Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In welchen Punkten ist die Funktion f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}
[/mm]
stetig? |
Hallo :)
f(x) kann nur stetig sein in [mm] x_0, [/mm] wenn eine rationale Folge [mm] (x_n)^\infty_{n=1} [/mm] und irrationale Folge [mm] (x_m)^\infty_{m=1} [/mm] existieren, die beide gegen das gleiche konvergieren.
Nun habe ich das Problem, dass ich diese beiden Folgen nicht aufstellen kann. Und was ist mein [mm] x_0 [/mm] ? Muss man das frei wählen?
Dankeschön :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> In welchen Punkten ist die Funktion f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> stetig?
>
> Hallo :)
>
> f(x) kann nur stetig sein in [mm]x_0,[/mm] wenn eine rationale Folge
> [mm](x_n)^\infty_{n=1}[/mm] und irrationale Folge [mm](x_m)^\infty_{m=1}[/mm]
> existieren, die beide gegen das gleiche konvergieren.
Oh oh, was ist das für eine Aussage ? Lies mal, was Du da geschrieben hast !
>
> Nun habe ich das Problem, dass ich diese beiden Folgen
> nicht aufstellen kann. Und was ist mein [mm]x_0[/mm] ? Muss man das
> frei wählen?
Du mußt mehrere Fälle unterscheiden.
Bestimme zunächst die Lösungen der Gl. [mm] x^2=3-2x.
[/mm]
Fall 1: [mm] x_0 \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ. [/mm] Ist nun [mm] (r_n) [/mm] eine Folge rationaler Zahlen mit [mm] r_n \to x_0, [/mm] so zeige:
[mm] (f(r_n)) [/mm] konvergiert nicht gegen [mm] f(x_0).
[/mm]
f ist also in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig.
Fall 2: [mm] x_0 \in \IQ, x_0 \ne [/mm] -3, [mm] x_0 \ne [/mm] 1.
Ist [mm] (i_n) [/mm] eine Folge irrationaler Zahlen mit [mm] i_n \to x_0, [/mm] so zeige:
[mm] (f(i_n)) [/mm] konvergiert nicht gegen [mm] f(x_0).
[/mm]
f ist also in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig.
Fall 3: [mm] x_0=-3. [/mm] Mach Du mal.
Fall 4: [mm] x_0=1. [/mm] Mach Du mal.
FRED
>
> Dankeschön :)
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Sie müssten natürliche gegen das gleich [mm] x_0 [/mm] konvergieren...
Leider habe ich den 1. Fall nicht verstanden.
Also es ist klar, dass wenn [mm] r_n [/mm] eine Folge rationaler Zahlen ist, dass sie nicht gegen eine irrationale Zahl [mm] x_0 [/mm] konvergieren kann. Aber warum ist [mm] r_n [/mm] eine rationale Folge? Ich verstehe nicht wie man auf diesen ersten Fall kommt?
Der zweite Fall ist dann umgekehrt, dort verwendet man eine irrationale Folge, die gegen ein rationales [mm] x_0 [/mm] konvergiert. Das funktioniert natürlich auch nicht. Weshalb schließt man x=-3 und x=1 aus? Weil man sie getrennt untersucht?
Der dritte Fall ist dann [mm] x_0 [/mm] = -3 aber ich weiß immernoch nicht wie ich auf meine Folge [mm] x_n [/mm] komme :( Im Grunde sind es ja die Schnittpunkte der beiden Funktionen, daher müssten [mm] x_0 [/mm] = -3 und [mm] x_0 [/mm] = 1 ja bei beiden gemeinsame Punkte sein.
Oder untersucht man im dritten Fall folgendes:
[mm] x_0= [/mm] -3
[mm] \limes_{x\rightarrow -3} x^2= \limes_{x\rightarrow -3} [/mm] 3-2x
Das selbe dann für [mm] x_0=1 [/mm] ???
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Hiho,
> Also es ist klar, dass wenn [mm]r_n[/mm] eine Folge rationaler
> Zahlen ist, dass sie nicht gegen eine irrationale Zahl [mm]x_0[/mm]
> konvergieren kann.
Schön dass es dir klar ist, die Aussage ist aber leider falsch.
Und genau da setzt der erste Fall an.
