Stetigkeit einer Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für die nachstehenden Funktionen ist zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 so zu bestimmen das aus | [mm] x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta_{\varepsilon} [/mm] die Beziehung |f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] folgt.
a) f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] D(f) = (0,inf)
b) f(x) = [mm] \wurzel{4+x^2} [/mm] D(f) = [mm] \IR [/mm] |
Ich stehe total an und hab ne volle matscheibe!
Ich weiß was die epsilon und die delta epsilon umgebung ist und das sie aussagt das für ein bestimmtes x0 alle werte x die einen kleineren abstand als delta Epsilon haben bei f(x) einen kleineren abstand als epsilon zu f(x0 haben)
Ich hab das verstanden durch skizzen und viel lesen!
Jetzt bin ich soweit das ich die theorie dahinter verstanden haben stetig in dem Punkt wo diese bedinung stimmt und zutrifft.
Meine Frage:
- Was muss ich als x0 wählen bei diesen beispielen?
- Wie kann ich epsilon bestimmen bzw. Wie kann ich delta epsilon bestimmen?
- Wie gehe ich Grundsätzlich an solche Beispiele heran?
Ich bin hier ehrlich gesagt am verzweifeln weil mir nix einfallen will....
Ich verlange keine Lösung die fix fertig hingeschrieben ist ich möchte tipps. Und falls einer ein link hat zu beispielen über stetigkeitsbeweise die durchgerechnet sind wäre der link sehr nett. Ich möchte in die thematik endlcih reinkommen hab bisher in analysis ne 1 an der Uni. Und die will ich halten :)
lg
christoph
Ich hab diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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Hiho,
na dann wollen wir dir deine Fragen mal ein wenig erhellen 
> Meine Frage:
> - Was muss ich als x0 wählen bei diesen beispielen?
gar nicht.
Normalerweise betrachtest du Stetigkeit ja an einer Stelle, bspw. [mm] $x_0 [/mm] = 2$. Das sollst du hier nun aber nicht tun, sondern an einer BELIEBIGEN Stelle [mm] x_0 [/mm] des Definitionsbereichs. Lass dich davon nicht verwirren, soviel schwerer ist das auch nicht ;) Nur anstatt einer Zahl steht dort halt.
> - Wie kann ich epsilon bestimmen bzw. Wie kann ich delta
> epsilon bestimmen?
Also [mm] \varepsilon [/mm] kannst du gar nicht bestimmen, das ist nämlich gegeben, denn es soll ja gelten $|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
Sinn macht es also durch günstige Abschätzungen $|f(x) - [mm] f(x_0)|$ [/mm] so abzuschätzen, dass man da irgendwie [mm] $|x-x_0|$ [/mm] reinbekommt, denn das kann man ja durch ein [mm] \delta [/mm] abschätzen, also so in der Art:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] .... [mm] \le c(x_0)|x-x_0|$ [/mm] wobei [mm] c(x_0) [/mm] irgendeine Konstante ist, die generell erstmal von [mm] x_0 [/mm] abhängt. Davon wissen wir ja dann, dass gilt:
[mm] $c|x-x_0| [/mm] < [mm] c\delta$ [/mm] und wenn das noch kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist, gilt ja:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] .... [mm] \le c|x-x_0| [/mm] < [mm] c\delta \le \varpesilon$ [/mm]
Nun können wir daraus also ablesen, dass wir günstigerweise [mm] $\delta \le \bruch{\varepsilon}{c}$ [/mm] wählen sollten, denn dann gilt für unser gewähltes [mm] \delta [/mm] gerade das was soll:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le c\delta \le \varepsilon$
[/mm]
Die Aufgabe lautet also immer: Finde [mm] \delta [/mm] zu gegebenem [mm] \varepsilon.
[/mm]
Als Einleitung mal ein Beispiel: $f(x) = [mm] \sqrt{x}, [/mm] D(f) = [mm] [0,\infty)$, [/mm] dann gilt:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| [/mm] = [mm] \left|(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})*\bruch{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|$
[/mm]
[mm] $=\left|\bruch{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\rught| \le \left|\bruch{x-x_0}{\sqrt{x_0}}\right| = \delta * \bruch{1}{\sqrt{x_0}}$
Wenn das nun kleiner sein soll als \varepsilon, wie müsste ich dann \delta wählen? :-)
Einige Umformungen gehen in einem Spezialfall nicht, welche? Warum ist das aber nicht schlimm? Wie könnte man das umgehen?
Nun du :-)
MFG,
Gono.
[/mm]
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