Stetigkeit der e-Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 04.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich poste hier als erstes mal den Beweis, der so in meinem Skript steht und zu dem ich Fragen habe bzw. den ich eigentlich überhaupt nicht nachvollziehen kann:
Aus dem Additionstheorem (exp(x+y) = exp(x) * exp(y)) folgt leicht die Stetigkeit von exp (z):
Mit q:=1 + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] +.... gilt [mm] \left| exp (w) - 1 \right| \le \left| w \right| \left| 1 + \bruch{w}{2!} + \bruch{w^2}{3!} +.... \right| \le \left| q \right| \left| w \right| [/mm] für alle w [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] \left| w \right| \le \left| 1 \right|. [/mm] Damit folgt für jedes c [mm] \in \IC [/mm] und alle z [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] \left| z - c \right| \le [/mm] 1:
[mm] \left| exp z - exp c \right| [/mm] = [mm] \left| exp c \right|\left| exp(z - c) - 1 \right| \le [/mm] q [mm] \left| exp c \right|\left| z - c \right|;
[/mm]
somit gilt [mm] \left| exp z - exp c \right| \le \epsilon, [/mm] falls [mm] \left| z - c \right| \le [/mm] min(1, [mm] \left| q * exp c \right|^-^1 \epsilon). [/mm] q.e.d.
Also nun meine Fragen:
ich verstehe nicht nach welchem Prinzip hier die Stetigkeit bewiesen wird. Wird das delta-epsilon-Kriterium in irgendeiner Weise angewandt? Wenn ja wie? Und wo ist hier dann das Delta?
Oder wird ein anderes Kriterium angewandt. Da ist mir momentan allerdings nur das Folgenkriterium bekannt. Und nach Folgenkriterim sieht das hier ja nun nicht aus, denke ich. Gibt es denn noch ein anderes Prinzip, womit man die Stetigkeit einer Funktion beweisen kann?
Was mir auch nicht klar ist: Am Anfang wird ja gesagt : " Aus dem Additionstheorem folgt leicht die Stetigkeit von exp z"
Ich sehe aber nicht, wo in diesem Beweis das Additionstheorem verwendet wird?
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen und mir was zum grundlegenden Prinzip dieses Beweises sagen. Das würde mir wirklich sehr weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal,
Lieben Gruß Yonca!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich poste hier als erstes mal den Beweis, der so in meinem
> Skript steht und zu dem ich Fragen habe bzw. den ich
> eigentlich überhaupt nicht nachvollziehen kann:
>
>
> Aus dem Additionstheorem (exp(x+y) = exp(x) * exp(y)) folgt
> leicht die Stetigkeit von exp (z):
>
> Mit q:=1 + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3!}[/mm] +.... gilt [mm]\left| exp (w) - 1 \right| \le \left| w \right| \left| 1 + \bruch{w}{2!} + \bruch{w^2}{3!} +.... \right| \le \left| q \right| \left| w \right|[/mm]
> für alle w [mm]\in \IC[/mm] mit [mm]\left| w \right| \le \left| 1 \right|.[/mm]
> Damit folgt für jedes c [mm]\in \IC[/mm] und alle z [mm]\in \IC[/mm] mit
> [mm]\left| z - c \right| \le[/mm] 1:
>
>
> [mm]\left| exp z - exp c \right|[/mm] = [mm]\left| exp c \right|\left| exp(z - c) - 1 \right| \le[/mm]
> q [mm]\left| exp c \right|\left| z - c \right|;[/mm]
> somit gilt
> [mm]\left| exp z - exp c \right| \le \epsilon,[/mm] falls [mm]\left| z - c \right| \le[/mm]
> min(1, [mm]\left| q * exp c \right|^-^1 \epsilon).[/mm] q.e.d.
>
>
> Also nun meine Fragen:
>
> ich verstehe nicht nach welchem Prinzip hier die Stetigkeit
> bewiesen wird. Wird das delta-epsilon-Kriterium in
> irgendeiner Weise angewandt?
Ja
> Wenn ja wie? Und wo ist hier
> dann das Delta?
[mm] \delta= [/mm] min(1, $ [mm] \left| q \cdot{} exp c \right|^-^1 \epsilon). [/mm] $
> Oder wird ein anderes Kriterium angewandt. Da ist mir
> momentan allerdings nur das Folgenkriterium bekannt. Und
> nach Folgenkriterim sieht das hier ja nun nicht aus, denke
> ich. Gibt es denn noch ein anderes Prinzip, womit man die
> Stetigkeit einer Funktion beweisen kann?
