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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit der Komponente
Stetigkeit der Komponente < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit der Komponente: "Tipp"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mi 08.06.2016
Autor: Ardbeg

Aufgabe
Warum folgt aus partieller Differenzierbarkeit die Stetigkeit der Komponente, aber nicht die Umkehrung?

Hallo Freunde,

ich wollte mir diese Thematik etwas deutlicher machen, da es mir noch nicht so klar ist.
Also die Definition von partieller Differenzierbarkeit lautet:

Sei n [mm] \in \IN [/mm] und U [mm] \subseteq R^{n}. [/mm] Eine Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] heißt partiell differenzierbar, wenn für t := [mm] (t_{1};t_{2}; \ldots ;t_{i}) \in [/mm] U mit 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n der Grenzwert:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_i}(t):=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(t_{1}; \ldots ; t_{i} + h; \ldots ; t_{n})-f(t_{1}; \ldots ; t_{i} ; \ldots ; t_{n})}{h} [/mm]

existiert.

Und die Definition für Stetigkeit der Komponenten lautet:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und U [mm] \subseteq R^{n}. [/mm] Eine Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] heißt stetig in jeder Komponente, wenn für x := [mm] (x_{1};x_{2}; \ldots ;x_{n}) \in [/mm] U und alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n die Funktion:

[mm] g_{i}(t):=f(x+t*e_{i})=f(x_{1}; \ldots ;x_{i-1}; x_{i}+t; \ldots ;x_{i+1}; \ldots ;x_{n}) [/mm]

stetig in t=0 ist [mm] (e_{i}=(0; \ldots [/mm] ;1; [mm] \ldots [/mm] ;0) i-ter Einheitsvektor).

Doch wie kommt man denn dann auf die Folgerung? Ich finde dafür keine Argumentation.

        
Bezug
Stetigkeit der Komponente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Mi 08.06.2016
Autor: fred97


> Warum folgt aus partieller Differenzierbarkeit die
> Stetigkeit der Komponente, aber nicht die Umkehrung?
>  Hallo Freunde,
>  
> ich wollte mir diese Thematik etwas deutlicher machen, da
> es mir noch nicht so klar ist.
> Also die Definition von partieller Differenzierbarkeit
> lautet:
>  
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und U [mm]\subseteq R^{n}.[/mm] Eine Funktion f: U [mm]\to \IR[/mm]
> heißt partiell differenzierbar, wenn für t :=
> [mm](t_{1};t_{2}; \ldots ;t_{i}) \in[/mm] U mit 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n der
> Grenzwert:
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i}(t):=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(t_{1}; \ldots ; t_{i} + h; \ldots ; t_{n})-f(t_{1}; \ldots ; t_{i} ; \ldots ; t_{n})}{h}[/mm]
>  
> existiert.
>
> Und die Definition für Stetigkeit der Komponenten lautet:
>  Sei n [mm]\in \IN[/mm] und U [mm]\subseteq R^{n}.[/mm] Eine Funktion f: U
> [mm]\to \IR[/mm] heißt stetig in jeder Komponente, wenn für x :=
> [mm](x_{1};x_{2}; \ldots ;x_{n}) \in[/mm] U und alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> die Funktion:
>  
> [mm]g_{i}(t):=f(x+t*e_{i})=f(x_{1}; \ldots ;x_{i-1}; x_{i}+t; \ldots ;x_{i+1}; \ldots ;x_{n})[/mm]
>  
> stetig in t=0 ist [mm](e_{i}=(0; \ldots[/mm] ;1; [mm]\ldots[/mm] ;0) i-ter
> Einheitsvektor).
>  
> Doch wie kommt man denn dann auf die Folgerung? Ich finde
> dafür keine Argumentation.

  [mm] $g_i(h)-g_i(0)=f(t_{1}; \ldots [/mm] ; [mm] t_{i} [/mm] + h; [mm] \ldots [/mm] ; [mm] t_{n})-f(t_{1}; \ldots [/mm] ; [mm] t_{i} [/mm] ; [mm] \ldots [/mm] ; [mm] t_{n})=\bruch{f(t_{1}; \ldots ; t_{i} + h; \ldots ; t_{n})-f(t_{1}; \ldots ; t_{i} ; \ldots ; t_{n})}{h}*h \to \bruch{\partial f}{\partial x_i}(t)*0=0$ [/mm]  für $ h [mm] \to [/mm] 0$

FRED


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