Stetigkeit beweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Count144 |
| Aufgabe | Betrachten Sie im Folgenden zwei auf ganz R definierte stetige Funktionen f(x) und g(x) und zeigen Sie, dass die Funktionen
a) h(x) := f(x) + g(x)
b) h(x) := f(x)g(x)
c) h(x) := f(g(x))
d) h(x) := [mm] (x^5 [/mm] + 2 [mm] x^2 [/mm] + [mm] 1)^2
[/mm]
stetig sind. |
Kann mir jemand helfen? Ich versuche jetzt schon zwei Tage diese Aufgabe zu lösen, aber hab wirklich gar keine Ahnung. Also, ich soll das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium machen, aber wie geht das? Normalerweise bin ich richtig gut in Mathe. Ich weiß auch, was stetig bedeutet, aber hier blicke ich nicht durch. Ich möchte wirklich keine fertigen Lösungen "klauen", aber so ein Lösungweg wäre schon hilfreich. Ach ja, wer kann mir sagen, was das := bedeutet? Danke schonmal sehr.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Count144 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachten Sie im Folgenden zwei auf ganz R definierte
> stetige Funktionen f(x) und g(x) und zeigen Sie, dass die
> Funktionen
> a) h(x) := f(x) + g(x)
> b) h(x) := f(x)g(x)
> c) h(x) := f(g(x))
> d) h(x) := [mm](x^5[/mm] + 2 [mm]x^2[/mm] + [mm]1)^2[/mm]
> stetig sind.
> Kann mir jemand helfen? Ich versuche jetzt schon zwei Tage
> diese Aufgabe zu lösen, aber hab wirklich gar keine
> Ahnung. Also, ich soll das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium
> machen, aber wie geht das?
Nun, schreibe dir die Definition hin.
[mm]f[/mm] stetig in [mm]x_0[/mm] bedeutet: [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
Die Schwierigkeit besteht meist darin, diesen letzten Betrag geschickt abzuschätzen.
Ich mache mal die a)
Geben wir uns ein bel. [mm]x_0\in\IR[/mm] vor:
Zu zeigen ist, dass - wenn f ung g stetig in [mm] x_0 [/mm] sind - dann ist auch [mm]f+g[/mm] in [mm]x_0[/mm] stetig
Wir müssen also zeigen, dass es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] gibt, so dass [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|<\varepsilon[/mm] für [mm]|x-x_0|<\delta[/mm]
Geben wir uns also ein bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] vor!
Dann müssen wir die Stetigkeit von f und g nutzen
[mm]f[/mm] stetig in [mm]x_0[/mm] bedeutet:
[mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_1>0:|x-x_0|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2} \ \ (\star)[/mm]
[mm]g[/mm] stetig in [mm]x_0[/mm] bedeutet:
[mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_2>0:|x-x_0|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2} \ \ (\star\star)[/mm]
Nun schauen wir uns mal den Betrag [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|[/mm] an, das ist [mm]|(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))|[/mm]
Nun denke mal scharf an die Dreiecksungleichung.
Dann bedenke, was die Stetigkeit von f und g in [mm] $x_0$ [/mm] sagen. --> [mm](\star)[/mm] und [mm](\star\star)[/mm]
Wie ist letztlich das [mm]\delta[/mm] zu wählen? Es ist abh. von [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta_2[/mm]
> Normalerweise bin ich richtig
> gut in Mathe. Ich weiß auch, was stetig bedeutet, aber
> hier blicke ich nicht durch. Ich möchte wirklich keine
> fertigen Lösungen "klauen", aber so ein Lösungweg wäre
> schon hilfreich. Ach ja, wer kann mir sagen, was das :=
> bedeutet? Danke schonmal sehr.
[mm]:=[/mm] bedeutet "wird definiert als", "ist per Definition ="
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Nun versuche mal, die a) zu lösen, einen Anfang hast du ja nun. Dann sehen wir weiter.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:44 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Danke sehr für deine Antwort. Aber so ganz verstanden hab ich es leider nocht nicht. Wie z.B. kommst du auf [mm] \varepsilon [/mm] /2 bei den beiden Funktionen? Die Dreiecksungleichung kenn ich, aber wie soll das jetzt weitergehn? Hmm, ich könnte laut dieser Ungleichung den Betrag aufteilen, aber was bringt mir das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Danke sehr für die Antwort. Aber so ganz verstanden hab ich es leider nocht nicht. Wie z.B. kommst du auf [mm] \varepsilon [/mm] /2 bei den beiden Funktionen? Die Dreiecksungleichung kenn ich, aber wie soll das jetzt weitergehn?