Zu jeder irrationalen Zahl [mm] x_0 [/mm] gibt es eine Folge rationaler Zahlen [mm] r_n, [/mm] so dass [mm] $r_n \to x_0$.
[/mm]
Das kommt daher, weil die rationalen Zahlen dicht in [mm] \IR [/mm] liegen.
Und in allen [mm] x_0 [/mm] für die [mm] $x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0$ [/mm] folgt dann eben sofort, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 3 - [mm] 2r_n [/mm] = [mm] 3-2x_0 \not= x_0^2 [/mm] = [mm] f(x_0)$
[/mm]
Was heißt das für die Stetigkeit?
> Der zweite Fall ist dann umgekehrt, dort verwendet man eine
> irrationale Folge, die gegen ein rationales [mm]x_0[/mm]
> konvergiert. Das funktioniert natürlich auch nicht.
Auch falsch. Die Umkehrung gilt ebenso, da auch die irrationalen Zahlen dicht in [mm] \IR [/mm] liegen!
> Weshalb schließt man x=-3 und x=1 aus? Weil man sie
> getrennt untersucht?
Nein. Wenn nun [mm] $x_0^2 [/mm] = 3 - [mm] 2x_0$ [/mm] wird aus der obigen Ungleichung eine Gleichung, d.h. dort steht dann bspw. für ein irrationales [mm] x_0 [/mm] und eine rationale Folge:
[mm] $\lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 3 - [mm] 2r_n [/mm] = [mm] 3-2x_0 [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] = [mm] f(x_0)$
[/mm]
Was bedeutet das für die Stetigkeit?
Für welche [mm] x_0 [/mm] gilt denn überhaupt [mm] $x_0^2 [/mm] = 3 - [mm] 2x_0$ [/mm] ?
MFG;
Gono.
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> Zu jeder irrationalen Zahl $ [mm] x_0 [/mm] $ gibt es eine Folge rationaler Zahlen $ > [mm] r_n, [/mm] $ so dass $ [mm] r_n \to x_0 [/mm] $.
> Das kommt daher, weil die rationalen Zahlen dicht in $ [mm] \IR [/mm] $ liegen.
> Und in allen $ [mm] x_0 [/mm] $ für die $ [mm] x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0 [/mm] $ folgt dann eben
> sofort, dass
> $ [mm] \lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 3 - [mm] 2r_n [/mm] = [mm] 3-2x_0 \not= [/mm]
> [mm] x_0^2 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
> Was heißt das für die Stetigkeit?
Nunja, wenn [mm] \lim_{n\to\infty} f(r_n) \not= f(x_0) [/mm] dann ist die Funktion für alle [mm] x_0 [/mm] für die gilt [mm] x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0 [/mm] unstetig.
> Auch falsch. Die Umkehrung gilt ebenso, da auch die irrationalen Zahlen > dicht in $ [mm] \IR [/mm] $ liegen!
Die Umkehrung wäre dann: Zu jeder rationalen Zahl [mm] x_0 [/mm] existiert eine Folge irrationaler Zahlen [mm] r_n [/mm] so dass [mm] r_n [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] ?
Hier darf man dann wohl aber auch nur die rationalen [mm] x_0 [/mm] verwenden für die gilt: $ [mm] x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0 [/mm] $ oder?
Dann wäre sie ja wiederum unstetig an allen [mm] x_0 [/mm] für $ [mm] x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0 [/mm] $
> Wenn nun $ [mm] x_0^2 [/mm] = 3 - [mm] 2x_0 [/mm] $ wird aus der obigen Ungleichung eine
> Gleichung, d.h. dort steht dann bspw. für ein irrationales $ [mm] x_0 [/mm] $ und
> eine rationale Folge:
> $ [mm] \lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 3 - [mm] 2r_n [/mm] = [mm] 3-2x_0 [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] > = [mm] f(x_0) [/mm] $
> Was bedeutet das für die Stetigkeit?
> Für welche $ [mm] x_0 [/mm] $ gilt denn überhaupt $ [mm] x_0^2 [/mm] = 3 - [mm] 2x_0 [/mm] $ ?
[mm] x_0 [/mm] = -3 und [mm] x_0 [/mm] = 1 Denn an diesen Stellen haben bei den gleichen Funktionswert. Kann man deshalb darauf schließen, dass sie stetig sind?