> Was mir auch nicht klar ist: Am Anfang wird ja gesagt : "
> Aus dem Additionstheorem folgt leicht die Stetigkeit von
> exp z"
> Ich sehe aber nicht, wo in diesem Beweis das
> Additionstheorem verwendet wird?
Hier:
$ [mm] \left| exp z - exp c \right| [/mm] $ = $ [mm] \left| exp c \right|\left| exp(z - c) - 1 \right| [/mm] $
FRED
>
> Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen und mir was zum
> grundlegenden Prinzip dieses Beweises sagen. Das würde mir
> wirklich sehr weiterhelfen.
>
> Vielen Dank schon mal,
> Lieben Gruß Yonca!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 04.05.2011 | | Autor: | yonca |
Ok, danke schon mal.
Die Anwendung des Additionstheorem konnte ich jetzt nachvollziehen.
Allerdings ist mir z.B. unter anderem immer noch unklar, was es mit der Reihe q:= 1 + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] auf sich hat.
Das scheint ja irgend eine Art Abschätzung zu sein.
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Gruß, Yonca!
|
|
|
| |
|
Moin yonca,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ok, danke schon mal.
>
> Die Anwendung des Additionstheorem konnte ich jetzt
> nachvollziehen.
>
> Allerdings ist mir z.B. unter anderem immer noch unklar,
> was es mit der Reihe q:= 1 + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3!}\red{\ldots}[/mm]
> auf sich hat.
> Das scheint ja irgend eine Art Abschätzung zu sein.
> Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Eine ausführliche Herleitung:
[mm] \left| exp (w) - 1 \right|=\left| \sum_{k=0}^\infty\frac{w^k}{k!} - 1 \right|=\left| \sum_{k=1}^\infty\frac{w^k}{k!}\right|=\left|w \sum_{k=1}^\infty\frac{w^{k-1}}{k!}\right|=|w|\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{w^{k-1}}{k!}\right|\leq|w|\sum_{k=1}^\infty\frac{|w|^{k-1}}{k!}\leq|w|\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}=|w|q
[/mm]
erste Ungleichung: Dreiecksungleichung für Summen
zweite Ungleichung: [mm] |w|\leq1
[/mm]
>
> Gruß, Yonca!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 04.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
vielen Dank für die Antwort.
Habe drüber nachgedacht und mir folgendes überlegt (siehe unten)
> >
> > Allerdings ist mir z.B. unter anderem immer noch unklar,
> > was es mit der Reihe q:= 1 + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3!}\red{\ldots}[/mm]
> > auf sich hat.
> > Das scheint ja irgend eine Art Abschätzung zu sein.
> > Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
>
> Eine ausführliche Herleitung:
>
> [mm]\left| exp (w) - 1 \right|=\left| \sum_{k=0}^\infty\frac{w^k}{k!} - 1 \right|=\left| \sum_{k=1}^\infty\frac{w^k}{k!}\right|=\left|w \sum_{k=1}^\infty\frac{w^{k-1}}{k!}\right|=|w|\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{w^{k-1}}{k!}\right|\leq|w|\sum_{k=1}^\infty\frac{|w|^{k-1}}{k!}\leq|w|\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}=|w|q[/mm]
>
> erste Ungleichung: Dreiecksungleichung für Summen
> zweite Ungleichung: [mm]|w|\leq1[/mm]
> >
> > Gruß, Yonca!
> LG
also muss ich ja doch auch zuerst das Folgenkriterium anwenden, um zu zeigen dass exp(x) im Nullpunkt stetig ist, oder? Denn so wie fred97 geschrieben hat, hörte es sich so an als ob man nur das delta-epsilon Kriterium anzuwenden hat.
Und verstehe ich das richtig, dass man mit der Abschätzung im Prinzip folgendes zeigt:
Damit exp(x) an der Stelle Null stetig ist, muss nun für beliebige Nullfolge [mm] x_n [/mm] gezeigt werden, dass [mm] exp(x_n) [/mm] gegen exp(0)=1 geht
bzw. dass [mm] \left| exp(x_n) - 1 \right| [/mm] gegen Null geht.
Und die Nullfolge wird in meinem anfangs beschriebenen Beweis durch das w repräsentiert. Dementsprechend geht auch [mm] \left| q\right| \left| w \right| [/mm] = [mm] \left| w \right| [/mm] *(e - 1) gegen Null. Und da die zu untersuchende Folge [mm] \left| exp w - 1\right| [/mm] noch kleiner ist, geht auch diese gegen Null.
