matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationstheorieStetigkeit einer Funktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Integrationstheorie" - Stetigkeit einer Funktion
Stetigkeit einer Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit einer Funktion: Lösungshinweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Mi 06.07.2011
Autor: Mathegirl

Aufgabe
[mm] I_x\subset \IR^n, I_y\subset \IR^m [/mm] kompakte Intervalle , I= [mm] I_xxI_y, f:I\to\IR [/mm] sei eine stetige Funktion.

Zeige: die Funktion [mm] g:I_y\to \IR, y\to \integral_{I_x}{f(x,y) dx} [/mm] ist stetig

kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich von diesem Integral die stetigkeit zeigen kann? ? Mich irritiert hierbei die Intervallbezeichnung, kann mir das jemand erklären?

MfG
mathegirl

        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mi 06.07.2011
Autor: Marcel

Hallo Mathegirl,

> [mm]I_x\subset \IR^n, I_y\subset \IR^m[/mm] kompakte Intervalle , I=
> [mm]I_xxI_y, f:I\to\IR[/mm] sei eine stetige Funktion.
>
> Zeige: die Funktion [mm]g:I_y\to \IR, y\to \integral_{I_x}{f(x,y) dx}[/mm]
> ist stetig
>  kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich von diesem
> Integral die stetigkeit zeigen kann? ? Mich irritiert
> hierbei die Intervallbezeichnung, kann mir das jemand
> erklären?

dann musst Du genauer erläutern, welche Bezeichnung Du nicht verstehst. Nimm Dir doch ein einfaches Beispiel, betrachte etwa
$$(x,y) [mm] \in I_x \times I_y (\subseteq \IR^2)$$ [/mm]
mit [mm] $I_x:=[1,2]$ [/mm] und [mm] $I_y:=[1,4]\,.$ [/mm]

Jetzt nimm' mal [mm] $f(x,y):=f((x,y)):=x*y^2\,,$ [/mm] auf [mm] $I_x \times I_y=[1,2] \times [/mm] [1,4]$ definiert. Diese Funktion erfüllt alle Voraussetzungen. Die Funktion
[mm] $$g(y):=\int_{[1,2]}f(x,y)dy=\int_{x=1}^{x=2}x*y^2dx$$ [/mm]
(welche man nach dem HDI zu  
[mm] $$g(y)=y^2*\left(\frac{1}{2}(2^2-1^2)\right)=\frac{3}{2}y^2$$ [/mm]
(auf [mm] $I_y=[1,4]$ [/mm] definiert; d.h. wir betrachten oben Funktionsterm für alle $y [mm] \in [/mm] [1,4]$) umschreiben könnte)
wäre dann auf Stetigkeit zu prüfen.

Natürlich ist Deine Funktion [mm] $g(y):=\int_{I_x}f(x,y)dy$ [/mm] nicht so speziell, dass Du immer eine Stammfunktion so konkret wie oben hinschreiben kannst. Aber dennoch solltest Du dran denken, was der HDI hier für eine Rolle spielen kann und warum man die Stetigkeit von $f(x,y)$ "in beiden Variablen" gebrauchen kann. (Da [mm] $x\,$ [/mm] bzw. [mm] $y\,$ [/mm] auch "mehrere Komponenten" haben kann, je nach [mm] $n\,$ [/mm] bzw. [mm] $m\,,$ [/mm] brauchst Du evtl. auch andere Sätze aus der Integrationstheorie; evtl. auch aus der Lebesgueschen Integrationstheorie...)

P.S.:
Natürlich ist oben eigentlich [mm] $x\,$ [/mm] im [mm] $\IR^n$ [/mm] und $y [mm] \in \IR^m$ [/mm] und damit [mm] $I_x \times I_y \subset \Big(\IR^{m} \times \IR^n\Big) \cong \IR^{m+n}\,.$ [/mm] Beachte auch, dass ein [mm] "$n\,$-dimensionales [/mm] kompaktes Intervall" des [mm] $\IR^n$ [/mm] gerade nichts anderes bedeutet, als dass jede Komponente innerhalb eines kompakten Intervalls von [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Im [mm] $\IR^1$ [/mm] sind das gerade kompakte Intervalle, im [mm] $\IR^2$ [/mm] sind das "Rechtecke", im [mm] $\IR^3$ [/mm] sind das Quader... (alles natürlich beschränkte und abgeschlossene Teilmengen!)

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Do 07.07.2011
Autor: fred97


> [mm]I_x\subset \IR^n, I_y\subset \IR^m[/mm] kompakte Intervalle , I=
> [mm]I_xxI_y, f:I\to\IR[/mm] sei eine stetige Funktion.
>
> Zeige: die Funktion [mm]g:I_y\to \IR, y\to \integral_{I_x}{f(x,y) dx}[/mm]
> ist stetig
>  kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich von diesem
> Integral die stetigkeit zeigen kann? ? Mich irritiert
> hierbei die Intervallbezeichnung, kann mir das jemand
> erklären?

Diese Bezeichnung ist in der Tat schlecht. Nennen wir die Intervalle einfach [mm] I_1 [/mm] und [mm] I_2. [/mm]

Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wir wollen zeigen: es gibt ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:

            $|g(y)-g(y')|<  [mm] \varepsilon$ [/mm]  für $y, y'  [mm] \in I_2$ [/mm] mit $||y-y'||< [mm] \delta$ [/mm]

Damit wäre gezeigt, dass g auf [mm] I_2 [/mm] (gleichmäßig) stetig ist.

Wie kommen wir zu solch einem [mm] \delta [/mm] >0  ?

Tipp: da f auf I stetig ist und I kompakt ist, ist f auf I gleichmäßig stetig.

Jetzt mach Du weiter .

FRED


>
> MfG
>  mathegirl


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]