Wäre wohl zu einfach :(
Oder untersucht man einerseits:
$ [mm] \lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 3 - [mm] 2r_n [/mm] = [mm] 3-2x_0 [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
und andererseits:
$ [mm] \lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} r_n^2 [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] = [mm] 3-2x_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
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Hiho,
> > Was heißt das für die Stetigkeit?
>
> Nunja, wenn [mm]\lim_{n\to\infty} f(r_n) \not= f(x_0)[/mm] dann ist
> die Funktion für alle [mm]x_0[/mm] für die gilt [mm]x_0^2 \not=[/mm] 3 -
> [mm]2x_0[/mm] unstetig.
Korrekt, wobei die Formulierung hier wäre: Für alle IRRATIONALEN [mm] x_0 [/mm] für die [mm] $x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0$ [/mm] gilt (denn die haben wir betrachtet).
Denn du findest immer eine Folge [mm] $(r_n)$ [/mm] mit [mm] $r_n \to x_0$, [/mm] für die [mm] $\lim_{n\to \infty} f(r_n) \not= f(x_0)$.
[/mm]
> Hier darf man dann wohl aber auch nur die rationalen [mm]x_0[/mm]
> verwenden für die gilt: [mm]x_0^2 \not= 3 - 2x_0[/mm] oder?
Ja, das wären dann also alle RATIONALEN [mm] x_0 [/mm] (analog zu dem oben für irrationale).
> Dann wäre sie ja wiederum unstetig an allen [mm]x_0[/mm] für [mm]x_0^2 \not= 3 - 2x_0[/mm]
Korrekt. Denn wir haben es getrennt für alle rationalen [mm] x_0 [/mm] mit [mm] $x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0$ [/mm] und allen irrationalen [mm] x_0 [/mm] mit dieser Eigenschaft. Macht zusammen eben alle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] für die [mm] $x_0^2 \not= [/mm] 3 - [mm] 2x_0$ [/mm] gilt 
> > Was bedeutet das für die Stetigkeit?
> > Für welche [mm]x_0[/mm] gilt denn überhaupt [mm]x_0^2 = 3 - 2x_0[/mm] ?
>
> [mm]x_0[/mm] = -3 und [mm]x_0[/mm] = 1 Denn an diesen Stellen haben bei den
> gleichen Funktionswert. Kann man deshalb darauf schließen,
> dass sie stetig sind?
> Wäre wohl zu einfach :(
Ja und Nein. Es ist so einfach, ein kleines Argument brauchst du aber noch 
Wir haben nun für rein rationale und rein irrationale Folgen [mm] $(r_n)$ [/mm] mit [mm] $r_n \to x_0$ [/mm] gezeigt, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty} f(r_n) [/mm] = [mm] f(x_0)$ [/mm] für [mm] $x_0 [/mm] = -3 [mm] \vee x_0 [/mm] = 1$
Die Stetigkeit verlangt aber, dass dies für beliebige Folgen mit [mm] $r_n \to x_0$ [/mm] gilt.
D.h. du musst noch begründen, warum aus obigem folgt, dass dies auch für "gemischte" Folgen gilt (also für solche, die sowohl rationale, als auch irrationale Glieder enthält).
Das sollte aber ein Leichtes sein
MFG,
Gono.
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Nunja die beiden obigen Fälle haben doch beide eine Unstetigkeit gezeigt?!
Wie kann ich daraus Stetigkeit folgern, denn die benötige ich in den Punkten [mm] x_0 [/mm] = -3 und [mm] x_0 [/mm] = 1 oder?
Muss man die Folgen verknüpfen oder hängt es vielleicht damit zusammen, dass eine Folge aus rationalen und irrationalen Folgegliedern stetig ist, da man beliebig kleine [mm] \varepsilon-Umgebungen [/mm] schaffen kann, in der unendlich viele Folgenglieder liegen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Der Übersicht wegen schreibe ich alles mal kompakt zusammen (auch weil ich mich gestern selbst etwas umständlich angestellt habe):
Sei [mm] x_0 \in \IR.
[/mm]
1. für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] rationaler Zahlen mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt:
[mm] f(x_n)=x_n^2 \to x_0^2.