Ist das, was ich eben geschrieben habe vom Prinzip her so richtig. Oder sind da Denkfehler drin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich hast du das [mm] \epsilon, [/mm] /delta Kriterium:
[mm] |exp(w)-exp(0)|<\epsilon [/mm] falls [mm] |w-0|<\delta
[/mm]
jetzt hast du gezeigt dass |exp(w)-exp(0)|<q*|w| q ist irgendein Wert der endlich ist, du musst die Summe der Reihe nicht explizit kennen, die haupsahe ist sie konvergiert und ist ungleich 0
dann muss [mm] q*|w|\le \epsilon [/mm] sein also [mm] |w|\le \epsilon/q=\delta.
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Sa 07.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo und guten Morgen,
> Hallo
> eigentlich hast du das [mm]\epsilon,[/mm] /delta Kriterium:
> [mm]|exp(w)-exp(0)|<\epsilon[/mm] falls [mm]|w-0|<\delta[/mm]
> jetzt hast du gezeigt dass |exp(w)-exp(0)|<q*|w| q ist
> irgendein Wert der endlich ist, du musst die Summe der
> Reihe nicht explizit kennen, die haupsahe ist sie
> konvergiert und ist ungleich 0
> dann muss [mm]q*|w|\le \epsilon[/mm] sein also [mm]|w|\le \epsilon/q=\delta.[/mm]
>
habe jetzt verstanden, dass es sich hierbei um das epsilon delta Kriterium handelt.
Was mir aber trotzdem unter anderem auch noch unklar ist, ist folgendes:
Ich habe doch dann nach deiner Erklärung bis hierher erst die Stetigkeit für den Punkt x=0 nachgewiesen. Der Beweis aus meinem Skript, welchen ich oben beschrieben habe, geht ja noch weiter und auf einmal ist die Stetigkeit für die ganze Funktion nachgewiesen. Das kann ich nicht nachvollziehen. Kann mir dabei jemand helfen?
Gruß Yonca!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast es doch für alle [mm] |w|=|z-c|\le [/mm] 1 gezeigt? wieso für x=0 bzw z=0
siehe noch mal den Anfang!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 07.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo und guten Morgen,
also die Gleichungs- bzw. Ungleichungskette die du geschrieben hast kann ich nachvollziehen. Allerdings ist mir folgendes aufgefalllen: (weiter unterhalb des Zitats)
> Moin yonca,
> !
> > Ok, danke schon mal.
> >
> > Die Anwendung des Additionstheorem konnte ich jetzt
> > nachvollziehen.
> >
> > Allerdings ist mir z.B. unter anderem immer noch unklar,
> > was es mit der Reihe q:= 1 + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{3!}\red{\ldots}[/mm]
> > auf sich hat.
> > Das scheint ja irgend eine Art Abschätzung zu sein.
> > Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
>
> Eine ausführliche Herleitung:
>
> [mm]\left| exp (w) - 1 \right|=\left| \sum_{k=0}^\infty\frac{w^k}{k!} - 1 \right|=\left| \sum_{k=1}^\infty\frac{w^k}{k!}\right|=\left|w \sum_{k=1}^\infty\frac{w^{k-1}}{k!}\right|=|w|\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{w^{k-1}}{k!}\right|\leq|w|\sum_{k=1}^\infty\frac{|w|^{k-1}}{k!}\leq|w|\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}=|w|q[/mm]
>
> erste Ungleichung: Dreiecksungleichung für Summen
> zweite Ungleichung: [mm]|w|\leq1[/mm]
> >
> > Gruß, Yonca!
> LG
Und zwar geht es um das vierte Gleichheitszeichen von links. Ich kann das nachvollziehen und denke auch, dass an dieser Stelle ein Gleichheitszeichen stehen müsste. Bei mir im Skript allerdings steht an entsprechender Stelle ein "KleinerGleich"-Zeichen. Ist das dann bei mir ein Fehler?
Hier nochmal die entsprechende Ungleichung aus meinem Skript:
[mm] \left| exp w - 1 \right| \le \left| w \right| [/mm] * [mm] \left| 1 + \bruch{w}{2!} + \bruch{w^2}{3!} + ... \right|
[/mm]
Ich sehe das doch richtig, dass dieser von mir hier beschriebene Ausdruck der Stelle entspricht, wo bei dir das vierte Gleichheitszeichen von links steht, oder?
Vielen Dank schon mal und viele Grüße,
Y.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
= ist richtig! aber damit ist natürlich [mm] \le [/mm] nicht falsch. (das < Zeichen kommt erst, wenn man den Betrag in die Summe zieht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
diese Reihe besitzt die Summe e-1. Vielleicht hilft dir das ein Stück weiter?
Gruß, Diophant
|
|
|
|
