Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] f:(1,\infty)\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=[(x-1)/(x+1)]^{x} [/mm] |
Hallo!
Ich habe versucht die Stetigkeit mit Hilfe des epsilon-delta-Kriteriums nachzuweisen:
[mm] |f(x)-f(x_{0})|=|(\bruch{x-1}{x+1} )^{x}-(\bruch{x_{0}-1}{x_{0}+1})^{x_{o}}|
[/mm]
[mm] <|\bruch{x-1}{x+1}-\bruch{x_{0}-1}{x_{0}+1}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{(x-1)(x_{0}+1)-(x_{0}-1)(x+1)}{(x+1)(x_{0}+1)}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{2(x-x_{0})}{(x+1)(x_{0}+1)}|
[/mm]
[mm] <\bruch{2\delta}{|(x+1)(x_{0}+1)|}
[/mm]
[mm] <\bruch{\delta}{x_{0}+1}=\varepsilon
[/mm]
damit ist die Funktion stetig für [mm] x\in(1,\infty)
[/mm]
ist das soweit ersteinmal korrekt?
falls ja hätte ich noch eine kleine Frage: könnte man in dem letzten Term das [mm] x_{0} [/mm] noch mit 1 abschätzen und man erhält somit [mm] \bruch{\delta}{2}=\varepsilon?
[/mm]
MfG
Doc
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:(1,\infty)\to\IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=[(x-1)/(x+1)]^{x}[/mm]
> Hallo!
> Ich habe versucht die Stetigkeit mit Hilfe des
> epsilon-delta-Kriteriums nachzuweisen:
>
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|=|(\bruch{x-1}{x+1} )^{x}-(\bruch{x_{0}-1}{x_{0}+1})^{x_{o}}|[/mm]
>
> [mm]<|\bruch{x-1}{x+1}-\bruch{x_{0}-1}{x_{0}+1}|[/mm]
Wo kommt denn diese Ungleichung her ???????
>
> [mm]=|\bruch{(x-1)(x_{0}+1)-(x_{0}-1)(x+1)}{(x+1)(x_{0}+1)}|[/mm]
>
> [mm]=|\bruch{2(x-x_{0})}{(x+1)(x_{0}+1)}|[/mm]
>
> [mm]<\bruch{2\delta}{|(x+1)(x_{0}+1)|}[/mm]
>
> [mm]<\bruch{\delta}{x_{0}+1}=\varepsilon[/mm]
>
> damit ist die Funktion stetig für [mm]x\in(1,\infty)[/mm]
>
> ist das soweit ersteinmal korrekt?
S.o.
> falls ja hätte ich noch eine kleine Frage: könnte man in
> dem letzten Term das [mm]x_{0}[/mm] noch mit 1 abschätzen
Wieso den das ? [mm] x_0 [/mm] ist doch bel. (aber fest) in (1, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
> und man
> erhält somit [mm]\bruch{\delta}{2}=\varepsilon?[/mm]
>
> MfG
> Doc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Docci |
Ja bei der Ungleichung hatte ich einen Denkfehler drin.
Allerdings fällt mir leider nichts ein, wie ich mit den Exponenten x und [mm] x_{0} [/mm] mit dem epsilon-delta-Kriterium zu einem Ergebnis komme.
Oder könnte man über die Zusammensetzung stetiger Funktionen zum Ziel kommen? Da [mm] (x+1)^{x} [/mm] sowie [mm] (x-1)^{x} \forall [/mm] x>1 stetig sind, ist auch [mm] (\bruch{x-1}{x+1})^{x} [/mm] stetig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Fr 26.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja bei der Ungleichung hatte ich einen Denkfehler drin.
>
> Allerdings fällt mir leider nichts ein, wie ich mit den
> Exponenten x und [mm]x_{0}[/mm] mit dem epsilon-delta-Kriterium zu
> einem Ergebnis komme.
>
> Oder könnte man über die Zusammensetzung stetiger
> Funktionen zum Ziel kommen?
Ja
FRED
> Da [mm](x+1)^{x}[/mm] sowie [mm](x-1)^{x} \forall[/mm]
> x>1 stetig sind, ist auch [mm](\bruch{x-1}{x+1})^{x}[/mm] stetig
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Docci |
Dann vielen Dank für's drüber-schauen!
MfG
Doc
|
|
|
|