[/mm]
2. für jede Folge [mm] (z_n) [/mm] irrationaler Zahlen mit [mm] z_n \to x_0 [/mm] gilt:
[mm] f(z_n)=3-2z_n \to 3-2x_0.
[/mm]
Aus 1. und 2. folgt: ist f in [mm] x_0 [/mm] stetig, so muß [mm] x_0^2=3-2x_0 [/mm] sein, also [mm] x_0=1 [/mm] oder [mm] x_0=-3.
[/mm]
Damit haben wir:
Ist [mm] x_0 \ne [/mm] 1 und [mm] x_0 \ne [/mm] -3, so ist f in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig.
Nun stellt sich noch die Frage, ob f in [mm] x_0=1 [/mm] und in [mm] x_0=-3 [/mm] stetig ist.
Zu [mm] x_0=1: [/mm] es ist
$|f(x)-f(1)|= |x+1|*|x-1|$, falls x [mm] \in \IQ [/mm] und $|f(x)-f(1)|= 2*|x-1|$, falls x [mm] \notin \IQ [/mm]
Für alle x [mm] \in [/mm] [0,2] gilt also:
[mm] $|f(x)-f(1)|\le [/mm] 3*|x-1|$,
also ist f in [mm] x_0 [/mm] =1 stetig.
Zu [mm] x_0=-3: [/mm] es ist
$|f(x)-f(-3)|= |x-3|*|x+3|$, falls x [mm] \in \IQ [/mm] und $|f(x)-f(-3)|= 2*|x+3|$, falls x [mm] \notin \IQ [/mm]
Für alle x [mm] \in [/mm] [-4,-2] gilt also |x-3| [mm] \le [/mm] 7 und damit
[mm] $|f(x)-f(-3)|\le [/mm] 7*|x+3|$,
also ist f in [mm] x_0 [/mm] =-3 stetig.
FRED
Edit: mir ist gerade aufgefallen, dass ich versehentlich nicht diese Funktion
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases} [/mm] $
betrachtet habe, sondern diese:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ\end{cases} [/mm] $
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Vielen Dank für deine Ausführliche Antwort :)
Leider habe ich aber noch ein paar Fragen, da ich den letzten Schritt leider nicht verstanden habe... :(
> Der Übersicht wegen schreibe ich alles mal kompakt
> zusammen (auch weil ich mich gestern selbst etwas
> umständlich angestellt habe):
>
> Sei [mm]x_0 \in \IR.[/mm]
>
> 1. für jede Folge [mm](x_n)[/mm] rationaler Zahlen mit [mm]x_n \to x_0[/mm]
> gilt:
>
> [mm]f(x_n)=x_n^2 \to x_0^2.[/mm]
>
> 2. für jede Folge [mm](z_n)[/mm] irrationaler Zahlen mit [mm]z_n \to x_0[/mm]
> gilt:
>
> [mm]f(z_n)=3-2z_n \to 3-2x_0.[/mm]
>
> Aus 1. und 2. folgt: ist f in [mm]x_0[/mm] stetig, so muß
> [mm]x_0^2=3-2x_0[/mm] sein, also [mm]x_0=1[/mm] oder [mm]x_0=-3.[/mm]
>
> Damit haben wir:
>
> Ist [mm]x_0 \ne[/mm] 1 und [mm]x_0 \ne[/mm] -3, so ist f in [mm]x_0[/mm] nicht
> stetig.
>
> Nun stellt sich noch die Frage, ob f in [mm]x_0=1[/mm] und in [mm]x_0=-3[/mm]
> stetig ist.
>
> Zu [mm]x_0=1:[/mm] es ist
>
> [mm]|f(x)-f(1)|= |x+1|*|x-1|[/mm], falls x [mm]\in \IQ[/mm] und
> [mm]|f(x)-f(1)|= 2*|x-1|[/mm], falls x [mm]\notin \IQ[/mm]
>
> Für alle x [mm]\in[/mm] [0,2] gilt also:
>
> [mm]|f(x)-f(1)|\le 3*|x-1|[/mm],
>
> also ist f in [mm]x_0[/mm] =1 stetig.
