Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:23 Di 26.05.2009 | | Autor: | fmath |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] sodass
f(x) := [mm] f(n)=\begin{cases} e^{1/ (x^{2}-1)}, & \mbox{falls } x \in (-1,1) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f stetig auf [mm] \IR [/mm] ist.
b) Zeichnen Sie den Graph von f.
c) Zeigen Sie Mithilfe einer Induktion, dass es ein Polynom [mm] P_{n} [/mm] gibt, sodass
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \left(\bruch{P_{n}(x)}{(1-x^{2})^{2n}} \right)*exp \left(\bruch{1}{x^{2}-1} \right)
[/mm]
gilt, für alle x [mm] \in [/mm] (−1, 1) und n [mm] \in \IN. [/mm] Hier bedeutet [mm] f^{(n)} [/mm] die n-te Ableitung von f.
(Tipp: Es ist nicht erforderlich, eine Formel für [mm] P_{n} [/mm] anzugeben!)
d) Wir erinnern uns, dass die linke (bzw. rechte) Ableitung einer Funktion g in a gegeben ist
durch [mm] \lim_{x \to a} [/mm] (g(x) − g(a))/(x − a), wobei x > a (bzw. x < a). Der Limes heißt [mm] g_{1}'(a) [/mm] (bzw. [mm] g_{r}'(a)). [/mm] Wenn [mm] g_{1}'(a) [/mm] und [mm] g_{r}'(a) [/mm] existieren und gleich sind dann existiert g′(a). Mithilfe einer
Induktion beweisen Sie auf diese Weise, dass [mm] f^{(n)}(1) [/mm] existiert, für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
e) Ist f reell-analytisch?
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Hallo Miteinander,
Ich habe folgende Aufgabe, die ich lösen muss, aber leider komme nicht weiter. Kann mir jemand bitte helfen?
Ich habe versucht die links und rechtseitige Limes jeweils mit -1 und 1 wie es gegeben war zu berechen und weiss nicht ob es so richtig ist. Bitte um Erklärung
Danke im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Di 26.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo fmath und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das sind ne Menge Teilaufgaben. Hast du alle bis d)? und bezieht sich deine frage darauf?
Du sagst du hast was versucht, das solltest du hier zeigen, und wir stimmen zu, ergaenzen oder helfen, aber wir liefern nicht einfach Loesungen. Ich hoffe du hast die Forenregeln gelesen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fmath |
Meine Frage bezieht sich auf a) und zwar:
Nach Def.: Eine Funktion ist stetig wenn;
[mm] \lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)= \lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}).
[/mm]
Somit ist:
[mm] f(x_{0})=f(-1)= [/mm] exp
[mm] f(x_{0})= [/mm] f(1)= exp und
[mm] \lim_{x \to -1^{-}}f(x)=? \lim_{x \to -1^{+}}f(x)
[/mm]
[mm] =\lim_{x \to -1^{-}}exp(\bruch{1}{x^{2}-1})
[/mm]
[mm] =\lim_{x \to -1^{-}}exp(\bruch{1}{1-1})
[/mm]
[mm] =\lim_{x \to -1^{-}}exp(\bruch{1}{0})
[/mm]
[mm] =\lim_{x \to -1^{-}}exp^{\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
und
[mm] \lim_{x \to -1^{+}}f(x)=\infty
[/mm]
und das gleiche habe ich auch für x=1 da x [mm] \in [/mm] (-1,1)
und erhalte:
[mm] \lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\infty
[/mm]
Da aber
f(-1) [mm] \not= \lim_{x \to -1^{-}}f(x) \not= \lim_{x \to -1^{+}}f(x) [/mm]
und
f(1) [mm] \not= \lim_{x \to 1^{-}}f(x) \not= \lim_{x \to 1^{+}}f(x)
[/mm]
kann ich sagen, dass die Funktion nicht stetig ist.
Nur weiss ich nicht ob ich damit auf den richtigen Weg bin diese Stetigkeit zu zeigen.
Bin noch bei der d)
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