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Hallo nochmal,
> Danke sehr für die Antwort. Aber so ganz verstanden hab
> ich es leider nocht nicht. Wie z.B. kommst du auf
> [mm]\varepsilon[/mm] /2 bei den beiden Funktionen?
Weil es so schön passt 
Man bekommt ja gem. der Stetigkeitsdefinition die Differenz (Abstand) [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] beliebig klein, kleiner als jedes vorgegebe [mm]\varepsilon[/mm]
Ich hätte es auch [mm]\varepsilon'[/mm] nennen können und dann sagen [mm]\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
Wenn ich die Differenz kleiner als jedes [mm]\varepsilon[/mm] bekomme, dann auch (für bel., aber festes [mm]\varepsilon[/mm]) auch kleiner als [mm]\varepsilon/2[/mm]
> Die Dreiecksungleichung kenn ich, aber wie soll das jetzt
> weitergehn?
Wende sie an auf [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|=|\red{(}f(x)-f(x_0)\red{)}+\blue{(}g(x)-g(x_0)\blue{)}|\le |\ldots| \ + \ |\ldots|[/mm]
Danach nochmal scharf auf das, was ich zur Stetigkeit von f und g geschrieben habe, schielen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Ich befürchte, dass ich die Aufgabe bis Montag nie fertig hab.
Sry aber verstehe immer noch nicht, wie man auf dieses Epsilon/2 kommt?
Wegen der Dreiecksungleichung. Man würde doch dann das hier erhalten:
|f(x) - f(x0)| + |g(x) - g(x0)|
Das wären beide "Definitionen" von den Funktionen, also sowohl * als auch **, nur addiert. Was zeigt mir das jetzt?
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Hallo nochmal,
> Ich befürchte, dass ich die Aufgabe bis Montag nie fertig
> hab.
Das mag sein, aber vorrechnen tun wir hier keine kompletten Aufgaben ...
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> Sry aber verstehe immer noch nicht, wie man auf dieses
> Epsilon/2 kommt?
>
> Wegen der Dreiecksungleichung. Man würde doch dann das
> hier erhalten:
>
> |f(x) - f(x0)| + |g(x) - g(x0)| ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibs im Ganzen auf:
Du willst zeigen [mm] $|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|<\varepsilon$ [/mm] für unser bel. vorgegebes [mm] $\varepsilon$ [/mm] und für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] für ein noch zu bestimmendes Delta
Wir schätzen in einer NR den Betrag [mm] $|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|$ [/mm] ab:
[mm] $|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|=|(f(x)-f(x_0))+(g(x)-g(x_0))|\le |f(x)-f(x_0)|+|g(x)-g(x_0)|$ [/mm] nach Dreiecksungl.
[mm] $<\varepsilon/2+\varepsilon/2$ [/mm] für [mm] $|x-x_0|<\delta_1$ [/mm] und [mm] $|x-x_0|<\delta_2$
[/mm]
[mm] $=\varepsilon$
[/mm]
Insgesamt also ohne Zwischenschritte:
[mm] $|(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|<\varepsilon$ [/mm] wie es sein sollte.
Nun ist noch das Delta zu bestimmen und zwar so, dass mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] sowohl [mm] $|x-x_0|<\delta_1$ [/mm] als auch [mm] $|x-x_0|<\delta_2$ [/mm] ist.
Wie kann man also [mm] $\delta$ [/mm] wählen?
Dann nur alles in der richtigen Reihenfolge aufschreiben:
"Sei [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] bel. und [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
Wähle [mm] $\delta=\ldots$, [/mm] dann gilt für [mm] $|x-x_0|<\delta: |(f+g)(x)-(f+g)(x_0)|....<\varepsilon$ [/mm] "
Nun habe ich's doch (fast) komplett vorgerechnet ... naja - mache was draus!
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> Das wären beide "Definitionen" von den Funktionen, also
> sowohl * als auch **, nur addiert. Was zeigt mir das jetzt?
Gruß
schachuzipus
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