>
Diesen letzten Schritt habe ich leider nicht verstanden. Die Intervallauswahl ist klar, jedoch verstehe ich nicht woher die 3*|x-1| und weshalb man darauf auf die Stetigkeit folgern kann.
>
> Zu [mm]x_0=-3:[/mm] es ist
>
> [mm]|f(x)-f(-3)|= |x-3|*|x+3|[/mm], falls x [mm]\in \IQ[/mm] und
> [mm]|f(x)-f(-3)|= 2*|x+3|[/mm], falls x [mm]\notin \IQ[/mm]
>
> Für alle x [mm]\in[/mm] [-4,-2] gilt also |x-3| [mm]\le[/mm] 7 und damit
>
> [mm]|f(x)-f(-3)|\le 7*|x+3|[/mm],
>
> also ist f in [mm]x_0[/mm] =-3 stetig.
>
Hier habe ich das selbe Problem wie oben, wie kommt man auf 7*|x+3| und weshalb ist dies immer kleiner als |f(x)-f(-3)|.
> FRED
>
> Edit: mir ist gerade aufgefallen, dass ich versehentlich
> nicht diese Funktion
>
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> betrachtet habe, sondern diese:
>
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ\end{cases}[/mm]
>
>
>
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Hiho,
Hiho,
> Diesen letzten Schritt habe ich leider nicht verstanden.
> Die Intervallauswahl ist klar, jedoch verstehe ich nicht
> woher die 3*|x-1| und weshalb man darauf auf die Stetigkeit
> folgern kann.
dann mal schrittweise:
> > Zu [mm]x_0=1:[/mm] es ist
> >
> > [mm]|f(x)-f(1)|= |x+1|*|x-1|[/mm], falls x [mm]\in \IQ[/mm]
Wenn die Intervallauswahl dir klar ist, beachte sie hier: Es ist [mm] $x\in [/mm] [0,2]$ und damit gilt:
$|x+1| [mm] \le [/mm] 3$
Insgesamt also:
[mm]|f(x)-f(1)|= |x+1|*|x-1| \le 3*|x-1|[/mm], falls x [mm]\in \IQ[/mm]
Zusammen mit:
> > [mm]|f(x)-f(1)|= 2*|x-1| \le 3*|x-1|[/mm], falls x [mm]\notin \IQ[/mm]
Ergibt sich eben:
$|f(x) - f(1)| [mm] \le [/mm] 3*|x-1|$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Stetigkeit ergibt sich sofort daraus, weil dies sogar die Lipschitz-Stetigkeit in [mm] $x_0=1$ [/mm] ist, die ja bekanntlich die Form:
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le L*|x-x_0|$ [/mm] hat.
Setze nun $L=3, [mm] x_0=1$ [/mm] und du siehst sofort, dass (Lipschitz-)Stetigkeit in [mm] $x_0=1$ [/mm] vorliegt.
Solltest du Lipschitz-Stetigkeit noch nicht gehabt haben, mache dir folgendes klar:
Für Stetigkeit in [mm] $x_0=1$ [/mm] ist ja zu zeigen, dass für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta$ [/mm] existiert, so dass
$|f(x) - f(1)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für $|x-1| < [mm] \delta$ [/mm] ist.
Da hier nun aber obige Ungleichung gilt, folgt daraus sofort:
$|f(x) - f(1)| [mm] \le [/mm] 3*|x-1| < [mm] 3*\delta$
[/mm]
Wähle zu gegebenem [mm] $\varepsilon$ [/mm] nun [mm] $\delta [/mm] := [mm] \bruch{\varepsilon}{3}$ [/mm] und dann folgt:
$|f(x) - f(1)| [mm] \le [/mm] 3*|x-1| < [mm] 3*\delta [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
also das Gewünschte für die Stetigkeit.
Die Argumentation für den zweiten Punkt [mm] $x_0 [/mm] = -3$ geht analog, versuchs mal allein
Eine Frage hätte ich aber noch: fred hat den ganzen Spaß ja nun mit dem Epsilon-Delta-Kriterium bewiesen.
Vorher haben wir ja aber auch das Folgenkriterium besprochen.
War dir dort alles klar, ist es dir egal, weil du es jetzt ja auch so hast, oder möchtest du das auch noch durchgehen (da waren wir ja schließlich auch schon bei 90% )
MFG,
Gono.
