Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:50 So 13.12.2009 | | Autor: | Gratwanderer |
| Aufgabe | Welche Grenzwerte existieren? Falls sie existieren, welchen Wert haben sie?
1. [mm] \limes_{x\rightarrow3} \frac{x-3}{\wurzel{6+x}-3*\wurzel{x-2}}
[/mm]
2. [mm] \limes_{x\rightarrow\overline{0}} \frac{\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}}{\wurzel{x}}
[/mm]
(x soll bei Aufgabe 2 "von oben" gegen 0 laufen) |
Hallo,
komme bei Aufgabe 1 an einer Stelle nicht mehr weiter und würde gerne wissen, ob es bis dahin richtig ist und wie es weitergeht.
[mm] \limes_{x\rightarrow3} \frac{x-3}{\wurzel{6+x}-3*\wurzel{x-2}} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow3} \frac{(x-3)(\wurzel{6+x}+3*\wurzel{x-2})}{6+x-9(x-2)} [/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow3} \frac{(x-3)(\wurzel{6+x}+3*\wurzel{x-2})}{-8x+24}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow3} \frac{(x-3)(\wurzel{6+x}+3*\wurzel{x-2})}{-8(x-3)}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow3} \frac{\wurzel{6+x}+3*\wurzel{x-2}}{-8}
[/mm]
= [mm] \frac{\wurzel{9}+3*\wurzel{1}}{-8}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Habe mir den Graphen mal einzeichnen lassen und (wenn ich nicht falsch liege) müsste dieser an der Stelle 3 stetig sein. Wenn ich aber jetzt den Limes berechne, bekomme ich unterschiedliche Grenzwerte.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe 
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
ich dachte, wenn man
[mm] \frac{\wurzel{9}+3*\wurzel{1}}{-8}
[/mm]
löst, kommt man auf
[mm] \frac{\pm3+(\pm3)}{-8}
[/mm]
und müsste dann jeden einzelnen Fall durchgehen?
Und wie müsste ich jetzt weitermachen, wenn ich gezeigt habe, dass [mm] -\frac{3}{4} [/mm] der GW für [mm] x\to3 [/mm] ist?
Mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] hätte ich folgenden Ansatz:
[mm] |x-\frac{3}{4}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] |f(x)-f(-\frac{3}{4})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber muss ich das machen? Und wenn ja, wofür ist das gut?
Gruß,
Gratwanderer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 13.12.2009 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo Loddar,
>
> ich dachte, wenn man
>
> [mm]\frac{\wurzel{9}+3*\wurzel{1}}{-8}[/mm]
>
> löst, kommt man auf
>
> [mm]\frac{\pm3+(\pm3)}{-8}[/mm]
>
> und müsste dann jeden einzelnen Fall durchgehen?
Die Wurzelfunktion ist PER DEFINITION positiv, du brauchst keine Fallunterscheidung, die Lösung ist eindeutig.
>
> Und wie müsste ich jetzt weitermachen, wenn ich gezeigt
> habe, dass [mm]-\frac{3}{4}[/mm] der GW für [mm]x\to3[/mm] ist?
Das passt schon, du bist fertig.
>
> Mit dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] hätte ich folgenden
> Ansatz:
>
> [mm]|x-\frac{3}{4}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und [mm]|f(x)-f(-\frac{3}{4})|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Aber muss ich das machen? Und wenn ja, wofür ist das gut?
Nein, das braucht kein normaler Mensch.
Grüße,
Yanko
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Mit dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] hätte ich folgenden
> Ansatz:
>
> [mm]|x-\frac{3}{4}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und [mm]|f(x)-f(-\frac{3}{4})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du darauf? Es wird doch der Grenzwert für [mm] $x\to x_0=3$ [/mm] gesucht.
Da musst du zu bel. vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] angeben, so dass für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta$, [/mm] also [mm] $|x-3|<\delta$ [/mm] gefälligst gilt [mm] $\left|f(x)-\left(-\frac{3}{4}\right)\right|<\varepsilon$ [/mm] ist.
Aber das ist - wie mein Vorredner schon sagte - nur was für Menschen mit zuviel Tagesfreizeit 
> Aber muss ich das machen? Und wenn ja, wofür ist das gut?
>
> Gruß,
>
> Gratwanderer
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke, ich glaub jetzt ist mir das alles noch was klarer geworden.
Bei Aufgabe 2 hab ich es trotzdem nochmal mit dem [mm] \delta-\varepsilon-Kriterium [/mm] versucht und bin auf folgendes gekommen. Wäre aber auch froh, wenn mir jemand evtl. einen einfacheren Weg zeigen könnte.
[mm] \limes_{x\rightarrow\overline{0}} \frac{\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0: 0
Habe mir den Graphen jetzt einzeichnen lassen und dachte, dass der GW für [mm] x\to0 [/mm] bei 1 sein könnte. (Bild des Graphen befindet sich im Anhang)
|f(x)-1| = [mm] |\frac{\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}}{\wurzel{x}}-1| [/mm] = [mm] |\frac{\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}-\wurzel{x}}{\wurzel{x}}| [/mm] = [mm] |\frac{(\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}-\wurzel{x})*\wurzel{x}}{x}|
[/mm]
= [mm] |\frac{\wurzel{1+x}-\wurzel{1-x}-x}{x}|
[/mm]
Weiß jetzt leider nicht mehr weiter.
Gruß,
Gratwanderer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Gratwanderer!
Du solltest hier erflogreicher sein, wenn Du den Term zunächst wie folgt umformst:
$$\frac{\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}}{\wurzel{x}}$$
$$= \ \frac{\left(\wurzel{\frac{1}{x}+1}-\wurzel{\frac{1}{x}-1}\right)*\left(\wurzel{\frac{1}{x}+1}+\wurzel{\frac{1}{x}-1}\right)}{\wurzel{x}*\left(\wurzel{\frac{1}{x}+1}+\wurzel{\frac{1}{x}-1}\right)}$$
$$= \ \frac{\frac{1}{x}+1-\frac{1}{x}+1}{\wurzel{x}*\left(\wurzel{\frac{1}{x}+1}+\wurzel{\frac{1}{x}-1}\right)}$$
$$= \ \frac{2}{\wurzel{1+x}+\wurzel{1-x}\right)}$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
achso, dann ist ja
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \frac{2}{\wurzel{1+x}+\wurzel{1-x}} [/mm] = 1
und dann hab ich den GW
Vielen Dank!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das kann man noch zusammenfassen zu [mm] $-\bruch{3}{4}$ [/mm] .
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
welche denn? Du hast doch exakt einen Wert berechnet.
