sie doch dort auch
> unterschiedliche Grenzwerte;
Das sollte nicht passieren!
Im Grenzprozess [mm]n\to\infty[/mm] muss [mm]f(a_n)=f(b_n)[/mm] gegen [mm]f(0)=0[/mm] konvergieren!
Die Stetigkeit von $f$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist ja schon bewiesen, da muss also das Folgenkrit. gelten!
> also wenn ich z.B. für n=10
> setze, entstehen auch dort unterschiedliche Ergebnisse?
Ach, wer soll das nachrechnen.
Was sagt auch [mm]n=10[/mm] aus?
Nix, du musst die Chose für [mm]n\to\infty[/mm] betrachten ...
>
> > Arbeite unbedingt das Folgenkriterium durch!
> > Merke dir dessen Aussage! Es eignet sich hervorragend,
> um
> > Stetigkeit zu widerlegen ...
>
> Es ist halt immer so eine Sache mit Theorie und Praxis. Das
> ist übrigens die erste Unstetigkeitsaufgabe, die wir
> hatten.
>
>
> Ich danke Dir für Deine Geduld und Mühe!
Gerne, ich hoffe, die Antworten bringen dich weiter ...
>
> Gruß
> el_grecco
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo schachuzipus,
> Schaue dir mal exemplarisch die beiden Folgen
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi}[/mm] und
>
> [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi}[/mm]
>
>
> Beides sind ersichtlich Nullfolgen, was ist mit
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n)[/mm] und
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(b_n)[/mm] ?
jetzt habe ich doch noch eine kleine Frage hierzu. Die Bildfolge von [mm] $a_{n}$ [/mm] konvergiert ja gegen 1, während die Bildfolge von [mm] $b_{n}$ [/mm] gegen 0 konvergiert.
Wie bist Du aber auf diese beiden Folgen gekommen bzw. gibt es da ein "Kochrezept" wie man sinnvolle Gegenbeispiele entwirft?
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
> Hallo schachuzipus,
>
> > Schaue dir mal exemplarisch die beiden Folgen
> >
> > [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> > [mm]a_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\cdot{}2\pi}[/mm] und
> >
> > [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]b_n=\frac{1}{\pi+n\cdot{}2\pi}[/mm]
> >
> >
> > Beides sind ersichtlich Nullfolgen, was ist mit
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(a_n)[/mm] und
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}g(b_n)[/mm] ?
>
> jetzt habe ich doch noch eine kleine Frage hierzu. Die
> Bildfolge von [mm]a_{n}[/mm] konvergiert ja gegen 1, während die
> Bildfolge von [mm]b_{n}[/mm] gegen 0 konvergiert.
>
> Wie bist Du aber auf diese beiden Folgen gekommen bzw. gibt
> es da ein "Kochrezept" wie man sinnvolle Gegenbeispiele
> entwirft?
Hallo,
Du interessiert Dich für [mm] \lim_{x\to 0}sin\bruch{1}{x}.
[/mm]
Überlegung:
was passiert mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0?
[mm] y:=\bruch{1}{x} [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty [/mm] (wenn man von unten kommt)
Was passiert mit sin y für [mm] y\to \infty?
[/mm]
Es oszilliert munter. Regelmäßig wird der Wert 1 angenommen, regelmäßig der Wert 0, regelmäßig der Wert -1.
Wie regelmäßig?
Für [mm] y=\bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2n\pi [/mm] bekommt man immer den Funktionswert 1,
für [mm] y=\pi [/mm] + [mm] 2n\pi [/mm] immer den Wert 0 und
für [mm] y=\bruch{3}{2}\pi +2n\pi [/mm] immer den Wert -1.
Viele andere Folgen mit anderen Grenzwerten sind hier ebenfalls denkbar, z.B. solche, für die der sin immer [mm] =\bruch{1}{x}.123 [/mm] oder =-0.4711 ist. Aber die sind unpraktisch.
Nun, und mit [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] ergeben sich dann u.a. die von schachuzipus genannten Folgen.
Diese Folgen fallen also nicht vom Himmel. Man findet sie, weil man sich mit der Sinusfunktion auskennt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 So 30.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine wirklich sehr gute Erklärung - und das trotz arg vorangeschrittener Stunde.
Gruß
el_grecco
|
|
|
|
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