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Das wäre toll, wenn wir das Folgenkriterium durchsprechen könnten.
Denn einerseits fand ich es etwas einfacher - zumindest die ersten beiden Fälle :)
Das Epsilon-Delta-Kriterium kann ich nun auch nachvollziehen, wenn ich dich richtig verstanden habe ist die Lipschitzstetigkeit strenger als die "normale" Stetigkeit - dh. wenn eine Funktion lipschitzstetig ist, ist sie auch immer stetig, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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Hallo,
> Das wäre toll, wenn wir das Folgenkriterium durchsprechen
> könnten.
>
> Denn einerseits fand ich es etwas einfacher - zumindest die
> ersten beiden Fälle :)
>
> Das Epsilon-Delta-Kriterium kann ich nun auch
> nachvollziehen, wenn ich dich richtig verstanden habe ist
> die Lipschitzstetigkeit strenger als die "normale"
> Stetigkeit - dh. wenn eine Funktion lipschitzstetig ist,
> ist sie auch immer stetig, oder?
Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit.
Falls du das unter "immer stetig" verstehst ?!
Das besondere an der Lipschitz-Stetigkeit ist die Konstante [mm] L\ge0. [/mm] Diese ist ein Maß für den Grad der "Steilheit" oder "Variation" einer Funktion.
(Beachte: Lipschitzkonstante hängt vom betrachteten Intervall ab. Viele Funktionen (zb: Polynome) sind lipschitz-stetig auf jedem beschränkten Intervall, aber nicht auf ganz [mm] \IR)
[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe :)
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (Beachte: Lipschitzkonstante hängt vom betrachteten
> Intervall ab. Viele Funktionen (zb: Polynome) sind
> lipschitz-stetig auf jedem beschränkten Intervall, aber
> nicht auf ganz [mm]\IR)[/mm]
ich finde es schöner, dass man für differenzierbare Funktionen anhand der Ableitung "mehr oder weniger direkt" erkennen kann, ob eine Funktion Lipschitzsch ist oder nicht!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Anmerkung. So weit habe ich gestern Abend gar nicht mehr gedacht.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Do 23.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In welchen Punkten ist die Funktion f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \\ 3-2x, & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> stetig?
>
> Hallo :)
>
> f(x) kann nur stetig sein in [mm]x_0,[/mm] wenn eine rationale Folge
> [mm](x_n)^\infty_{n=1}[/mm] und irrationale Folge [mm](x_m)^\infty_{m=1}[/mm]
> existieren, die beide gegen das gleiche konvergieren.
mir ist nicht ganz klar, ob Deine falsche Aussage hier schon vollständig korrigiert wurde. Richtig ist jedenfalls, dass [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] genau dann stetig ist, wenn für alle Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] folgt, dass die Folge [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] gegen [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert.
Man kann nun bei Deiner Aufgabe dann äquivalent dazu sagen, dass [mm] $f\,$ [/mm] genau dann stetig in [mm] $x_0$ [/mm] ist, wenn jede Folge rein irrationaler Zahlen und jede Folge rein rationaler Zahlen, die beide gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergieren, erfüllen, dass dann auch jeweils deren Bildfolge gegen [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiere.
Also: Sind [mm] $(x_n)_n$ [/mm] (irgend-)eine Folge in [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] (irgend-)eine Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $x_n,y_n \to x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] so ist zu zeigen, dass dann schon [mm] $f(x_n),f(y_n) \to f(x_0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty.$ [/mm] (Wegen der "Beliebigkeit" von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(y_n)_n$ [/mm] ist das die Aussage "für alle Folgen rein irrationaler Zahlen und alle Folgen rein rationaler Zahlen mit ... gilt, dass ...")
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 23.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Aufgabe hat folgende Verallgemeinerung:
Seien [mm] f_1,f_2:\IR \to \IR [/mm] stetige Funktionen und [mm] f:\IR \to \IR [/mm] def. durch
$ [mm] f(x)=\begin{cases} f_1(x), & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \\ f_2(x), & \mbox{für } x \in \IQ \end{cases} [/mm] $.
Dann gilt für [mm] x_0 \in \IR:
[/mm]
f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig [mm] \gdw f_1(x_0)=f_2(x_0)
[/mm]
FRED
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