Stetigkeit einer Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Jede rationale Zahl kann in der Form [mm] x=\bruch{m}{n} [/mm] geschrieben werden, wobei n>0 ist und m und n teilerfremde ganze Zahlen sind. Für x=0 wähle man n=1.
Auf [mm] \IR^1 [/mm] sei eine Funktion f wie folgt definiert:
f(x)= [mm] \pmat{ 0, & x irrational \\ \bruch{3}{4}, & x=\bruch{m}{n} }
[/mm]
Man beweise, dass f an jede irrationalen Punkt stetig ist und das f an jeden rationalen Punkt unstetig ist. |
Ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. 9 Punkte soll es auf die Aufgabe geben, das heißt, der Beweis muss extrem umfangreich sein.
ich weiß zwar wie die Aufgabe gemeint ist, aber wie zeige ich, dass die Funktion z.B. bei irrationalen Zahlen stetig ist?
Eine stetige funktion ist dadurch definiert das es für jedes f(x) ein f'(x) gibt... also das die fukntion an jeder stelle x differenzierbar ist...
Ich brauche dringend eure Hilfe, am betsen Schritt für Schritt eine Erklärung, da mir auch einiges an Vorwissen vielleicht fehlt.
Gruß
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo MatheGirl,
zwei Dinge:
1. Deine Definition von stetiger Funktion ist grundlegend falsch. Eine differenzierbare Funktion ist zwar immer stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar. Es gibt sogar Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind.
Als Beispiel schau Dir $f(x) = |x|$ auf dem Intervall $[-1,1]$ an: die Funktion ist stetig, aber bei $x=0$ nicht differenzierbar (linksseitige und rechtsseitige Ableitung stimmen nicht überein).
Die richtige Definition der Stetigkeit ist:
Eine Funktionn $f$ heisst stetig in [mm] $x_{0}$, [/mm] falls es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt, so dass aus [mm] $|x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt [mm] $|f(x)-f(x_{0})| [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Anders ausgedrückt: Wenn Du Dich mit dem Argument $x$ nicht weit von [mm] $x_{0}$ [/mm] entfernst, darf sich auch der Funktionswert $f(x)$ nicht weit von [mm] $f(x_{0})$ [/mm] entfernen.
2. Die Aufgabenstellung dürfte falsch sein, die angegebene Funktion ist definitiv überall unstetig:
Wenn $x$ irrational ist, wähle eine rationale Folge [mm] $x_{n}$, [/mm] die gegen $x$ konvergiert, dann ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}{f(x_{n})} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \not= [/mm] f(x) = 0$
So eine folge rationaler [mm] $x_{n}$ [/mm] existiert, weil [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt.
Soweit ich weiss, müsste die Funktion eher so ähnlich definiert sein:
$f(x) = [mm] \begin{cases} 1 & \mbox{für } x=0, \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{für } x = \bruch{m}{n} \mbox{ gekürzt} \end{cases}$
[/mm]
Überprüfe bitte nochmal die Aufgabenstellung.
Gruß,
AT-Colt
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| Aufgabe | | f(x)= [mm] \pmat{ 0, & x = irrational \\ \bruch{1}{n} & x=\bruch{m}{n} } [/mm] |
tatsächlich, ich habe mich verschrieben....ich hoffe nun stimmt es soweit.
trotzdem habe ich noch keinen richtigen Anfang gefunden, wie ich das zeigen kann!
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> f(x)= [mm]\pmat{ 0, & x = irrational \\ \bruch{1}{n} & x=\bruch{m}{n} }[/mm]
>
> tatsächlich, ich habe mich verschrieben....ich hoffe nun
> stimmt es soweit.
> trotzdem habe ich noch keinen richtigen Anfang gefunden,
> wie ich das zeigen kann!
Hi,
Eine Folge, die gegen [mm] $\frac{m}{n}$ [/mm] konvergiert, ist z.B. [mm] $\left(x_n\right)_{n\in\IN}=\frac{m}{n}*\sqrt[n]{k}$ [/mm] mit [mm] $k\in\IR\backslash\IQ$.
[/mm]
Wogegen konvergiert dann [mm] $f\left(x_n\right)$?
[/mm]
Grüße, Stefan.
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[mm] f(x_n) [/mm] müsste ja eigentlich gegen 0 konvergieren oder irre ich mich?
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Punkt 1)
Stefan meinte die Folge [mm] $x_i [/mm] = [mm] \bruch{m}{n}\sqrt[i]{k}$
[/mm]
Was gilt für jedes [mm] x_i?
[/mm]
Was also für jedes [mm] f(x_i)?
[/mm]
Wieso ist der Grenzwert dann 0?
Was müsste er für Stetigkeit aber sein?
MFG,
Gono.
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Der Grenzwert ist also 1, damit Stetigkeit gilt!
ich habe leider keine Ahnung.. bin echt doof was Mathe angeht....vielleicht wiederhole ich erstmal noch das ganze Themengebiet und vielleicht verstehe ich dann ja was...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Der Grenzwert ist also 1, damit Stetigkeit gilt!
