Stetigkeit beweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 09.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Funktion f: [mm]\IQ \to \IR[/mm] werde definiert durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ kleiner Wurzel 2} \\ 1, & \mbox{falls } x \mbox{ größer Wurzel 2} \end{cases}[/mm]
>
> Man zeige, dass f auf ganz [mm]\Q[/mm] stetig ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo.
>
> Ich habe so angefangen:
>
> f ist stetig, wenn gilt:
>
> [mm]\limes_{n \to a}f(x_n)[/mm] = f(a)
>
> Es gebe also eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit Limes a:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty}x_n[/mm] = a
>
> Dann gilt
> [mm]\limes_{n \to \infty}(x_n-a)[/mm] = 0
>
> Nun müsste [mm]\limes_{n \to \infty}f(x_n-a)[/mm]
> irgendetwas sein, wo ich aber nicht weiter komme.
Das Wichtigste ist hier der Definitionsbereich [mm] \IQ, \wurzel{2} [/mm] gehört nicht dazu!
für alle anderen Werte hast du ja f(x)=0 für jede Folge von rationalen xn gilt f(xn)=0 falls [mm] xn<\wurzel{2} [/mm] und f(xn)=1 für alle [mm] xn>\wurzel [/mm] 2
d.h. für alle rat. Folgen mit GW rational r xn -r gegen 0 konvergiert ausch f(xn)-f(a)=0 gegen 0
Gruss leduart
> Hoffe auf Hilfe,
> Gruß, Chippie.
>
> PS: Die wurzel da oben drin wolte er nicht nehmen -.-
>
>
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Di 09.01.2007 | | Autor: | Chippie |
> d.h. für alle rat. Folgen mit GW rational r xn -r gegen 0 konvergiert ausch f(xn)-f(a)=0 gegen 0
Das verstehe ich irgendwie nicht. Heißt das, dass die Folgen [mm] (x_n) [/mm] rationale Grenzwerte r besitzen und diese generell gegen 0 konvergieren und damit auch die Funktion [mm] f(x_n) [/mm] - f(a) gegen 0 laufen?>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Di 09.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
stetig ist eine fkt. wenn für ALLE folgen xn mit lim xn=r gilt lim f(xn) =f(r)
als Folgen, die gegen r konvergieren kannst du dir beliebige denken, wenn es nur für eine bestimmte z. Bsp xn=r+1/n stimmt muss die fkt noch nicht stetig sein. aber hier hast du es doch ganz einfach, egal welche gegen r konv. Folge von rationalen Zahlen du nimmst f(xn) ist immer 0 bzw immer 1 und deshalb ist fast nix zu beweisen.
> Das verstehe ich irgendwie nicht. Heißt das, dass die
> Folgen [mm](x_n)[/mm] rationale Grenzwerte r besitzen und diese
> generell gegen 0 konvergieren und damit auch die Funktion
wenn die xn gegen 0 konvergieren dann geht f(xn) gegen f(0) und weil [mm] 0<\wurzel{2} [/mm] und nur deshalb ist f(0)=0.
wenn die Folgen xn gegen r konv. konvergieren sie doch nicht gegen 0!
aber die Def. von f(x) war doch f(x)=0 für ALLE rationalen [mm] x<\wurzel [/mm] {2}
Zeichne dir doch mal die Funktion auf, und dann lauf mit punkten auf der x Achse gegen irgendeinen Wert, was tun die Funktionswerte?
Wenn du das alles nicht verstehst, musst du mal sagen, welchen Stetigkeitsbeweis du verstehst.
Gruss leduart
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Die Wurzel wird so gemacht: \wurzel, also vor allem klein geschrieben. Außerdem sollte sie außerhalb der mbox stehen. Die mbox ist eigentlich nur für "normalen", sozusagen nicht-mathematischen Text gedacht. Und für "kleiner" braucht man auch keine mbox... 