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Stetigkeit beweisen: Epsilon Delta Kriterium
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mi 06.01.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriteriums, dass die Funktion f: [0, [mm] \infty [/mm] ] -> [mm] \IR [/mm] die durch

f(x) = [mm] \bruch{x^2}{x+1} [/mm] gegeben ist, stetig ist.

Hallo,
die Definition des Epsilon Delta Kriterium ist:

[mm] \forall \varepsilon \exists \delta [/mm] >0 : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty]: |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Bis jetzt hatte ich immer einen konkreten Punkt [mm] x_0 [/mm] gegeben. Bei dieser Aufgabe ist jetzt kein [mm] x_0 [/mm] gegeben, daher bin ich mir nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin, hier mein Ansatz:

Ich lasse die Betragsstriche mal weg, da f immer positiv ist.

Also:
Zuerst gilt es, ein [mm] \delta [/mm] zu finden. Dazu muss ich den Ausdruck [mm] f(x)-f(x_0) [/mm] so vereinfachen, bis ich Ausdrücke der Form [mm] (x-x_0) [/mm] bekomme.

[mm] f(x)-f(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{x+1} [/mm] - [mm] \bruch{x_0^2}{x_0+1} [/mm]

jetzt Nenner gleichnamig:

[mm] \bruch{(x_0+1)(x^2) - x_0^2(x+1)}{(x+1)(x_0+1)} =\bruch{x_0x^2+x^2-x_0^2x-x_0^2}{xx_0+x+x_0+1} [/mm]

Ich kann hier nichts vereinfachen(ausklammern), ohne dass ich im Nenner oder im Zähler Brüche bekomme. Was kann ich jetzt noch tun?

Vielen Dank im Voraus.


        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mi 06.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich lasse die Betragsstriche mal weg, da f immer positiv ist.

f ist immer positiv, aber doch im Allgemeinen nicht die Differenz von $f(x) - [mm] f(x_0)$! [/mm]

Allerdings ist f monoton steigend auf [mm] $[0,\infty)$, [/mm] mache daher eine Fallunterscheidung:

1.) [mm] $x\ge x_0$ [/mm]
Dann ist einerseits $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = f(x) - [mm] f(x_0)$, [/mm] andererseits ist [mm] $\frac{x^2}{x+1} \le \frac{x^2}{x_0 + 1}$ [/mm]
Nutze das und eine binomische Formel im Zähler um auf $(x - [mm] x_0)$ [/mm] zu kommen und verwende, dass wir ja später nur x verwenden für die [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm]

2.) $x < [mm] x_0$ [/mm]
Dann ist einerseits $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] - f(x)$, andererseits ist [mm] $-\frac{x^2}{x+1} \le -\frac{x^2}{x_0 + 1}$ [/mm]
Dann verfahre wie bei 1.)


Im Übrigen ist 1.) und 2.) gleichbedeutend mit:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le |\frac{x^2 - x_0^2}{x_0 + 1}|$, [/mm] wenn man das sehen würde, käme man auch ohne Fallunterscheidung weiter.

Gruß,
Gono

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Bezug
Stetigkeit beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Mi 06.01.2016
Autor: pc_doctor

Alles klar, vielen Dank für den Tipp.

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Bezug
Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,
also ich hänge immer noch an der Aufgabe. Mein Tutor meinte, dass man das ohne Fallunterscheidung ganz normal mit Umformungen lösen kann.

Ich versuche es die ganze Zeit, aber ich komme irgendwie nie auf den Faktor | x - [mm] x_0 [/mm] |

Wir haben f: [0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm]

f(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{x+1} [/mm]

Wir nehmen an dass | x- [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm]

Wir müssen bestimmen: |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm]

Also:

| [mm] \bruch{x^{2}}{x+1} [/mm] | - | [mm] \bruch{x_0^{2}}{x_0 + 1} [/mm] |

Den Bruch gleichnamig machen:

| [mm] \bruch{x^{2}(x_0+1) - x_0^{2}(x+1)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm] |

So, und wie bekomme ich jetzt im Zähler irgendwie durch Umformungen |x-x0| raus ?

Vielen Dank im Voraus.

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Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 10.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

das Zitieren klappt leider nicht; ich kann also nix dranschreiben  ...

Aber das [mm]\left|\frac{x^2}{x+1}\right|-\left|\frac{x_0^2}{x_0+1}\right|[/mm] ist doch komplett falsch.

Seit wann ist [mm]|x-y|=|x|-|y|[/mm] ??

Betrachten musst du [mm]\left|\frac{x^2}{x+1}-\frac{x_0^2}{x_0+1}\right|[/mm]

Die Idee, gleichnamig zu machen, ist schonmal gut.

Rechne dann den Zähler weiter aus und ordne um ..

[mm]x^2(x_0+1)-x_0^2(x+1)=x_0x^2+x^2-xx_0^2-x_0^2[/mm]

Nun [mm]xx_0[/mm] ausklammern aus dem ersten und dritten Summanden

[mm]=xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)[/mm]

Nun schaue dir die hintere Differenz der Quadrate mal scharf an, dann siehst du sicher was ..

Bedenke dann, dass du einen Bruch vergrößern kannst, indem du den Zähler vergrößerst ...