Wo kommt denn die 1 her? Gehen wir die Frage schrittweise durch:
> Punkt 1)
>
> Stefan meinte die Folge $ [mm] x_i [/mm] = [mm] \bruch{m}{n}\sqrt[i]{k} [/mm] $
>
> Was gilt für jedes $ [mm] x_i? [/mm] $
Die Frage ist so gemeint: Ist jedes [mm] $x_i$ [/mm] eine rationale oder eine irrationale Zahl?
(Tipp: $k$ wurde hier als irrationale Zahl festgelegt, Wurzeln aus irrationalen Zahlen sind nie rational)
> Was also für jedes $ [mm] f(x_i)? [/mm] $
Deine Funktion unterscheidet, ob Du rationale oder irrationale Zahlen einsetzt. Wenn Du auf die vorhergehende Frage geantwortet hast, kannst Du vielleicht den Funktionswert zum [mm] $f(x_i)$ [/mm] angeben.
> Wieso ist der Grenzwert dann 0?
Du hsat im vorigen Schritt eine Fogle von Zahlen [mm] $f(x_i)$ [/mm] bekommen, was ist der Grenzwert davon?
> Was müsste er für Stetigkeit aber sein?
Was ist der Funktionswert [mm] $f(\bruch{m}{n})$? [/mm] Kann Stetigkeit vorliegen?
Gruß,
AT-Colt
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Dankeschön für den Hinweis!
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okay, also nochmal von vorne anfangen..
- also [mm] x_i [/mm] ist demzufolge eine irrationale Zahl
- wenn [mm] x_i [/mm] irrational ist, dann ist [mm] f(x_i) [/mm] auch irrational, ich weiß aber nicht den Grenzwert....der müsste ja dann 0 sein
- der Grenzwert von [mm] f(x_i) [/mm] ist 0, wenn Stetigkeit gilt,dann müsste er aber >0 sein, stimmt das?
Ich habe es leider immer noch nicht richtig verstanden, auch nicht, wie man mit dem Beispiel zu einem ausführlichen Beweis kommen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mi 13.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> okay, also nochmal von vorne anfangen..
>
> - also [mm]x_i[/mm] ist demzufolge eine irrationale Zahl
Korrekt.
> - wenn [mm]x_i[/mm] irrational ist, dann ist [mm]f(x_i)[/mm] auch irrational,
> ich weiß aber nicht den Grenzwert....der müsste ja dann 0
> sein
Zweitens: daraus, dass [mm] $f(x_i)$ [/mm] irrational ist, folgt nicht, dass der Grenzwert für [mm] $i\rightarrow\infty$ [/mm] 0 ist.
Erstens: [mm] $f(x_i)$ [/mm] ist nicht irrational.
Wir hatten $f(x)$ so definiert, dass [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] rauskommt, wenn [mm] $x=\bruch{m}{n}$, [/mm] also rational ist. Aber auch so, dass $f(x)=0$ ist, wenn $x$ irrational ist. Welchen Wert hat also [mm] $f(x_i)$, [/mm] wenn [mm] $x_i$ [/mm] irrational ist? Und wenn immer dasselbe rauskommt, egal welches [mm] $x_i$ [/mm] Du einsetzt, was ist dann der Grenzwert?
> - der Grenzwert von [mm]f(x_i)[/mm] ist 0, wenn Stetigkeit gilt,dann
> müsste er aber >0 sein, stimmt das?
Ja, der Grenzwert ist 0 (wie Du rausbekommst, wenn Du Dir den vorigen Punkt nochmal genau durchliest).
Der Grenzwert der Funktion für [mm] $x_\infty [/mm] = [mm] \bruch{m}{n}$ [/mm] müsste aber ganz richtig [mm] $\frac{1}{n} [/mm] > 0$ sein, wenn sie da stetig sein soll.
> Ich habe es leider immer noch nicht richtig verstanden,
> auch nicht, wie man mit dem Beispiel zu einem
> ausführlichen Beweis kommen kann
Wir wollen gerade zeigen: An jeder rationalen Stelle [mm] $x_\infty$ [/mm] ist $f$ unstetig, also dass es eine Folge [mm] $x_i$ [/mm] gibt, die gegen [mm] $x_\infty$ [/mm] konvergiert, aber für die [mm] $\limes_{i\rightarrow\infty}f(x_i)\not= f(x_\infty)$ [/mm] gilt.
Den letzten Schluss hast Du schon gemacht, Du musst das nurnoch so verpacken, dass wir nichts mehr zu mäkeln haben ^^;
Und dann muss noch gezeigt werden, dass $f(x)$ bei jedem irrationalen $x$ stetig ist.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 14.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank für die geduldige Hilfe, aber trotzdem kriege ich keinen vernünftigen und ausführlichen Beweis aufs Papier...ich muss glaub ich selbst erstmal durchsteigen und alles zusammen sammeln und es vor allem erstmal richtig verstehen!! das ist das wichtigste!
Und ich habe noch einmal nachgefragt, der Beweis sollte "sehr" ausführlich sein, um die Punktzahl erreichen zu können....
Gruß
Mathegirl
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