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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit einer Funktion
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Stetigkeit einer Funktion: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Fr 10.01.2014
Autor: rosapanther

Hey :-)
es geht um folgenden Beweis:
Sei [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funtkion die in jedem Punkt stetig ist und für r [mm] \in \IQ [/mm] gelte f(r)=0 . nun soll ich zeigen, dass für alle x  [mm] \in \IR [/mm] gilt f(x)=0
mein Ansatz:
wir wissen ja, das lim [mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm]
da r [mm] \in \IQ [/mm] gilt auch r [mm] \in \IR [/mm] oder?
kann man die Definition so weiter umformen oder bin ich auf dem Holzweg?


LG

        
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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Fr 10.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  wir wissen ja, das lim [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]f(x_0)[/mm]

Ja, für alle [mm] x_0 [/mm] und alle Folgen [mm] $x_n \to x_0$ [/mm]

> da r [mm]\in \IQ[/mm] gilt auch r [mm]\in \IR[/mm] oder?

Das ist trivial

> kann man die Definition so weiter umformen oder bin ich auf dem Holzweg?

Mach dir klar, dass es zu jedem [mm] $x\in\IR$ [/mm] eine Folge [mm] $(r_n) \subseteq \IQ$ [/mm] gibt mit [mm] $r_n \to [/mm] x$ und dann nutze deinen Ansatz.

Gruß,
Gono.

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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Fr 10.01.2014
Autor: rosapanther

Danke erstmal
>  
> Mach dir klar, dass es zu jedem [mm]x\in\IR[/mm] eine Folge [mm](r_n) \subseteq \IQ[/mm]
> gibt mit [mm]r_n \to x[/mm] und dann nutze deinen Ansatz.

diese Folge gibt es, da ja es ja eine Teilfolge von x->x ist und r eine Teilmenge von X ist. oder wie beweise ich diese Aussage?



Bezug
                        
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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Fr 10.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>   diese Folge gibt es, da ja es ja eine Teilfolge von x->x ist

Was? Der Satz macht keinen Sinn

> und r eine Teilmenge von X ist

und der noch weniger. Tipp: Dichtheit.

Gruß,
Gono.

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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Fr 10.01.2014
Autor: rosapanther

Ja da sagt man von der Teilmenge [mm] \IQ [/mm] , sie liege dicht in dem Raum [mm] \IR [/mm] und  jede Umgebung eines beliebigen Punktes  aus [mm] \IR [/mm] immer auch ein Element aus  [mm] \IQ [/mm] enthält. aber das reicht nicht zu begründen das die Folge r-> x existiert oder?

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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Fr 10.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja da sagt man von der Teilmenge [mm]\IQ[/mm] , sie liege dicht in
> dem Raum [mm]\IR[/mm] und  jede Umgebung eines beliebigen Punktes  
> aus [mm]\IR[/mm] immer auch ein Element aus  [mm]\IQ[/mm] enthält.

[ok]

> aber das reicht nicht zu begründen das die Folge r-> x existiert oder?

Doch, du kannst sie sogar konstruktiv angeben auf diese Weise.
Versuchs mal.

Gruß,
Gono.


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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Fr 10.01.2014
Autor: rosapanther

meinst du etwas f: [mm] \IQ [/mm] -> [mm] \IR? [/mm]

Bezug
                                                        
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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Sa 11.01.2014
Autor: fred97


> meinst du etwas f: [mm]\IQ[/mm] -> [mm]\IR?[/mm]  

Nein !

Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Für eine positive Zahl s sei [mm] U_s:=\{x \in \IR: |x-x_0|
Zu s=1 ex. ein [mm] r_1 \in \IQ [/mm] mit: [mm] r_1 \in U_1 [/mm]

Zu [mm] s=\bruch{1}{2} [/mm] ex. ein [mm] r_2 \in \IQ [/mm] mit: [mm] r_2 \in U_{\bruch{1}{2}} [/mm]

Zu [mm] s=\bruch{1}{3} [/mm] ex. ein [mm] r_3 \in \IQ [/mm] mit: [mm] r_3 \in U_{\bruch{1}{3}} [/mm]

etc ....


Wir erhalten so eine Folge rationaler Zahlen [mm] (r_n) [/mm]  mit:

   [mm] |r_n-x_0|< \bruch{1}{n} [/mm]  für jedes n.

Fazit: [mm] r_n \to x_0 [/mm]

FRED



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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Sa 11.01.2014
Autor: rosapanther

okay danke
ich habe bei dem Thema leider krankheitsbedingt gefehlt und es ist schwer sich dies so anzueignen. Ich würde mich freuen wenn du mir bei meinen Fragen helfen kannst:
1. Wofür steht s? kann mamn mehr darüber aussagen als das es eine positive Zahl bzw. ein Index ist? s müsste doch eigentlich eine beliebig kleine Zahl sein, oder ? da der Abstand für Große n ja gegen 0 tendieren soll wegen [mm] (x_{n}->{x_0} [/mm]
2. Wie kommst du auf die Formulierung [mm] |x-x_{0}| [/mm] < s
3. Wieso ist beispielsweise (1/3) = [mm] r_3 [/mm] und nicht [mm] r_{1/3} [/mm] ?

dann muss ich ja noch beweisen das f(x)=0
also:
[mm] r_{n} [/mm] -> [mm] x_0 [/mm]
[mm] f(r_{n})=0 [/mm] also müsste doch eigentlich auch [mm] f(x_0) [/mm] für große n =0 sein oder? und wegen [mm] x_{n} [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] gilt demnach ja auch f(x)=0
kann man das so sagen?