Gruß

schachuzipus

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Bezug
Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,

ich zitiere : " $ [mm] =xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2) [/mm] $
"
Ich lasse die Betragsstriche mal weg, zur Vereinfachung.
Der letzte Summand ist die dritte binomische Formel. Also [mm] (x^2 [/mm] - [mm] x_0^2 [/mm] ) = [mm] (x-x_0)(x+x_0). [/mm] Ich habs mal versucht:

Wir haben:

[mm] \bruch{xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

[mm] \bruch{xx_0(x-x_0)+(x-x_0)(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

[mm] (x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

Wir hatten die Annahme [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] also auch |x| < [mm] \delta [/mm] + [mm] x_0 [/mm]

Also:

[mm] (x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm] < [mm] \delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

Wählen zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \delta [/mm] < 1, also  gilt:

[mm] \delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)} [/mm] < [mm] \delta \bruch{(x_0+1)x_0+((x_0+1)+x_0)}{((x_0+1)+1)(x_0+1)} [/mm]

= [mm] \delta \bruch{x_0+x_0^2+x_0+x_0^2}{(2+x_0)(x_0+1)} [/mm]


= [mm] \delta \bruch{2x_0^2+2x_0}{x_0^2+3x_0+2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Jetzt den Bruch mit [mm] x_0 [/mm] erweitern:

[mm] \delta \bruch{2x_0^3+2x_0^2}{x_0^3+3x_0^2+2x_0} [/mm]

Jetzt ausklammern:

[mm] \delta \bruch{x_0^2(2x_0+2)}{x_0(x_0^2+3x_0+2} [/mm]


= [mm] \delta \bruch{2x_0+2}{x_0^2+3x_0+2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]


[mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon \bruch{x_0^2+3x_0+2}{2x_0+2} [/mm]

Geht das so ?

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 So 10.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,
> Hallo,

>

> ich zitiere : " [mm]=xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)[/mm]
> "
> Ich lasse die Betragsstriche mal weg, zur Vereinfachung.
> Der letzte Summand ist die dritte binomische Formel. Also
> [mm](x^2[/mm] - [mm]x_0^2[/mm] ) = [mm](x-x_0)(x+x_0).[/mm] Ich habs mal versucht: [ok]

>

> Wir haben:

>

> [mm]\bruch{xx_0(x-x_0)+(x^2-x_0^2)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> [mm]\bruch{xx_0(x-x_0)+(x-x_0)(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> [mm](x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm] [ok]

>

> Wir hatten die Annahme [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] also auch |x| <
> [mm]\delta[/mm] + [mm]x_0[/mm]

Viel zu umständlich...

Ich sagte doch extra: "Bruch vergrößern"

Es ist [mm]\left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}\right| \ \leq \ \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0 \ \red{+1})}{(x+1)(x_0+1)}\right|[/mm]

Nun nur noch die hintere Klammer im Zähler zusammenfassen ...


>

> Also:

>

> [mm](x-x_0) \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm] < [mm]\delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> Wählen zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 [mm]\delta[/mm] < 1, also gilt:

>

> [mm]\delta \bruch{xx_0+(x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}[/mm] < [mm]\delta \bruch{(x_0+1)x_0+((x_0+1)+x_0)}{((x_0+1)+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> = [mm]\delta \bruch{x_0+x_0^2+x_0+x_0^2}{(2+x_0)(x_0+1)}[/mm]

>
>

> = [mm]\delta \bruch{2x_0^2+2x_0}{x_0^2+3x_0+2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

>

> Jetzt den Bruch mit [mm]x_0[/mm] erweitern:

>

> [mm]\delta \bruch{2x_0^3+2x_0^2}{x_0^3+3x_0^2+2x_0}[/mm]

>

> Jetzt ausklammern:

>

> [mm]\delta \bruch{x_0^2(2x_0+2)}{x_0(x_0^2+3x_0+2}[/mm]

>
>

> = [mm]\delta \bruch{2x_0+2}{x_0^2+3x_0+2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

>
>

> [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon \bruch{x_0^2+3x_0+2}{2x_0+2}[/mm]

>

> Geht das so ?

Möglicherweise (habe gerade keine gesteigerte Lust alles nachzurechnen - weil unnötig ;_)), aber es ist ein sehr sehr sehr einfaches [mm]\delta[/mm] möglich ...


Gruß

schachuzipus

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Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,

also:

$ [mm] \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}\right| [/mm] \ [mm] \leq [/mm] \ [mm] \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0 \ \red{+1})}{(x+1)(x_0+1)}\right| [/mm] $

= [mm] \bruch{(x-x_0)((x+1)(x_0+1))}{(x+1)(x_0+1)} [/mm]

kürzen

= [mm] \bruch{(x-x_0)(x_0+1)}{x_0+1} [/mm]

wieder kürzen

= [mm] x-x_0 [/mm] < [mm] \delta [/mm]

Aber das ist ja die Annahme ( wir meinen ja [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] )

Wie bringe ich jetzt [mm] \varepsilon [/mm] da rein ?

Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 10.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo nochmal,

>

> also:

>

> [mm]\left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0)}{(x+1)(x_0+1)}\right| \ \leq \ \left|\frac{(x-x_0)(xx_0+x+x_0 \ \red{+1})}{(x+1)(x_0+1)}\right|[/mm]

>

> = [mm]\bruch{(x-x_0)((x+1)(x_0+1))}{(x+1)(x_0+1)}[/mm]

>

> kürzen

>

> = [mm]\bruch{(x-x_0)(x_0+1)}{x_0+1}[/mm]

>

> wieder kürzen

>

> = [mm]x-x_0[/mm] < [mm]\delta[/mm]

>

> Aber das ist ja die Annahme ( wir meinen ja [mm]|x-x_0|[/mm] <
> [mm]\delta[/mm] )

>

> Wie bringe ich jetzt [mm]\varepsilon[/mm] da rein ?

Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]\delta=\varepsilon[/mm]

Dann gilt für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]:

[mm]|f(x)-f(x_0)|=...=...\le |x-x_0|<\delta=\varepsilon[/mm]

;-)

Gruß
schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:03 So 10.01.2016
Autor: pc_doctor

Geil, alles ist möglich :D

Endlich gelöst, vielen lieben Dank für die Hilfe.

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