LG


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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Sa 11.01.2014
Autor: leduart

Hallo
Fred hat dir einen Weg gezeigt, wie man aus der dichte der zahlen eine Folge [mm] r_n [/mm] konstruieren kann mir r:_n Folge deren g
Glieder in immer kleineren Umgebungen von [mm] x_0 [/mm] liegen, d,h, [mm] r_n [/mm] konvergiert nach Def, gegen [mm] x_0 [/mm]
sieh dir den Beitrag damit nich mal an!
[mm] r_{1/3} [/mm] macht keinen Sinn, da man ja eine Folge von r will
du willst [mm] |x-x_0|<1/n [/mm]

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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Sa 11.01.2014
Autor: rosapanther

ja ok. ich verstehe denk ich. die Koeffizienten sollen ja auch wachsen...
aber wie kann ich das Wissen, dass [mm] r->x_0 [/mm] geht nun nutzen um zu beweisen das f(x)=0?


Grüße

Bezug
                                                                                        
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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Sa 11.01.2014
Autor: leduart

Hallo
weisst du denn  was [mm] U_{1/n)(x_0} [/mm] ? ist.  was weist du über eine zahl r in [mm] U_{1/n)(x_0} [/mm] ? Lies wirklich mal Freds post genau, nimm dir dafür Zeit (viel wenn es sein muß) , zeichne vielleich die entsprechenden U auf. Da stand schon fast der komplette Beweis.
Und du mußt ihn nur verdauen, vorkauen ist hier nicht.
Gruß leduart

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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 So 12.01.2014
Autor: rosapanther

wie gesagt: ich habe bei dem Thema leider gefehlt :-( daher ist mir das alles nicht so vertraut. [mm] U_{n} [/mm] ist doch die Menge der reellen Zahlen. und wenn ich weiß, dass [mm] r->x_0 [/mm] (somit auch [mm] f(r)->f(x_0) [/mm] )geht und wegen der Stetigkeit auch voraussetze das [mm] x_{n}->x{0} [/mm] ...allerdings ist mir fraglich wie ich nun auf f(x)=0 schließen kann. dann müsste ich ja voraussetzen, dass r=x oder?


Grüße
Ps: diesmal habe ich mir wirklich lange Gedanken gemacht

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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 So 12.01.2014
Autor: fred97


> wie gesagt: ich habe bei dem Thema leider gefehlt :-( daher
> ist mir das alles nicht so vertraut. [mm]U_{n}[/mm] ist doch die
> Menge der reellen Zahlen.


Unfug. Wer lesen kann ist im Vorteil:

$ [mm] U_s:=\{x \in \IR: |x-x_0|

> und wenn ich weiß, dass [mm]r->x_0[/mm]

[mm]r_n->x_0[/mm]   !!!!!

(somit auch [mm]f(r)->f(x_0)[/mm] )geht


[mm]f(r_n)->f(x_0)[/mm]  !!!!

> und wegen der Stetigkeit
> auch voraussetze das [mm]x_{n}->x{0}[/mm]


Was ????


>...allerdings ist mir

> fraglich wie ich nun auf f(x)=0 schließen kann. dann
> müsste ich ja voraussetzen, dass r=x oder?

Wir haben [mm] r_n \in \IQ [/mm] für alle n und [mm]f(r_n)->f(x_0)[/mm]

Nach Vor. ist [mm] f(r_n)=0 [/mm] für alle n.

FRED

>
> Grüße
>  Ps: diesmal habe ich mir wirklich lange Gedanken gemacht


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Stetigkeit einer Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 So 12.01.2014
Autor: rosapanther

tut mir leid das du so ein mir verzweifeln musst :-P
also bis zu [mm] f(r_{n})->f(x_0) [/mm] komme ich noch mit. aber wie schlussfolgere ich davon auf [mm] r_{n}=x_{n} [/mm]
vielleicht so:
wegen [mm] f(r_{n}) [/mm] =0 gilt dann auch:
[mm] 0->f(x_0) [/mm] und wegen 0 [mm] \in \IR [/mm] gilt auch ...
könnte man so argumentieren?

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Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 So 12.01.2014
Autor: fred97


> tut mir leid das du so ein mir verzweifeln musst :-P
>  also bis zu [mm]f(r_{n})->f(x_0)[/mm] komme ich noch mit. aber wie
> schlussfolgere ich davon auf [mm]r_{n}=x_{n}[/mm]

Was ist denn ülötzlich [mm] x_n [/mm] ??????????????????????????????


> vielleicht so:
> wegen [mm]f(r_{n})[/mm] =0 gilt dann auch:
> [mm]0->f(x_0)[/mm] und wegen 0 [mm]\in \IR[/mm] gilt auch ...
>  könnte man so argumentieren?

Wegen  [mm]f(r_{n})[/mm] =0  gilt: [mm] f(x_0)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(r_n)=0. [/mm]

FRED


Bezug
                                                                                                                                
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Stetigkeit einer Funktion: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 So 12.01.2014
Autor: rosapanther

du hast natürlich recht. ich weiß nun was gemeint ist danke :-)

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